§3 解析函数的Taylor展式

1、§3 解析函数的Taylor展式一、教学目标或要求：掌握 一些基本初等函数的泰勒展式二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：解析函数的泰勒展式重点：基本初等函数的泰勒展式难点：基本初等函数的泰勒展式三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习： 57§3 解析函数的Taylor展1. 泰勒定理定理4.14 设为区域，点，圆含于（图5-1），若函数在内解析，则在内有 (4.8)其中 (4.9)且上述展式是唯一的。证明：设为内任一点，在内以为心，为半径作一圆周，使在内，由哥西公式可得下面将展为幂级数，考虑到展式应以圆心为中心，把改写为当时由哥西公式

2、将下面证明展式的唯一性。设有另一个以为中心的不同于上式的泰勒级数那么有所以展式是唯一的。定义 4.6 (4.8)称为在点的泰勒展式，(4.9)称为其泰勒系数，而(4.8)右边的级数，则称为泰勒级数。定理4.15 在区域内解析的充要条件是在内任一点的邻域内可展开成的幂级数，即泰勒级数。证:“”泰勒定理 “”幂级数和的解析性定理。2. 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况定理4.16 如果幂级数的收敛半径，且, 则在收敛圆周上至少有一奇点，即不可能有这样的函数存在，它在内与恒等，而在上处处解析.证 反证法。假设这样的存在，则对上的任何一点都存在某个以该点为心的圆，其上解析，由有限覆盖定理在这些圆中必

3、存在有限个圆构成的区域 覆盖 ，记，则在 内解析。由泰勒定理，在中可展为泰勒级数,但在中与恒等。故 与 在 点的各阶导数均相同，因此 也是 的泰勒级数，但其收敛半径，与的收敛半径为矛盾。故这样的 不存在。例 对 当时，且 收敛，故由优级数判别法在上绝对收敛且一致收敛，故在上有定义。 在上是解析的，但 上必有 的奇点。 如即为的一个奇点。事实上，若在 处解析，则有幂级数和的解析性 在 也解析，但,当 在 内沿实轴趋于1时 ，故在处不解析，矛盾. 因此 为 的一个奇点。3. 一些初等函数的泰勒展式讨论：(1)泰勒展式是唯一的，因此可用任何方法来求一个解析函数的泰勒展式，不一定要用公式来求系数，即可

4、用简接法展开。 (2)由于幂函数的和是解析函数，而解析函数又可以展为唯一的泰勒级数，所以解析函数与幂级数有着不可分割的联系。这样，解析函数的充分必要条件可表为：在D内解析在D内任一点的某领域内可展成幂级数(泰勒级数)。 (3)几个初等函数的泰勒级数求泰勒展式的方法1直接展开，用例 求 的主值支在 处的幂级数展开式。解 以及为支点，将平面沿负实轴从到 割破，则 可分出无穷多个单值解析分支， 其中 在 取主值即时，称为 的主值支。记 。由于,故的泰勒级数 。于是从而 的第 个分支在 处的泰勒展式为 例 求的解析分支在处的泰勒展式。解 由条件知 取主值支，记，则由于故 的泰勒系数为从而所给 的解析分支在 处的泰勒展式为例 求 在 处的泰勒展式解 令 ，则 故 ， 2.利用级数的加、减、乘运算。例 求在处的泰勒展式。解例 求 在 的泰勒展式。解3逐项微分例例 4逐项积分例 例 将 展开成 的幂级数使 .解( 是多值函数，在 满足 条件时表示 的主值支 ).5级数代入级数例 第 个分支主支6待定系数法（除法）例 则故 从而 例 又故 于是 即 7代换法例 把 在 展开为幂级数解 例 把 在 展开 解例 试将在点展成泰勒级数。解 因为是的唯一有限奇点，所以，可在内展成泰勒级数，有例