第五章概率与分布

1、第五章第五章 概率与概率分布概率与概率分布 二项分布二项分布 正态分布正态分布 一、概率的基本概念一、概率的基本概念 二、概率分布的类型二、概率分布的类型 三、二项分布的基础知识三、二项分布的基础知识一、概率的基本概念一、概率的基本概念1、随机现象、随机现象 确定性现象：在一定条件下事先可以断言确定性现象：在一定条件下事先可以断言必然会发生某种结果的现象。必然会发生某种结果的现象。 必然现象必然现象 不可能现象不可能现象 一、概率的基本概念一、概率的基本概念随机现象：在一定条件下，事先不能断言会随机现象：在一定条件下，事先不能断言会出现哪种结果的现象。出现哪种结果的现象。随机试验：我们把对随机

2、现象的一次观察叫随机试验：我们把对随机现象的一次观察叫做一次随机试验。做一次随机试验。随机事件：随机现象中出现的各种可能的结随机事件：随机现象中出现的各种可能的结果。简称事件。果。简称事件。 必然事件必然事件 不可能事件不可能事件所谓所谓随机试验随机试验是指具有下面三个特点的试验：是指具有下面三个特点的试验：（1 1）可以在相同的条件下重复进行。）可以在相同的条件下重复进行。（2 2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。先明确试验的所有可能结果。（3 3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出

3、现。出现。 随机试验在本课中简称为试验，常用随机试验在本课中简称为试验，常用E E表示表示。一、概率的基本概念一、概率的基本概念2、事件与概率、事件与概率（1）事件）事件频率频率F:在在N次重复试验中事件次重复试验中事件A发生的次数发生的次数n,计算出计算出n与试验总次数与试验总次数N的比值，即事件的比值，即事件A发生的频率，记作发生的频率，记作概率概率P：我们把随机事件：我们把随机事件A发生的可能性的大发生的可能性的大小称作随机事件小称作随机事件A发生的概率，记作发生的概率，记作P(A)。频率是事件发生的外在表现，而概率才体现频率是事件发生的外在表现，而概率才体现事件发生的内在实质。事件发生

4、的内在实质。一、概率的基本概念一、概率的基本概念（2）概率）概率后验概率后验概率(统计概率统计概率) 在对随机事件进行在对随机事件进行n次观测次观测时，其中某一随机事件时，其中某一随机事件A出现了出现了m次，则次，则m/n称为事件称为事件A出现的出现的频率。随着试验次数的增加，事频率。随着试验次数的增加，事件件A的频率将稳定在某一常数的频率将稳定在某一常数p，则此常数则此常数p就是事件就是事件A出现概率出现概率的近似值，可表示为：的近似值，可表示为：nmAP)( 以随机事件以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率在大量重复试验中出现的稳定频率值作为随机事件值作为随机事件A的概率估计值，这种求

5、得的概的概率估计值，这种求得的概率叫做率叫做后验概率。后验概率。 特点：在研究或试验之前，事件的成功或失败事特点：在研究或试验之前，事件的成功或失败事先是无法知道的，故要算它成功或失败的概率，先是无法知道的，故要算它成功或失败的概率，只有借助试验结果来估计其概率。只有借助试验结果来估计其概率。 统计概率实际上是历史上同类事物发生的稳定的频率。如统计概率实际上是历史上同类事物发生的稳定的频率。如通过大量观察，古今中外大量新生男性婴儿：女性婴儿通过大量观察，古今中外大量新生男性婴儿：女性婴儿=107：100。再比如某企业卖出。再比如某企业卖出5000台电脑就有台电脑就有40台返台返修，则该企业电脑

6、返修的概率为修，则该企业电脑返修的概率为0.8% 。一、概率的基本概念一、概率的基本概念先验概率（古典概率）先验概率（古典概率） 先验概率是通过古典概先验概率是通过古典概率模型加以定义的，故又率模型加以定义的，故又称之古典概率。古典概率称之古典概率。古典概率要求满足两个条件要求满足两个条件:试验试验的所有可能结果的所有可能结果(即基本事即基本事件件)是有限的；是有限的；每一种基每一种基本事件出现的可能性相等。本事件出现的可能性相等。如果基本事件的总次数为如果基本事件的总次数为n，事件，事件A包括包括m个基本事个基本事件，件， 则事件则事件A的概率为：的概率为：nmAP)( 先验概率是在特定条件

