sc数列复习之专题七数列单调性专题复习教学备课讲义完美编辑版

1、精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号 学员编号： 年 级：高三 课时数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：王建华课 题T数列单调性专题C 方法与思路引导T 综合应用求解授课时间教学内容数列单调性一.数列单调性的判定方法1:用作差法判定例1、已知数列满足=， ，求数列的最小值 .()方法2: 用作商法判定例2、已知数列，且，它的前n项的和为，如果是首项为3，公差为1的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）问数列是递增数列还是递减数列，说明理由.(递减数列) 二.等差数列最值例1设等差数列满足且,为其前n项和,则中最大的是？例2 等差数列中，是前n项和且，求当n为何值时，最大?例3.等差数列

2、中, 为其前n项和,且,则有: (1)此数列公差d<0 ,(2) 一定小于 . (3) 一定是中最大值, (4) 是各项中最大一项,其中正确的是(填入序号). (1),(2),(3) 例4.在等差数列an中，已知a1=20，前n项和为Sn，且S10=S15求前n项和Sn 当n为何值时，Sn有最大值，并求它的最大值例5.已知等差数列的首项是31若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公差d的取值范围是  。例6、（2003年)等比数列an中,a1=512,公比q=-,用n表示它的前n项之积: n=a1a2an,则12,中最大的是(A) 11 (B) 10 (C) 9 (D) 8例

3、7.等差数列an的前n项之和为Sn.已知：当且仅当n=5时，Sn有最小值。(1)当n取怎样的值时，分别有Sn=0，Sn>0,Sn<0;(2)an是否可能等于零？试说明理由；(3)若a7+a8=72,问数列an中有多少项满足-9an260?三.应用数列的单调性求最值(一). 整式（一次，二次）函数为背景的数列例1. 等差数列的前n项和为Sn，若,求当n为何值时,Sn取得最小值 ?例2.设数列an的通项公式为an=n2+n(nN*)且an满足a1<a2<a3<an<an+1,则实数入的取值范围是_.(二). 绝对值函数为背景的数列例2. 设数列an的通项公式为a

4、n=n-k|+|n-2k|(nN*),若对任意的正整数n,ana3=a4恒成立，则实数k的取值范围是?(三). 以分式函数为背景的数列例3. 已知则在数列的前30项中最大项和最小项分别是_。 ()变式练习.已知数列an的通项是an=(nN*)，则它的前20项中最大项与最小项是( )A.a4和a3 B.a1和a20 C.a1和a5 D.a4和a20(四). 以函数为背景的数列例1. 已知数列，则该数列中的最大项是第几项？ () 例2、已知是数列的前n项的和，若对一切都成立，试求a的范围。解：( )(五). 混合型数列（由一个等差数列和一个等比数列的对应项的积组成的数列称为<差比混合数列&g

5、t;）例1. 已知无穷数列的通项公式，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。 (第8，9项)。例2.数列中，若，试证明数列是一个先增后减的数列，并求出当n为何值时，取得最大值。例3、设an=n,问数列an有无最大项？如果有，指出是那一项。 例4. 已知数列的通项公式为，其中，数列中是否存在最大的项？若存在，指出是第几项最大；若不存在，请说明理由。 六. 数列综合题 例 1. 在直角坐标系中有n个点, 这些点位于函数的图象上，且点Pn位于点(n,0)和点(n+2,0)的中垂线上，求：(1)点Pn的坐标 (2)设，求当n取何值时，取得的最大值。例 2：设f(x)= (x

6、<-2)的反函数为f-1(x)，令数列an: a1=1, (nN) （）求an的通项公式； （）令sn=a1+a2+an，试问对于预先给定的正数M，是否存在自然数N， 使得当自然数n>N时，都有sn>M？证明你的结论。 七.高考题例.已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）. （1）若，求； （2）试写出关于的关系式，并求的取值范围； （3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 拓展提高数列中的最大项或最小项问题

7、的求解策略在数列、函数、导数以及不等式等知识的交汇处命题，可以很好地考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，已成为高考数列命题的热点，而不等式知识与单调性、最值密切相关，因而考查数列的单调性与最值成了高考一大亮点，本文试对求数列中的最值问题加以探讨.给出数列的通项公式的最大项或最小项，有以下解题策略：策略一 利用差值比较法若有，则，则，即数列是单调递增数列，所以数列的最小项为；若有，则，则，即数列是单调递减数列，所以数列的最大项为.策略二 利用商值比较法若有对于一切nN*成立，且，则，则即数列是单调递增数列，所以数列的最小项为；若有对于一切nN*成立，且，则，则即数列是单调递减数列，所以数列的

8、最小项为.策略三 利用放缩法若进行适当放缩，有，则，即数列是单调递增数列，所以数列的最小项为；若进行适当放缩，有，则，即数列是单调递减数列，所以数列的最大项为.策略四 利用导数法为求出的最大值或最小值，可以转化为求出辅助函数的导数，进而求出该函数的单调区间，从而可知数列的单调性，最后求出数列的最大项或最小项.策略五 先猜后证通过分析，推测数列的某项(kN*)最大（或最小），再证明对于一切nN*都成立即可. 这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题.一、一题多解，殊途同归，培养学生思维广阔性例1 已知函数 ，Sn是数列的前n项和，点（n，Sn）（nN*）在曲线上.（）求数列的通项公式；（）若，且

