2022年02-07边界约束的处理

1、可编辑资料 - - - 欢迎下载一，边界约束§ 2-7 边界约束的处理可编辑资料 - - - 欢迎下载 由于总体刚度矩阵是一个奇妙矩阵,在求得总刚矩阵和总体载荷列阵之后,仍不能马上求解整体节点平稳方程组. 从数学上讲,此时的总刚矩阵无逆矩阵,方程组没有确定的解. 从其物理意义来说,是由于整个结构未引入边界约束,为一自由结构,对于一个定常力系的作用,没有定常的位移. 因此,为进一步解得结构位移,必需引入足够的几何边界约束,以排除结构的刚体位移.对于同一结构, 在受相同载荷的条件下,由于不同的边界约束, 求得的结构位移， 应力等会大不相同.因此,引入正确的边界条件是获得较高精度解的前提.

2、 依据结构的实际情形,离散显现的边界约束大致可分为如下三种：1. 基础刚性支承 大多数结构要支承在基础上.当基础的刚性很大时,依据不同的支承类型,可以认为结构和基础相连的节点的一个或几个方向的自由度受到了限制,即位移重量为零. 如一简支梁,可以认为其支承点处的一个或二个方向的位移重量为零.2. 对称结构的对称部分支承 当结构和外载荷均对称于某些轴线时,为削减工作量或提高运算精度,可只运算结构的 1/2或 1/4 .此时,为保持原有结构特性,要在对称剖分面的节点上施加垂直于剖分面的刚性约束,以限制该方向的位移. 如轧机机架.3. 答应产生给定位移的支承 由于结构本身或安装的需要,在支承和结构之间

3、存在给定的间隙,在结构受到实际约束之前,此节点处答应产生该距离的位移. 如高炉下降管的余外支承. 从数学意义上来讲,上述三种支承 几何约束 可以归纳为零位移约束和给定位移约束二种,而前者就又是后者的一个特例.二，边界约束的处理依据边界约束的类型及后续处理方法和要求的不同,边界约束处理大致接受如下方法：1. 划行划列法 这种方法适用于预定边界位移为零的约束条件.可编辑资料 - - - 欢迎下载 详细做法： 在用矩阵表示的线性方程组中,划去相应于己知为零的节点位移重量的行和列, 以排除刚度位移.可编辑资料 - - - 欢迎下载 如图 2-13所示的单元组合体,其边界条件为u1u 2u4v4v5v6

4、0 ,足可编辑资料 - - - 欢迎下载以排除结构的刚体位移. 处理时,就是将以上各为零位移重量相应的行与列划掉,这样,原先12 阶的线性方程组及其 12× 12 阶的总体刚度矩阵,就变成了6 阶的线性方程组及其6× 6 阶的总体刚度矩阵,即可编辑资料 - - - 欢迎下载K11K 21K 31K310K 22K 32K 32K 52K 33K 33K 53对K 33K 53称K 55v1R1 yv20u30v40u50可编辑资料 - - - 欢迎下载00K 63K 63K 65K 66u60可编辑资料 - - - 欢迎下载 这样约束处理是必要的.（ 1） 由于总体刚度矩阵

5、在约束处理前是一个奇妙矩阵,而经过约束处理划掉某几行和几列后变为非奇妙矩阵,即约束处理后的总体刚度矩阵的行列式不等于零.（ 2） 另外,假如不进行约束处理,那么包括在总体节点载荷列矩阵中的约束反力必需事先求出,作为已知节点载荷. 然而,对于形状较复杂一点的单元组合体,在高次超静定情形下,约束反力很难求出. 经过约束处理后, 在划去总体节点位移列矩阵与总体刚度矩阵中相应于已知节点位移重量为零行与列的同时,总体节点载荷列矩阵中未知的约束反力的行也都被划掉.这样一来,无论次数多高的超静定问题,约束反力都不必事 先求出. 这种约束处理也是可行的.（ 1） 由于线性方程组是由各节点平稳方程建立起来的,而

6、方程组的未知量就是节点位移重量,那么受约束的节点有一个或两个位移重量已知为零,就不必再去求它,因此该节点的一个或两个平稳方程就可不要,即可以把它们所在的行划去.（ 2） 同时, 在其它方程中, 与已知零位移重量和相应的载荷重量,即相应刚度矩阵元素和此位移的乘积也为零,所以该列也可划去. 由此可见 ,划行划列的约束处理方法是完全可行的,并不影响运算结果. 划行划列约束处理使总体刚度矩阵发生了两个变化：（ 1） 总体刚度矩阵的阶数下降. 如单元组合体有 n 个节点和 r 个约束, 就总体刚度矩阵在约束处理前为2n× 2n 阶,约束处理后变为 2n-r2n-r阶.（ 2） 总体刚度矩阵的奇

7、妙性发生变化.约束处理前是奇妙矩阵. 约束处理后变为非奇妙性矩阵. 而对总体刚度矩阵的对称性,稀疏性和带形分布等特性并无影响.由可编辑资料 - - - 欢迎下载于约束处理时在划去某行的同时划去同序号的列,所以总体刚度矩阵仍保持其对称性.另外一般单元组合体的r/2n比值是很小的,所以约束处理后总体刚度矩阵仍保持稀疏性和带形分布的特点. 经过约束处理后, 所建立起来的线性方程组的个数与要求解的未知节点位移重量的个数都是 2n-r个. 特点： 这种处理方法,由于舍弃了相应于已知位移重量为零的行与列各元素,这样就转变了各方程及元素的编排序号. 另外,如是求出各节点位移 之后,需运算约束反力,就需重新运