7、下计算出来的，是先验概率是在特定条件下计算出来的，是随机事件的真实概率，不是由频率估计出随机事件的真实概率，不是由频率估计出来的。当试验重复次数较多时，后验概率来的。当试验重复次数较多时，后验概率也就接近先验概率。也就接近先验概率。 特点：在事先就已经知道有关事件出现的特点：在事先就已经知道有关事件出现的事实，在试验或研究之前，我们就能决定事实，在试验或研究之前，我们就能决定事件发生的概率。事件发生的概率。一、概率的基本概念一、概率的基本概念3、概率的基本性质、概率的基本性质任一随机事件任一随机事件A的概率取值范围都在的概率取值范围都在0与与1之间，之间，即即必然事件必然事件(是指在一定条件下

8、必然发生的事件，记是指在一定条件下必然发生的事件，记做做)的概率等于的概率等于1，即，即 。不可能事件不可能事件(是指在一定条件下必然不发生的事件，是指在一定条件下必然不发生的事件，记做记做)的概率等于的概率等于0，即，即1)(0AP1)(P0)(P一、概率的基本概念一、概率的基本概念4、概率的两个基本定理、概率的两个基本定理（1）概率的加法定理）概率的加法定理 两个互不相容事件两个互不相容事件A、B之和的概率，等于两个事之和的概率，等于两个事件概率之和。即件概率之和。即: 所谓互不相容事件是指在一定试验中，若事件所谓互不相容事件是指在一定试验中，若事件A发发生，则事件生，则事件B就一定不发生

9、。此定理可推广到有限就一定不发生。此定理可推广到有限多个互不相容事件中。即下面推论。多个互不相容事件中。即下面推论。)()()(BPAPBAPniiniiAPAP11)()( 例例1：盒中共：盒中共20支粉笔，其中红粉笔支粉笔，其中红粉笔6支，支，黄粉笔黄粉笔5支，绿粉笔支，绿粉笔2支，白粉笔支，白粉笔7支。问任支。问任意摸得一支红色或绿色粉笔的概率是多少？意摸得一支红色或绿色粉笔的概率是多少？一、概率的基本概念一、概率的基本概念（2）概率的乘法定理）概率的乘法定理 两个独立事件同时都发生的概率，等于这两个事件概率的乘两个独立事件同时都发生的概率，等于这两个事件概率的乘积。用公式表示积。用公式

10、表示: 所谓独立事件是指一个事件的出现对另一个事件所谓独立事件是指一个事件的出现对另一个事件 的出现不的出现不发生影响，如果事件发生影响，如果事件A的概率随事件的概率随事件B是否出现而改变，事是否出现而改变，事件件B的概率随事件的概率随事件A是否出现而改变，则这两个事件称为相是否出现而改变，则这两个事件称为相关事件。乘法定理也可推广到有限多个独立事件中，即关事件。乘法定理也可推广到有限多个独立事件中，即:推论推论:有限个独立事件都同时发生的概率，等于这些概率的乘有限个独立事件都同时发生的概率，等于这些概率的乘积。即积。即)()()(BPAPABP)().().().(nnAPAPAPAAAP2

11、121 例例2：某专业研究生复试，让考生从：某专业研究生复试，让考生从6个试个试题中任意抽取一题进行口试，若抽到每题中任意抽取一题进行口试，若抽到每1题题的概率为的概率为1/6，前一考生抽过的试题再放回，前一考生抽过的试题再放回，后一考生再抽，问后一考生再抽，问2个考生都抽到试题个考生都抽到试题1的的概率是多少？概率是多少？ 例例3: 掷骰子游戏中，两个骰子掷一次时，掷骰子游戏中，两个骰子掷一次时，问掷得问掷得11点数的概率是多少？点数的概率是多少？二、概率分布的类型二、概率分布的类型 概率分布是指对随机变量取值的概率概率分布是指对随机变量取值的概率分布情况用数学方法（函数）进行描分布情况用数

12、学方法（函数）进行描述。述。二、概率分布的类型二、概率分布的类型离散分布和连续分布离散分布和连续分布:按照随机变量是否具按照随机变量是否具有连续性来划分。有连续性来划分。 离散分布：随机变量只取孤立的数值时，这种离散分布：随机变量只取孤立的数值时，这种随机变量称之离散型随机变量，离散随机变量的随机变量称之离散型随机变量，离散随机变量的概率分布，简称离散分布。常见的离散分布是二概率分布，简称离散分布。常见的离散分布是二项分布。项分布。 连续分布：指连续随机变量的概率分布，连续分布：指连续随机变量的概率分布， 也也就是测量数据的概率分布，它用连续随机变量的就是测量数据的概率分布，它用连续随机变量的

