博弈论与信息经济学第三章不完全信息静态博弈

1、博弈论任课教师：南京航空航天大学 经管学院 李帮义 教授博弈论与信息经济学第三章 不完全信息静态博弈1，阿克罗夫：1970，柠檬市场：质量不确定性与市场机制2，信贷市场、旅游市场3，不确定性：主观+客观不完全信息博弈例：市场进入阻挠博弈：不完全信息40，50-10，030，80-10，1000，3000，3000，4000，400在位者高成本情况低成本情况默许斗争默许斗争进入者进入不进入 如果在位者是高成本，给定进入者进入，在位者的最优选择是默许；如果在位者是低成本，给定进去者进入，在位者的最优选择是斗争。由于进入者并不知道在位者究竟是高成本还是低成本，进入者的最优依赖于它在多大程度上认为在位

2、者是高成本的或低成本的。假定进入者认为在位者是高成本的概率是p，低成本的概率是（1-p）。进入者选择进入的期望利润是40p+(-10) (1-p) 0 p1/5.海萨尼转换 对于不完全信息静态博弈，我们首先介绍一种称为“海萨尼转换”的思想。海萨尼1967年提出了一种对得益不了解转化为对类型不了解思路的基础上，进一步将不完全信息静态博弈转化为完全但不完美信息动态博弈进行分析的思路，被称为“海萨尼转换”。海萨尼转换 海萨尼提出的处理不完全信息博弈的方法是，引入一个虚拟的参与人“自然”；自然首先行动决定参与人的特征，参与人知道自己的特征，其他参与人不知道。N高低进入者p1-p不进入进入不进入进入在位

3、者在位者(0,300)(40,50)(-10,0)(0,400)(30,80)(-10,100)合作斗争合作斗争上例市场进入阻挠博弈就可以转换为如图的完全但不完美信息博弈。*完美信息博弈：如果博弈树的所有信息集都是单结的。海萨尼转换 海萨尼转换已成为处理不完全信息博弈的标准方法。 将一个参与人所拥有的所有私人信息（即所有不是共同知识的信息）被称为该参与人的。一般地，用 表示参与人 的类型，它属于一个可能的类型集 。 类型依赖：每一个人的行动都依赖于它的类型。 通过海萨尼转换，博弈开始时，所有参与人对“自然”的行动有一致的信念，即都知道所有参与人类型的概率分布函数 。此即“”。iiinp,.,1

4、海萨尼转换用 表示除 之外的所有参与人的类型组合。这样， 。我们称),(111niiii),(),.,(1iin)(iiip为参与人i的条件概率，即给定参与人i属于类型i的条件下，他有关其他参与人属于i的概率。根据条件概率规则，iiiiiiiiiiiippppp),(),()(),()(这里， 是边缘概率。如果类型的分布是独立的，)(ip)()(iiiipp不完全信息和贝叶斯纳什均衡 贝叶斯纳什均衡是完全信息静态博弈纳什均衡概念在不完全信息静态博弈上的扩展。不完全信息静态博弈又称为静态贝叶斯博弈。 ：n人静态贝叶斯博弈的战略式表述包括：参与人的类型空间n,1，条件概率npp ,.,1，类型依存

5、战略空间 nnAA,.,11，和类型依存支付函数);,(),.,;,(1111nnnnaauaau参与人i知道自己的类型ii，条件概率)(iiiipp描述给定自己属于 的情况下，参与人i有关其他参与人类型iii的不确定性。我们用,;,;,;,1111nnnnuuppAAG代表这个博弈。不完全信息和贝叶斯纳什均衡 人不完全信息静态博弈的时间顺序为：自然给定类型向量 ，其中， ，参与人 观察到 ，但参与人 （ ）只知道 ，观察不到 ；参与人同时选择行动，参与人 从可行集 中选择行动 ， 人的行动组合为 ；参与人 的支付函数为 。注意，在上面的定义中，虽然参与人 的类型是私人信息，但是，行动空间和效

6、用函数的结构是共同知识。换句话说，尽管其他参与人并不知道参与人 的类型 ，但是，他们知道参与人 的行动空间和支付函数是如何依赖于参与人 的类型的。 n),(1niiiiji)|(jjjpii)(iiAian),(1naa ai);,(iiiiauaiiiii不完全信息和贝叶斯纳什均衡：在静态贝叶斯 博弈中，纯策略贝叶斯纳什均衡纯策略贝叶斯纳什均衡是一个类型依存策略组合 ，其中，每个参与人 在给定自己的类型 和其他参与人依存策略 的情况下最大化自己的预期效用函数 。换句话说，策略组合 是一个贝叶斯纳什均衡，如果对每一参与人 及 的类型集 中的每一个 ， 满足 亦即，没有参与人愿意改变自己的策略，

7、即使这种改变只涉及一种类型下的一个行动。 ,;,;,;,1111nnnnuuppAAG)(,),()(11nnaaaii)(iiaiuiE)(,),()(11nnaaaiiii)(iia)|();(,),(,),(,),(max111111iiinniiiiiiAapaaaaauiiiii贝叶斯均衡的应用举例1.不完全信息库诺特模型策？时，两个企业将如何决为当概率高成本低成本有两个类型。：企业。其中：企业，已知：市场总供给2214543)(,021)(,01)(22221221221121121112121acccqqaqqqqccqqaqqqqqqapqqHL贝叶斯均衡的应用举例HLctqq

8、qqqttqqtqqtqqqcq21211122122212224321)45(21)(21,4345)()(22），高成本（，低成本求导得：，高成本，低成本其中令解：企业2：贝叶斯均衡的应用举例企业1：245,2411,31)21211 (21)(121)(121)(1)(122122121121112122111HLHLHLHLqqqqqqqqqqqqEqqqqqq代入，联合解得：求导得：高成本：低成本：贝叶斯均衡的应用举例2.一阶招标拍卖 一级密封价格拍卖（the first-price sealed auction）是许多拍卖方式中的一种。在这种拍卖中，投标人（bidders）同时将自

