221椭圆及其标准方程1

1、2.2 2.2 椭椭 圆圆第一课时第一课时 2.2.1 2.2.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程aMF1 F2 MOaOM 新课引入新课引入 在前面圆的方程中我们知道：平面内到一定点的距离为常数的点在前面圆的方程中我们知道：平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆的轨迹是圆. 那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？什么呢？数数 学学 实实 验验o(1)取一条细绳，取一条细绳，o(2)把它的两端把它的两端 固定在板上的两固定在板上的两 点点F1、F2o(3)用铅笔尖用铅笔尖 （M）把细绳拉）把细绳拉 紧，在板上慢慢紧，在板上慢慢 移动

2、看看画出的移动看看画出的 图形图形M观察做图过程观察做图过程(1)绳长应绳长应当大于当大于F1、F2之间的距之间的距离。离。(2)由于绳长固定，由于绳长固定，所以所以 M 到两个定点的距到两个定点的距离和也固定。离和也固定。F1F2（一）椭圆的定义（一）椭圆的定义o平面内到两个定点的距离平面内到两个定点的距离的和（的和（2a）等于定长（大）等于定长（大于于|F1F2 |）的点的轨迹叫）的点的轨迹叫椭圆。椭圆。o定点定点F1、F2叫做椭圆的焦叫做椭圆的焦点。点。o两焦点之间的距离叫做焦两焦点之间的距离叫做焦距（距（2C）。）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：椭圆定义的

3、符号表述：aMFMF221(2a2c)MF2F1时，当2121FFMFMFMF1 F2 时，当2121FFMFMF概念辨析概念辨析小结（小结（1）：满足几个条件）：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？的动点的轨迹叫做椭圆？（1）平面上）平面上-这是大前提这是大前提（2）动点）动点 M 到两个定点到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数的距离之和是常数 2a （3）常数）常数 2a 要大于焦距要大于焦距 2CaMFMF221(2a2c)用定义判断下列动点用定义判断下列动点M M的轨迹是否为椭圆的轨迹是否为椭圆. .(1)(1)到到F F1 1(-2,0)(-2,0)、F F2 2(2,0)(2,0

4、)的距离之和为的距离之和为6 6的点的轨迹的点的轨迹. .(2)(2)到到F F1 1(0,-2)(0,-2)、F F2 2(0,2)(0,2)的距离之和为的距离之和为4 4的点的轨迹的点的轨迹. .(3)(3)到到F F1 1(-2,0)(-2,0)、F F2 2(0,2)(0,2)的距离之和为的距离之和为3 3的点的轨迹的点的轨迹. .是是不是不是是是 概念辨析概念辨析（二）椭圆方程的推导（二）椭圆方程的推导F1F2M基本步骤：基本步骤：（1）建建系系（2）设设点点（3）限限式式（4）代代换换（5）化化简、证明简、证明新知探究新知探究aMF1 F2 MaOM aMFMF22121FFxyx

5、yoo新知探究新知探究MF1 F2 xyo新知探究新知探究F1F2M0 xy解：以线段解：以线段F1F2中点为坐标原点，中点为坐标原点，F1F2所在直线为所在直线为x轴，建立平面直轴，建立平面直角坐标系，则角坐标系，则F1(-c,0)，F2(c,0)。设设M(x, y)，则，则 |MF1|MF2|2a,即即aycxycx2)()(2222将这个方程移项，两边平方，整理得将这个方程移项，两边平方，整理得两边再平方，得两边再平方，得a42a2cx+c2x2=a2x22a2cx+a2c2+a2y2,整理得整理得 (a2c2)x2+a2y2=a2(a2c2),由椭圆的定义可知由椭圆的定义可知 2a2c

6、 2a2c 即即 acac所以所以022 ca两边同时除以两边同时除以22ba12222byax得得0222bbca令令222222bayaxb得得12222byax叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在的焦点在x x轴上。焦点是轴上。焦点是F F1 1,0 , c,0 ,2cF222bac但但 如果使点如果使点21FF ,在在y y轴上，点轴上，点21FF ,的坐标分别的坐标分别, 01cFcF,02，a,ba,b的意义同上。的意义同上。那么方程为那么方程为12222bxay它也是椭圆的标准方程，它所表示的椭圆它也是椭圆的标准方程，它所表示的椭圆焦点是焦

7、点是, 01cF., 02cF的焦点在的焦点在y轴上。轴上。椭圆的标准方程椭圆的标准方程(一一) 0(12222babyax它表示：它表示：(1)椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上(2)焦点是焦点是F1（-C，0）,F2（C，0）(3)a2= b2 + c2F1F2M0 xy椭圆的标准方程（二）椭圆的标准方程（二）) 0(12222babxay它表示它表示:(1)椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴上轴上(2)焦点是焦点是F1（0，-C）,F2（0，C）(3)a2= b2 + c2 F1F2M0 xy1=169y+144x222）1=16y+25x122）答答:在在 x 轴上轴上(-3,0)和和(3,

8、0）答答:在在 y 轴上轴上(0,-5)和和(0,5）1=1+my+mx32222）答答:在在y 轴上轴上(0,-1)和和(0,1)判定下列椭圆的焦点在判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，哪个轴上，并指明并指明a2、b2，写出焦点坐标，写出焦点坐标.概念辨析概念辨析判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。例例1 1 写出适合下列条件的椭圆的标准写出适合下列条件的椭圆的标准 方程方程. .(1)a = 4 , b = 1, (1)a = 4 , b = 1, 焦点在焦点在x x轴上轴上. .(2)a = 4 ,

9、 c = ,(2)a = 4 , c = ,焦点在焦点在y y轴上轴上. .15(3)a + b = 10 , c = .(3)a + b = 10 , c = .52典例讲评典例讲评注意：注意：“椭圆的标准方程椭圆的标准方程”是个专用名词，是个专用名词，就是指上述的两个方程，形式是固定的。就是指上述的两个方程，形式是固定的。 （1 1）已知椭圆两个焦点的坐标分别是）已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2-2，0 0），（），（2 2，0 0），并且经过点），并且经过点 . .)23,25(典例讲评典例讲评（2）两个焦点的坐标分别是（）两个焦点的坐标分别是（0， -4 ）、（）、（0，4）椭圆上一点椭圆上一点P到两焦点距离的和等于到两焦点距离的和等于10；求它的标准方程求它的标准方程例例2 2求椭圆方程的方法和步骤：求椭圆方程的方法和步骤：根据题意，设出标准方程；根据题意，设出标准方程；（根据焦点的位置设出标准方程）（根据焦点的位置设出标准方程）根据条件确定根据条件确定a,ba,b的值；的值；写出椭圆的方程写出椭圆的方程.形成结论形成结论即为先定位（定焦点位置），