13、分布函数描述其分布规律。常见的连续随机变量分布函数描述其分布规律。常见的连续随机变量的分布为正态分布。的分布为正态分布。二、概率分布的类型二、概率分布的类型经验分布和理论分布：经验分布和理论分布：如果按照分布函如果按照分布函数的来源来划分，则可分为经验分布和理数的来源来划分，则可分为经验分布和理论分布。论分布。 经验分布：是指根据观察或试验所获得经验分布：是指根据观察或试验所获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布。的数据而编制的次数分布或相对频率分布。 理论分布：有两个含义，一是指随机变理论分布：有两个含义，一是指随机变量的次数函数量的次数函数数学模型；二是指按数学模型；二是指按照某种数学模

14、型计算出的总体的次数分布。照某种数学模型计算出的总体的次数分布。二、概率分布的类型二、概率分布的类型基本随机变量分布和抽样分布：基本随机变量分布和抽样分布： 如果按照概率分布所描述的数据特征来划分，如果按照概率分布所描述的数据特征来划分， 则可分为基本随机变量分布和抽样分布。则可分为基本随机变量分布和抽样分布。 基本随机变量分布：是指理论分布中描述总体基本随机变量分布：是指理论分布中描述总体的基本变量的分布，在教育界统计学中常用的基本变量的分布，在教育界统计学中常用 的基的基本随机变量分布有二项分布和正态分布。本随机变量分布有二项分布和正态分布。 抽样分布：是样本统计量的理论分布，样本抽样分布

15、：是样本统计量的理论分布，样本统计量有；平均数、两平均数之差、方差、标准统计量有；平均数、两平均数之差、方差、标准差、相关系数、百分比率等等。样本统计量是基差、相关系数、百分比率等等。样本统计量是基本随机变量的函数，所以抽样分布又叫随机变量本随机变量的函数，所以抽样分布又叫随机变量函数的分布。函数的分布。三、二项分布的基础知识三、二项分布的基础知识1、排列与组合、排列与组合2、二项式定理、二项式定理mnA排列数：排列数：mnA 从从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列个元素的所有排列的个数，叫做从的个数，叫做从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m个元素的排列个元

16、素的排列数。用符号数。用符号 表示。表示。233 26A 344 3 224A 23A 问题问题1 中是求从中是求从3个不同元素中取出个不同元素中取出2个元素的个元素的排列数，记为排列数，记为:34A 问题问题2 中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的排个元素的排列数，记为列数，记为:2nA从从n个不同元素中取出个不同元素中取出2个元素的排列数个元素的排列数 是多少？是多少？第第1位位第第2位位nn-1An2)1( nn)2)(1( nnn第第1位位第第2位位第第3位位n-2nn-13nA同理同理 可以这样计算可以这样计算)1()2( )1( mnnnnAmn1 mn)(

17、mnAmn 123)2)(1( nnnAnn)1()2( )1( mnnnnAmn,m nNmn正整数正整数1到到n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n的阶乘的阶乘，用，用n!表示，表示，！nAn n所以所以n个不同元素的全排列数公式可以写成个不同元素的全排列数公式可以写成另外，我们规定另外，我们规定0!1)!(!mnn 12)(12)(1( )1( mnmnmnnn)1()2( )1( mnnnnAmn例例1 计算：计算：3101 A）（5182 A）（131318183AA ）（518A13131818AA 214A3560A=( (种种) )35125=( (种种) )648899181919

18、 AAA6488992919 AA或或A310.648898910 A310A 29A29322999648AAA 29A29A39A 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合 排列与组合的排列与组合的概念有什么共概念有什么共同点与不同点？同点与不同点？ 组合定义组合定义: :问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1

19、 1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？加某天一项活动，有多少种不同的选法？236A 甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3从已知的从已知的3个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 , ,并成一组并成一组问题问题2从已知的从已知的3 个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 , ,按照一定按照一定的顺序排的顺序排成一列成一列. .问题问题1排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序组