9、己的出价写下来装入一个信封，密封后交给拍卖人，拍卖人打开信封，出价最高者是赢家(获得拍卖品)，并按他的出价支付。这里，每个投标人的策略是根据自己对物品的评价和对其他投标人评价的判断来选择自己的出价，赢者的支付是他对物品的评价减去他的出价，其他投标人的支付为零。 贝叶斯均衡的应用举例 首先考虑两个投标人的情况， 。令 是投标人 的出价， 为拍卖品对投标人 的价值。假定 只有 自己知道，因而 是投标人 的类型，但两个投标人都知道 独立地取自定义在区间 上的均匀分布函数。投标人 的支付为2 , 1i0ibiiiviiviiviv1,0ijijiiijiiiijiibbbbbvbbbvvbbu如果如果

10、如果,0, )(,);,(21贝叶斯均衡的应用举例iiijiiiiiiijiiijjiiijjiiijjiiiijjijjijjjiijjjijjjjjiiiiiivvbaacavcvbavvbcabbvvbbPbvvbbPbvucabcabvPvbbPvvcabvcavbbvcavb21021,212121)()(21)(1 ,0综上所述，由于求导得：又则：现假设：贝叶斯均衡的应用举例3.不完全信息情况下公共产品的提供 在第一章我们曾讨论过完全信息下公共产品的资源提供问题。现在来讨论不完全信息下公共产品的自愿提供问题。1-c1,1-c21-c1,11,1-c20,0参与人2提供不提供参与人1

11、提供不提供假定公共产品的好处（每人1单位）是共同知识，但每人的提供成本只有自己知道（成本 是参与人 的类型）。 和 具有相同的、独立的定义在 上的分布函数，且是共同知识。ici1c2c,cc贝叶斯均衡的应用举例 是从 到0，1的一个函数，其中0表示不提供，1表示提供。参与人 的支付函数为： )(iica,cciiiijiicaaacaau),max(),(21贝叶斯均衡是一组战略组合 ，使得对于每一个 和每一个可能的 ，战略 最大化参与人 的期望效用函数 。令 为均衡状态下参与人 提供的概率。最大化行为意味着，只有当参与人 预期参与人 不提供时，参与人 才会考虑自己是否提供。因为参与人 不提供

12、的概率是 ，参与人 提供的预期收益是 ，因此只有当 时，参与人 才会提供，即如果 ， ；如果 ， 。 ).,.(21aaiic(.)iai),(iijiijccaauEc1jjjcaPzjjiiiij)1(jz)1 (1jzjizc1jizc11)(iicajizc10)(iica贝叶斯均衡的应用举例 这就意味着，存在一个分割点 使得只有当 时，参与人 才会提供。类似的，存在一个 使得只有当 时，参与人 才会提供。ic,iicccijc,jjcccjcccic1)(iica0)(iicacjc1)(jjca0)(jjca jjjjicFccPzc111同理： ijcFc1由上两式可得： iic

13、FFc11贝叶斯均衡的应用举例3203213221121121)(,2,0iiiiiiiiiicccacccccFc，假设：1212信息不完全时，公共物品提供的概率：954)34(422/32/3贝叶斯均衡的应用举例信息完全的情况下：1-c1,1-c21-c1,11,1-c20,0参与人2提供不提供参与人1提供不提供若c11,c21 类似斗鸡博弈。若c11,c21,c21 类似囚徒困境。1212信息完全时，公共物品提供的概率3/4.贝叶斯均衡的应用举例4.双方叫价拍卖 在双方叫价拍卖（double auction）中，同一物品的潜在卖方和买方同时叫价，卖方报价同时买方出价。然后，拍卖人选择一个

14、价格 使市场出清：所有报价低于 的卖方卖出，所有报价高于 的买方买进；且价格为 时的总供给等于总需求。 卖者提供该商品的成本是 ，该商品对买者的价值是 ，买者和卖者同时选择出价和要价，分别为pppp 1 , 0c1 ,0v。和卖者的效用均为，没有交易发生；买者如果。买者的效用是卖者的效用是上成交；，双方在如果；和02/)(,2/)(2/)(1 , 01 , 0bsbsbbssbsbsbsppppvucppuppppppp贝叶斯均衡的应用举例 现在考虑不完全信息下，即只有卖者知道 ，只有买者知道 （因而 是卖者的类型， 是买者的类型）。假定 和 在 上均匀分布，分布函数是共同知识。 在这个贝叶斯

15、博弈中，卖者的战略（要价） 是 的函数 ；买者的战略（要价） 是 的函数 。战略组合 是一个贝叶斯均衡，如果下列两个条件成立：ccccvvvv 1 , 0sp cpsbp vpb ),(vpcpbs cppPcppcpEpvvppvpPcpvpvpEpcpsbsbsbpbsbsbbspsbs(21max)(21max买者最优：卖者最优：贝叶斯均衡的应用举例现假定： ccpsss vvpbbb cppcppppvpPdxxpvpvpEppvPpvPpvpPpvbbsbsbbbbsspbbssbpbsbbbsbbbbssbbsbbbbbsbbs3231)(2121max)(211,) 1 , 0）（求导得：代入卖者的目标函数：上均匀分布。在上均匀分布，因此，在因为贝叶斯均衡的应用举例 vppppvpcppPdxxcppcpEppcPcpPcppPpcssssbsbbpsbsbpssbsssbssbssbsbssssbbs3231)(2121max)(211, 1 , 0求导得：代