高考讲坛极值点偏移问题的处理策略及探究

1、 .wd.极值点偏移问题的处理策略及探究 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。假设函数在处取得极值，且函数与直线交于,两点，那么的中点为，而往往.如下列图所示.极值点没有偏移此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的根本特征，再从几个典型问题来逐一探索！【问题特征】

2、【处理策略】1、 不含参数的问题.例1.2010天津理函数 ，如果，且 ，证明：【解析】法一：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，时， 函数在处取得极大值，且,如下图.由，不妨设，那么必有，构造函数，那么，所以在上单调递增，也即对恒成立.由，那么，所以，即，又因为，且在上单调递减，所以，即证法二：欲证，即证，由法一知，故，又因为在上单调递减，故只需证，又因为，故也即证，构造函数，那么等价于证明对恒成立.由，那么在上单调递增，所以，即已证明对恒成立，故原不等式亦成立.法三：由，得，化简得，不妨设，由法一知，.令，那么，代入式，得，反解出，那么，故要证：，即证：，又因为，等价于证明：，构造函数，

3、那么，故在上单调递增，从而也在上单调递增，即证式成立，也即原不等式成立.法四：由法三中式，两边同时取以为底的对数，得，也即，从而，令，那么欲证：，等价于证明：，构造，那么，又令，那么，由于对恒成立，故，在上单调递增，所以，从而，故在上单调递增，由洛比塔法那么知：，即证，即证式成立，也即原不等式成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来到达消元的目的，方法三、四那么是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而到达消元的目的.2、 含参数的问题.例2.函数有两个不同的零点，求证：.【解析】思路1：函数的两个零点，等价于方程的

4、两个实根，从而这一问题与例1完全等价，例1的四种方法全都可以用；思路2：也可以利用参数这个媒介去构造出新的函数.解答如下：因为函数有两个零点， 所以， 由得：，要证明，只要证明， 由得：，即， 即证：， 不妨设，记，那么， 因此只要证明：，再次换元令，即证构造新函数，求导，得在递增，所以，因此原不等式获证.【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的根底上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切方法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。例3.函数，为常数，假设函数有两个零点，试证明：【解析】法一：消参转化成无参数问题：，是方程的两

5、根，也是方程的两根，那么是，设，那么，从而，此问题等价转化成为例1，下略.法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设，欲证明，即证.，即证，原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例2中思路二的解答，下略.法三：直接换元构造新函数：设，那么，反解出：，故，转化成法二，下同，略.例4.设函数，其图像与轴交于两点，且.证明：.【解析】由，易知：的取值范围为，在上单调递减，在上单调递增.法一：利用通法构造新函数，略；法二：将旧变元转换成新变元：两式相减得：，记，那么，设，那么，所以在上单调递减，故,而，所以，又是上的递增函数，且，.容易想到，但却是错解的过程：欲证：，即要证：，

6、亦要证，也即证：，很自然会想到：对两式相乘得：，即证：.考虑用根本不等式，也即只要证：.由于.当取将得到，从而.而二元一次不等式对任意不恒成立，故此法错误.【迷惑】此题为什么两式相减能奏效，而变式相乘却失败？两式相减的思想根底是什么？其他题是否也可以效仿这两式相减的思路? 【解决】此题及很多类似的问题，都有着深刻的高等数学背景.拉格朗日中值定理：假设函数满足如下条件：（1） 函数在闭区间上连续；（2） 函数在开区间内可导，那么在内至少存在一点，使得.当时，即得到罗尔中值定理.上述问题即对应于罗尔中值定理，设函数图像与轴交于两点，因此，由于，显然与，与不是充要关系，转化的过程中范围发生了改变.例

7、5.11年，辽宁理函数I讨论的单调性；II设，证明：当时，；III假设函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.【解析】I易得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.II法一：构造函数，利用函数单调性证明，方法上同，略；法二：构造以为主元的函数，设函数，那么，由，解得，当时，而， 所以，故当时，.III由I知，只有当时，且的最大值，函数才会有两个零点，不妨设，那么，故，由II得：，又由在上单调递减，所以，于是，由I知，.【问题的进一步探究】对数平均不等式的介绍与证明两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：此式记为对数平均不等式取等条件：当且仅

8、当时，等号成立.只证：当时，.不失一般性，可设.证明如下：I先证：不等式构造函数，那么.因为时，所以函数在上单调递减，故，从而不等式成立；II再证：不等式构造函数，那么.因为时，所以函数在上单调递增，故，从而不等式成立；综合III知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立.前面例题用对数平均不等式解决例1.2010天津理函数 ，如果，且 ，证明：【解析】法五：由前述方法四，可得，利用对数平均不等式得：，即证：，秒证.说明：由于例2，例3最终可等价转化成例1的形式，故此处对数平均不等式的方法省略.例4.设函数，其图像与轴交于两点，且.证明：.【解析】法三：由前述方法可得：，等式两边取以

9、为底的对数，得，化简得：，由对数平均不等式知：，即，故要证，而显然成立，故原问题得证.例5.11年，辽宁理函数I讨论的单调性；II设，证明：当时，；III假设函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.【解析】III略，III由故要证.根据对数平均不等，此不等式显然成立，故原不等式得证.【挑战今年高考压轴题】2016年新课标I卷理数压轴21题函数有两个零点.证明：.【解析】由，得，可知在上单调递减，在上单调递增.要使函数有两个零点，那么必须.法一：构造局部对称函数不妨设，由单调性知，所以，又在单调递减，故要证：，等价于证明：，又，且，构造函数，由单调性可证，此处略.法二：参变别离再构造差量函数由得：，不难发现，故可整理得：设，那么那么，当时，单调递减；当时，单调递增设，构造代数式：设，那么，故单调递增，有因此，对于任意的，由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，那么必有令，那么有而，在上单调递增，因此：整理得：法三：参变别离再构造对称函数由法二，得，构造，利用单调性可证，此处略.法四：构造加强函数【分析说明】由于原函数的不对称，故希望构造一个关于直线对称的函数，使得当时，当时，结合图像，易证原不等式