20、合定义组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个个元素元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个元素的一个个组合组合排列定义排列定义: : 一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m (mn) 个个元素，元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不同元素个不同元素中取出中取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列. .共同点共同点: : 都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素” ” 不同点不同点: : 排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序

21、有关， 而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关. .思考一思考一: :ab b与与b ba是相同的排列还是相同的组合是相同的排列还是相同的组合? ?为什么为什么? ?思考二思考二: :两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点? ?两个相同的组合呢两个相同的组合呢? ?）元素相同；）元素相同；）元素排列顺序相同）元素排列顺序相同.元素相同元素相同 构造排列分成两步完成，先取后排；而构造构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤组合就是其中一个步骤.思考三思考三: :组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗? ? 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素

22、的个元素的所有组合的个数，叫做从所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示. .mnC233C 246C 如如: :从从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是有组合个数是: :如如: :已知已知4 4个元素个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个写出每次取出两个元素的所有组合个数是：元素的所有组合个数是：组合数组合数: : 是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 mnC1.写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有

23、组合。四个元素中任取三个元素的所有组合。abc ， abd ， acd ， bcd .bcddcbacd组合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？你发现了你发现了什么什么?可分两步考虑：求P34PPC333434 34A求可分两步考虑：34 4C第一步，（）个；33 6A第二步，（）个；333.434 CAA根据分步计数原理，334343ACA从而mn

24、C如何计算如何计算: :组合数公式组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：因此：因此： 一般地，求从一般地，求从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的排个元素的排列数，可以分为以下列数，可以分为以下2步：步： nm 第第1步，先求出从这步，先求出从这 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素个元素的组合数的组合数 mnCnm第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中 个元素的全排列数个元素的全排列数 mnAmmmmnmnACA!121mmnnnnAACmmmnmn 这里 ，且 ，这个公式叫做 *N

25、nm、nm 组合数公式组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm 从从 n 个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数 mmmnmnCAA!()!mnnCm nm01.nC我们规定：CCmnmn1 :证明)!1()!1(!)!( !mnmnmnmn)!1( !) 1( !mnmmnmnn)!1( !)1(mnmnmmn!) 1(!)!1(mnmn.1Cmncccmnmnmn11性质性质2一般地，对于一般地，对于n N*有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 二项定理二项定理:2、二项式定理、二项式定理二项

26、展开式中的二项式系数指的是那些？共二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？有多少个？ 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系的两个二项式系数相等数相等 因此因此, ,当当n为偶数时为偶数时, ,中间一项的二项式中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时, ,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 12Cnn 12Cnn 相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。增减性与最大值增减性与最大值 各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式

27、定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1 bannnnnn2CCCC210 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：nba)( n2同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式这是组合总数公式 详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表杨杨 辉辉杨辉三角杨辉三角每行两端都是每行两端都是1 Cn0= Cnn=1从第二行起，每行除从第二行起，每行除1以外的每一个数都等以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1(a+b)1(a+b)

28、2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+第二节第二节 二项分布二项分布 一、二项试验与二项分布一、二项试验与二项分布 二、二项分布的性质二、二项分布的性质 三、二项分布的应用三、二项分布的应用一、二项试验与二项分布一、二项试验与二项分布二项试验二项试验:在同一条件下，将一种试验重复进行在同一条件下，将一种试验重复进行n次，如果：次，如果：在每次试验中，所有可能出现的事在每次试验中，所有可能出现的事件只有两个，即件只有两个，即A与与 ， 且且p与与q在各次试验中保持不变；在各次试验中保持不变；各次试验相互独立。各次试验相互独立。满足满足，条件的条件的n次重复试验叫做二项试验，或次重复

29、试验叫做二项试验，或称做称做n重贝努里重贝努里(Bernoulli)试验。试验。A qAPpAP,二项分布：二项分布：设有设有n次试验，各次试验都是彼此独次试验，各次试验都是彼此独立的，每次试验某事件出现的概率为立的，每次试验某事件出现的概率为p，某事件不，某事件不出现的概率为出现的概率为q（等于（等于1-p），则对于某事件出现），则对于某事件出现x次（次（0，1，2，n) 的概率分布为：的概率分布为： 二项分布用符号表示为二项分布用符号表示为: xb（x，n，p）。表）。表示在示在n次试验中有次试验中有X次成功，成功的概率为次成功，成功的概率为p。xnxxnqpCnxP2 , 1 , 0|例