8、算相应行中各刚度矩阵元素.以上二点是利用此法在编写程序时要留意的.2. 划 0 置 1 法 适用： 这种方法适用于边界节点位移重量为已知 含为 0 的各种约束. 做法：（ 1） 将总刚矩阵 K中相应于已知位移行主对角线元素置1,其他元素改为零.同时将载荷列阵 R中相应元素用已知位移置换. 这样,由该方程求得的此位移值确定等于已知量.（ 2） 将 K中已知位移相应的列的非主对角成元素也置0,以保持 K的对称性. 当然, 在已知位移重量不为零的情形下,这样做就转变了方程左端的数值,为保证方程成立, 须在方程右端减去已知位移对该方程的贡献已知位移和相应总刚元素的乘积. 如约束为零位移约束时,此步就可

9、省去. 举例：为详细说明,现举一具有四个方程 二个节点 的简例.其节点平稳方程为K 11K 11K 12K 12K11K11K12K12K 21K 21K 22K 22K 21K 21K 22K 22u1R1 xv1R1 yu2R2 xv2R2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载设结构在 1 点受到约束u 1=1 ,v1 =2 ,就上式中R1 x ， R1 y 为未知的约束反力. 利用划 0 置 1可编辑资料 - - - 欢迎下载的约束处理方法,上式变为1000u110100v12可编辑资料 - - - 欢迎下载00K 22K 22u2R2 xK 211K 21 2可编辑资料 - - - 欢迎

10、下载00K 22K22v2R2 yK211K 21 2可编辑资料 - - - 欢迎下载 特点：（ 1） 经以上处理同样可以排除刚性位移 约束足够的前提下 ,去掉未知约束反力.（ 2） 但这种方法不转变方程阶数,利于存贮.（ 3） 不过,如是要求出约束反力,仍要重新运算各个划去的总刚元素.3. 乘大数法 适用： 这种方法同样适用于边界节点位移重量为已知 含为 0 的各种约束. 做法：可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 1） 将整体刚度矩阵中与给定节点位移相应的主对角线元素乘上一个大数,如10 20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 2） 再将方程右端载荷列阵中的相应元素用己知位移和该大数及主

11、对角线元素的乘积来置换.其余各项均保持不变. 举例：如上例用此法进行约束处理后,节点平稳方程组变成可编辑资料 - - - 欢迎下载20K 111020K11K 12K12u11 K 111020可编辑资料 - - - 欢迎下载K11K111020K12K12v12 K1110可编辑资料 - - - 欢迎下载K 21K 21K21K21K 22K 22K 22u2K 22v2R2 xR2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载 特点：（ 1） 使用此一方法,只要大数选得足够大,就可保证求得的位移有足够的精度.（ 2） 由于在处理过程中, 不失去总刚矩阵的任一行 列 及各个元素, 便于进行程序处理及约

12、束反力运算. 小结：经过约束处理,最终建立了系数矩阵正定的 2n-r阶 划行划列法 或是 2n 阶 划零置 1 法和乘大数法 方程组.三，后续工作 下一步 即求解此方程组,最终获得2n-r个未知的位移重量. 线性方程 的解法有直接法和和迭代法两大类： 直接法的优点是运算量比较小,所需机时短,其中常用的为消元法和矩阵分解法. 迭代法具有算法简洁,易编制程序,可节省内存等优点,适用于求解大题目,但运算时间较长,这种方法要求方程组的系数矩阵在主对角线上占优势.可编辑资料 - - - 欢迎下载四，总结前面各节, 我们对平面问题的三节点三角单元有限单元的位移法,进行了比较详细的争辩与分析,下面就将其概括

13、归纳几点如下：(1) 基本原理.是把连续弹性体离散为有限个节点连接起来的单元组合体, 代替原先的弹性体, 然后通过弹性力学基本方程与虚功原理建立并求解以节点位移 为未知量的，以总体刚度矩阵 K 为系数的线性方程组.(2) 解答特点是近似数值解.误差主要反映在连续弹性体的离散化 包括单元位移函数的选取 上,但当单元尺寸逐步取小时,有限单元法解答将收敛于正确解答.(3) 解题步骤.依据有限单元法基本原理和实际操作,概括地分为两大步骤： 一是连续弹性体的离散化,其中包括单元划分,节点单元的编号,节点坐标位置, 载荷移置和约束处理 边界条件 等,这些工作都需算题人员在上运算机算题之前完成,所以也可称为

14、上机前的预备工作. 二是依据基本原理建立与求解线性方程组K = R.将求得的2n-r个节点位移重量,再代入 2-18式,即可求得各单元的应力重量. 经过两次递代九步循环解出节点位移及单元应力等,这些工作是按己编制好的程序由运算机来完成,也可称为上机运算.现将有限单元法解题步骤归纳起来用框图表示如下.平面问题的有限单元法, 仍会遇到一些其他问题, 如温度应力等等, 其处理方法, 将在以后章节中间续介绍.可编辑资料 - - - 欢迎下载上机前预备工作1. 建立数学模型2. 单元划分3. 载荷移置4. 约束简化两次迭代， 十一步循环： 1 单元节点位移 e 作为未知量, 第一次迭代过程建立线性方程并求解.2 单元节点位移e作为已知量, 其次次迭代过程求解单元位移，应变，应力及约束反力等其它参数.单元位移模式几何方程u x, yv