9、Tn是数列的前n项和. 试问Tn是否存在最大值？若存在，请求出Tn的最大值；若不存在，请说明理由.解（）因为点（n，Sn）在曲线上，又，所以.当n=1时，.当n>1时，所以.（）因为 所以 得 .整理得， 策略一 利用差值比较法由式得，所以因为，所以.又，所以所以，所以. 所以Tn存在最大值策略二 利用商值比较法由式得.因为所以，即. 所以/所以Tn存在最大值.策略三 利用放缩法由式得，又因为Tn是数列的前n项和，所以. 所以所以Tn存在最大值.策略四 利用导数江考查函数的单调性.因为，所以，而，所以又，所以，所以.又，所以，即，所以在上是单调递减函数，所以当x=1时，.因为，所以，所以

10、存在最大值.策略五 先猜后证通过分析，推测数列的第一项最在.下面证明：.方法1 分析法因为，所以只要证明.即只要证明. 只需要证明.即只要证明由二项式定理得且时，所以所以成立. 所以成立.所以存在最大值.方法2 利用数学归纳法（i）当n=2时，因为，所以，不等式成立.（ii）假设时不等式成立，即.则当时，由式得 所以.这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.由（i）（ii）得，对于一切且，总有成立.所以存在最大值.评注 本题（）的解答给出了求Tn最大值的多种方法，灵活多变，也是求数列最值问题的常规方法.二、尝试探究，选定方案，培养学生思维的深刻性例2 在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求

11、数列的前项和；（）证明存在，使得对任意均成立解 （）由（N*），可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故， 所以数列的通项公式为.（）解：设，当时，式减去式，得，这时数列的前项和当时，这时数列的前项和（）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：由，知，要使式成立，只要，因为所以式成立因此，存在，使得对任意均成立评注 本题（）设计非常精彩. 为证明“存在kN*，使得对任意nN*均成立”，可以转化为思考 “存在kN*，使得是数列的最大项”问题. 本小题若用差值比较法转化为探究差值与0的大小、用商值比较法转化为探究商值与1的大小、用单调性法把通项公式为的数列的单调性问题转化为探究函数的

12、导数问题以及放缩法解决问题，都颇有难度. 虽然说上述方法都是解决数列最值问题的通性通法，碰壁后若不能及时调整解题策略，就会泥牛入海，不能自拨. 而使用策略五，先敏锐、大胆、果断猜出，再用分析法以及重要不等式证出这个结论，方法非常奏效. 命题高明之处就在于不是直接抛出了这个结论，让考生去证明；而是让考生先自己探究出结论再论证，富有挑战性. 这也是现在高考命题的一大亮点，要求学生学会先猜后证，能够很好地考查学生思维的深刻性.三、辨析模式，分类讨论，培养学生思维严谨性例3 在数列中，（），其中k是常数，且.（）求数列的通项公式；（）求数列的最小项.解 （）因为（），所以，即.当时，.以上n-1个式子

13、相加得，即.又，所以，即.当n=1时，上式也成立.所以数列的通项公式为.（）为考查数列的单调性，注意到，可设函数，则，即.可知时，；时，；时，.所以函数在1，上是减函数；在上是增函数.因为，所以.（1）当，即k=25时，.所以数列的最小项为.（2）当，即k=36时，. 所以数列的最小项为.（3）当a5=a6，即，即k=30时，. 所以数列的最小项为.（4）当且时，且，则，. 所以数列的最小项为.（5）当时，且k<36，则，.所以数列的最小项为.综上所述：当k=25时，数列的最小项为a5=10；当时，数列的最小项为；当k=30时，数列的最小项为a5=a6=11；当30<k<36

14、时，数列的最小项为；当k=36时，数列的最小项为a6=12.评注 由（）可知，则（）中求数列的最小项问题，易由均值不等式，得，从而误认为就是最小的项. 实际上这个符号是在，即时才能取得. 但根据问题的实际背景，还应要求此时N*，而由条件是不能推出一定有N*的. 解决此问题可以转化为“对勾”函数在上的单调性问题. 易求得当时，函数能取得最小值. 但当时，未必能取得最小值. 应根据是否为自然数，并结合单调性进行分类讨论. 这也是本题难点所在.四、变换命题，意在化归，培养学生思维灵活性例4 在数列中，an(nN*)，（）求数列的通项公式；（）若对于一切n>1的自然数，不等式恒成立，试求实数a的取值范围.解：（）因为，an(nN*)，a=1，所以an>0.所以. 所以. 而a1=1，所以.（）设(nN*)，m由（）知，所以，所以，所以.所以数列是单调递增数列.所以当时，bn的最小值为. 所以要使对于一切n>1的自然数，不等式恒成立，则需且只需，则. 所以，解之得.故所求实数a的取值范围为.评注 本题（）中的恒成立问题的解决关键，是灵活化归为求数列自第2项起的各项中最小项问题.体会 求数列中的最大项或最小项，有些题目有多种途径能够解决（如例1），一题多解可以开阔思路；有些题目，不是几种方案都能奏效，要有一个尝试判断的思维过程，要能够迅速调整策略（如例2）；有些题