30、：10个硬币掷1次，或1个硬币掷10次。问6次正面向上的概率是多少？6次及6次以上正面向上的概率？0.377.660.205160.377102438610241102410102445102412010242106620.20511024210161641210)!( !,1:0101019928837746上上正正面面向向上上的的概概率率为为次次以以次次及及，次次正正面面向向上上的的概概率率为为故故次次以以上上的的概概率率：次次及及）（，）根根据据题题意意，（解解 qpCqpCqpCqpCqpCqpCbxqpn10101010466104661021216106102110662110二、

31、二项分布的性质二、二项分布的性质二项分布的形态：二项分布的形态： 二项分布是离散型分布，由于二项分布是离散型分布，由于X为不连续变量，其为不连续变量，其分布用条形图表示较合适，但为使分布图更直观形象分布用条形图表示较合适，但为使分布图更直观形象也采用直方图表示其概率分布。也采用直方图表示其概率分布。当当p=q时图形是对称的。时图形是对称的。 当当p=q，不管，不管n多大，二项分布呈对称形。当多大，二项分布呈对称形。当n很大很大时，二项分布接近正态分布。当时，二项分布接近正态分布。当n趋近无限大时，正态趋近无限大时，正态分布是二项分布的极限。分布是二项分布的极限。二项分布二项分布 n= 10,

32、p= 0.5 二、二项分布的性质二、二项分布的性质二项分布的形态：二项分布的形态：当当pq时，直方图呈偏态，时，直方图呈偏态，pq的偏斜方向的偏斜方向相反。相反。 如果如果n很大时，即使很大时，即使pq，偏斜逐渐降低，最，偏斜逐渐降低，最终成正态分布，二项分布的极限分布是正态分布，终成正态分布，二项分布的极限分布是正态分布，所以当所以当n很大时，二项分布的概率可用正态分布很大时，二项分布的概率可用正态分布的概率作近似值。的概率作近似值。 关于关于n很大的界定，一般规定：当很大的界定，一般规定：当pq且且nq5，这时就认为，这时就认为n是很大的，可以用是很大的，可以用正态分布的概率作为近似值。正

33、态分布的概率作为近似值。二项分布二项分布 n= 10, p= 0.1二、二项分布的性质二、二项分布的性质二项分布的平均数与标准差二项分布的平均数与标准差 如果二项分布在满足如果二项分布在满足pq，nq5)时，时，二项分布渐近正态分布。这时二项分布的随机变量二项分布渐近正态分布。这时二项分布的随机变量X具有具有如下性质：如下性质： 也就是随机变量也就是随机变量X具有具有 的正态分布。的正态分布。npqnpnpqnp,三、二项分布的应用三、二项分布的应用 二项分布在教育研究中主要用于解决含有机遇二项分布在教育研究中主要用于解决含有机遇性问题。所谓机遇问题，是指在试验或调查中，性问题。所谓机遇问题，

34、是指在试验或调查中，试验结果可能是由于猜测造成的。例如，选择题、试验结果可能是由于猜测造成的。例如，选择题、是非题的回答，可能完全由猜测造成。凡此类问是非题的回答，可能完全由猜测造成。凡此类问题，要区分由猜测而造成的结果题，要区分由猜测而造成的结果 （机遇性）和真（机遇性）和真实的结果（真实性）之间的界限，就要应用二项实的结果（真实性）之间的界限，就要应用二项分布来解决。分布来解决。例：有例：有10道正误题，问考生答对道正误题，问考生答对n题才能题才能认为他是真会；或者说答对认为他是真会；或者说答对n题，才能认题，才能认为不是凭猜测的？为不是凭猜测的？解：猜对与猜错的概率：解：猜对与猜错的概率

35、：p=q=1/2，np5，故此二，故此二项分布渐近正态分布。项分布渐近正态分布。 根据正态分布概率，当根据正态分布概率，当Z=1.645时，该点以下时，该点以下包含了全部的包含了全部的95%，若用原分数表示：，若用原分数表示： +1.645=5+1.6451.58=7.68 故我们有故我们有95%的把握说，答对的把握说，答对8题及以上不是凭题及以上不是凭猜测的。猜测的。58. 110; 510212121npqnp(另一解法另一解法) 此题的概率值，也可用二项分布函数此题的概率值，也可用二项分布函数b(x，n，p)直接直接计算，先用二项分布函数求得各种情况的概率，然后根据计算，先用二项分布函数

36、求得各种情况的概率，然后根据概率加法定理，则答对概率加法定理，则答对8题以上的总概率为题以上的总概率为: 同样，我们得出与正态分布近似的结论，即答对同样，我们得出与正态分布近似的结论，即答对8题以下的概率为题以下的概率为95%(近似近似)，8题及以上的概率为题及以上的概率为5%。 055. 0001. 001. 0044. 010241102410102445例：例： 有有10道多重选择题，每题有道多重选择题，每题有4个答案，其中只有个答案，其中只有一个是正确的，问答对几题才能说不是猜的结果？一个是正确的，问答对几题才能说不是猜的结果？解解:n=10，p=1/4=0.25，q=0.75，np=

37、2.50，则称随机变量，则称随机变量X服从正态分布。服从正态分布。（二）特征（二）特征正态分布密度曲线是以正态分布密度曲线是以= 为为对称轴的单峰、对称的悬钟形；对称轴的单峰、对称的悬钟形；f(x)f(x)在在=处达到极大值处达到极大值, ,极大极大值为值为f(x)f(x)是非负数，以是非负数，以x x轴为渐进线；轴为渐进线；曲线在曲线在 处各有一个拐点；处各有一个拐点；正态分布正态分布密度函数曲线密度函数曲线 21)(f正态分布有两个参数，即平正态分布有两个参数，即平均数均数和标准差和标准差。是位置参是位置参数，数，是变异度参数。是变异度参数。分布密度曲线与横轴所夹的分布密度曲线与横轴所夹的

38、面积为面积为1 1，即：，即：正态分布正态分布密度函数曲线密度函数曲线 121)(222)(dxexPx 相同而相同而不同的三个正态总体不同的三个正态总体 相同而相同而不同的三个正态总体不同的三个正态总体二、标准正态分布二、标准正态分布（一）定义一）定义 由于正态分布是依赖于参数由于正态分布是依赖于参数 和和（或（或）的一簇分布，造成研究具体正态总）的一簇分布，造成研究具体正态总体时的不便。因此将一般的体时的不便。因此将一般的(,2)转换为转换为=0, =1的正态分布，则称的正态分布，则称=0, =1的正的正态分布为标准正态分布。态分布为标准正态分布。标准正态分布概率密度函数标准正态分布概率密

39、度函数 二、标准正态分布二、标准正态分布（二）标准化的方法（二）标准化的方法 对于任何一个服从正态分布对于任何一个服从正态分布(,2)的随机的随机变量变量X ，都可以通过标准化变换：，都可以通过标准化变换：Z=(- )/ 即减平均数后再除以标准差，将其变换即减平均数后再除以标准差，将其变换为服从标准正态分布的随机变量。为服从标准正态分布的随机变量。 对不同的对不同的Z及及P值编成函数表，称为正态分值编成函数表，称为正态分布表，从中可以查到任意一个区间内曲线布表，从中可以查到任意一个区间内曲线下的面积，即为概率。下的面积，即为概率。（三）正态分布表的基本使用方法（三）正态分布表的基本使用方法已知

40、已知Z值求概率：值求概率：求某一求某一Z值与值与Z=0之间的概率。直接查表即可。如之间的概率。直接查表即可。如:某一某一Z值以上或以下的概率。如求值以上或以下的概率。如求Z=1以上的概率，以上的概率，又如求又如求Z=1以下的概率。以下的概率。3413. 010 Zp1587. 03413. 05 . 01:,3413. 010ZpZp则得先查8413. 03413. 05 . 01Zp（三）正态分布表的基本使用方法（三）正态分布表的基本使用方法巳知巳知Z值求概率：值求概率：求两个求两个Z值之间的概率。值之间的概率。1360. 03413. 04773. 01020216826. 03413.

41、03413. 0100111ZpZpZpZpZpZp（三）正态分布表的基本使用方法（三）正态分布表的基本使用方法由概率由概率(p)求求Z值值已知从平均数开始的概率值求已知从平均数开始的概率值求Z值值(直接查表直接查表)求两端概率的求两端概率的Z值值已知正态曲线下中央部分的概率求已知正态曲线下中央部分的概率求Z值。值。求概率密度求概率密度Y(即正态曲线的纵线高即正态曲线的纵线高)已知已知Z值值(直接查表直接查表)已知已知P值值 注意区分已知概率是位于正态曲线的中间部分，还是两注意区分已知概率是位于正态曲线的中间部分，还是两尾端部分。尾端部分。三、正态分布在测验中的应用三、正态分布在测验中的应用

42、（一）标准分数（一）标准分数 （二）若考试成绩服从正态分布，确定录取分数（二）若考试成绩服从正态分布，确定录取分数线线 （三）确定在正态分布下特定分数界限内的考生（三）确定在正态分布下特定分数界限内的考生人数人数 （四）化等级评定为测量数据（四）化等级评定为测量数据 （五）确定测验题目的难易度（五）确定测验题目的难易度 （六）确定能力分组或等级评定的人数（六）确定能力分组或等级评定的人数（一）标准分数（一）标准分数 若已知一个总体，则这个总体中的原始分若已知一个总体，则这个总体中的原始分数的标准分数用下式计算：数的标准分数用下式计算： Z=(- )/ 例：在某年高考的平均分数为例：在某年高考的

43、平均分数为500，标准差，标准差为为100的正态总体中，某考生得到的正态总体中，某考生得到650分。分。当年的高考录取率为当年的高考录取率为10%，问该生的成绩，问该生的成绩能否入围？能否入围？ （二）若考试成绩服从正态分布，确定录取（二）若考试成绩服从正态分布，确定录取分数线分数线 在一些选拔性考试中，录取的人数（或比率）在一些选拔性考试中，录取的人数（或比率）往往是事先确定的。如果考试分数服从正态分布往往是事先确定的。如果考试分数服从正态分布或接近正态分布，在确定录取分数线时，可以把或接近正态分布，在确定录取分数线时，可以把录取人数的比率作为正态分布中的上端面积，由录取人数的比率作为正态分

44、布中的上端面积，由此找出相对应的标准分数此找出相对应的标准分数Z，然后根据标准分数，然后根据标准分数的计算公式的计算公式 的变形公式的变形公式 由由Z值来求原始分数值来求原始分数X，这个，这个X就是录取分数的分就是录取分数的分界点，即平时人们称谓的录取分数线。界点，即平时人们称谓的录取分数线。SXXZZSXX例例 某地区进行公务员考试，准备在参加考试的某地区进行公务员考试，准备在参加考试的1500人中录取人中录取180人，考试分数接近正态分布，平均数为人，考试分数接近正态分布，平均数为72分，标准差是分，标准差是12.5分，问录取分数线是多少分，问录取分数线是多少?解:录取率:180/1500

45、=0.12，即正态分布上端的面积，然后根据0.5-0.12=0.38，查附表1得出最接近0.38的p值为0.3810，它所对应的Z=1.18。 录取分数线:75.865 .1218. 172ZSXX（三）确定在正态分布下特定分数（三）确定在正态分布下特定分数界限内的考生人数界限内的考生人数 例：某地区某年高考物理科考生例：某地区某年高考物理科考生4.7万人，万人，平均分为平均分为57.08，标准差为，标准差为18.04。问：。问：（1）成绩在）成绩在90分以上有多少人？分以上有多少人？（2）成绩在）成绩在80分到分到90分之间有多少人？分之间有多少人？（3）成绩）成绩60分以下有多少人？分以下

46、有多少人？（四）化等级评定为测量数据（四）化等级评定为测量数据 将等级评定转换为测量数据，首先要考虑被评定的心将等级评定转换为测量数据，首先要考虑被评定的心理量是否为正态分布，若为正态分布，可以转化为测量理量是否为正态分布，若为正态分布，可以转化为测量数据，即标准分数数据，即标准分数Z。若不是正态分布，则不能将等级。若不是正态分布，则不能将等级评定转化为评定转化为Z分数。具体步骤如下：分数。具体步骤如下：根据各等级被评者的数目求各等级的人数比率根据各等级被评者的数目求各等级的人数比率求各等级比率值的中点求各等级比率值的中点求各等级中点以下的累加比率求各等级中点以下的累加比率用累加比率查正态表求用累加比率查正态表求Z值，该值，该Z分数就是各等级代表分数就是各等级代表性的测量值。性的测量值。求被评者所得评定等级的测量数据的算术平均数，即为求被评者所得评定等级的测量数据的算术平均数，即为每个被评定者的综合评定分数。每个被评定者的综合评定分数。（五）确定测验题目的难易度（五）确定测验题目的难易度具体步骤：具体步骤：计算各题目的通过率。即答对人数与总人数的比计算各题目