二次函数经典例题及答案80899

1、二次函数经典例题及答案1. 已知抛物线的顶点为P（4，），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B点坐标为（1，0）。 （1）求这条抛物线的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段AC上是否存在这样的点Q，使得ADQ为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由y=x2+4x - ；存在点Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-）析试题分析：（1）根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a（x+4）2-，然后把点B的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；（2）先根据顶点坐标求出点D的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得到OA、O

2、C、AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出OAC的正弦值与余弦值，再分AD=Q1D时，过Q1作Q1E1x轴于点E1，根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ1，再利用OAC的正弦求出Q1E1的长度，根据OAC的余弦求出AE1的长度，然后求出OE1，从而得到点Q1的坐标；AD=AQ2时，过Q2作Q2E2x轴于点E2，利用OAC的正弦求出Q2E2的长度，根据OAC的余弦求出AE2的长度，然后求出OE2，从而得到点Q2的坐标；AQ3=DQ3时，过Q3作Q3E3x轴于点E3，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE3的长度，然后求出OE3，再由相似三角形对应边成比例列式求出Q3

3、E3的长度，从而得到点Q3的坐标试题解析：（1）抛物线顶点坐标为（-4，-），设抛物线解析式为y=a（x+4）2-抛物线过点B（1，0），a（1+4）2-=0，解得a=，所以，抛物线解析式为y=（x+4）2-， 即y=x2+4x-；（2）存在点Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-）理由如下：抛物线顶点坐标为（-4，-），点D的坐标为（-4，0），令x=0，则y=-，令y=0，则x2+4x-=0，整理得，x2+8x-9=0，解得x1=1，x2=-9，点A（-9，0），C（0，-），OA=9，OC=，AD=-4-（-9）=-4+9=5，在RtAOC中，根据勾股定理，AC=sinOA

4、C=cosOAC=，AD=Q1D时，过Q1作Q1E1x轴于点E1， 根据等腰三角形三线合一的性质，AQ1=2ADcosOAC=2×5×，Q1E1=AQ1sinOAC=×=4，AE1=AQ1cosOAC=×=8，所以，OE1=OA-AE1=9-8=1，所以，点Q1的坐标为（-1，-4）；AD=AQ2时，过Q2作Q2E2x轴于点E2，Q2E2=AQ2sinOAC=5×=，AE2=AQ2cosOAC=5×=2，所以，OE2=OA-AE2=9-2，所以，点Q2的坐标为（2-9，-）；AQ3=DQ3时，过Q3作Q3E3x轴于点E3，则AE3=A

5、D=×5=，所以，OE3=9-=，Q3E3x轴，OCOA，AQ3E3ACO，即，解得Q3E3=，所以，点Q3的坐标为（-，-），综上所述，在线段AC上存在点Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-），使得ADQ为等腰三角形2. 如图，直线y=x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点（1）求B、C两点坐标；（2）求此抛物线的函数解析式；（3）在抛物线上是否存在点P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由 1）B（3，0）C（0，3）（2）此抛物线的解析式为y=x2+2x+3（3）存

6、在这样的P点，其坐标为P（0，3），（2，3）（1+，3）或（1，3）试题分析：（1）已知了过B、C两点的直线的解析式，当x=0时可求出C点的坐标，当y=0是可求出B点的坐标（2）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式（3）根据（2）的抛物线的解析式可得出A点的坐标，由此可求出AB的长，由于SPAB=SCAB，而AB边为定值由此可求出P点的纵坐标，然后将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标试题解析：（1）直线y=x+3经过B、C当x=0时y=3当y=0时x=3B（3，0）C（0，3）（2）抛物线y=x2+bx+c经过B、Cb

7、=2，c=3此抛物线的解析式为y=x2+2x+3（3）当y=0时，x2+2x+3=0；x1=1，x2=3A（1，0）设P（x，y）SPAB=SCAB×4×|y|=×4×3y=3或y=3当y=3时，3=x2+2x+3x1=0，x2=2P（0，3）或（2，3）当y=3时，3=x2+2x+3x1=1+，x2=1P（1+，3）或（1，3）因此存在这样的P点，其坐标为P（0，3），（2，3）（1+，3）或（1，3）3已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x，y）（0x

8、6）是抛物线上的动点，过点P作PQy轴交直线BC于点Q当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？是否存在这样的点P，使OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（1） 所求抛物线的函数表达式是y=x2x+2（2）当x=3时，线段PQ的长度取得最大值最大值是1（3）P（3，0）或P（，）或P（，）析试题分析：（1）已知了A，B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式（2）QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在（1）中已经求出，而一次函数可根据B，C的坐标，用待定系数法求出那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就是关于PQ，x的

9、函数关系式，那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值（3）分三种情况进行讨论：当QOA=90°时，Q与C重合，显然不合题意因此这种情况不成立；当OAQ=90°时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；当OQA=90°时，如果设QP与x轴的交点为D，那么根据射影定理可得出DQ2=ODDA由此可得出关于x的方程即可求出x的值，然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标试题解析：（1）抛物线过A（3，0），B（6，0），解得：，所求抛物线的函数表达式是y=x2x+2（2）当x=0时，y=2，点C的坐标为（0，2）设直线BC的函数表达式是y=kx+b则有，解

10、得：直线BC的函数表达式是y=x+20x6，点P、Q的横坐标相同，PQ=yQyP=（x+2）（x2x+2）=x2+x=（x3）2+1当x=3时，线段PQ的长度取得最大值最大值是1解：当OAQ=90°时，点P与点A重合，P（3，0）当QOA=90°时，点P与点C重合，x=0（不合题意）当OQA=90°时，设PQ与x轴交于点DODQ+ADQ=90°，QAD+AQD=90°，OQD=QAD又ODQ=QDA=90°，ODQQDA，即DQ2=ODDA（x+2）2=x（3x），10x239x+36=0，x1=，x2=，y1=×（）2+2

11、=；y2=×（）2+2=；P（，）或P（，）所求的点P的坐标是P（3，0）或P（，）或P（，）4. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线与y轴交点为C，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B，D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（，），PBE的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围. （1），D（1，4）；（2）（）解析试题分析：（1）本题需先根据抛物线经过A（1，0）、B（3，0）两点，分别求出a、b的值，再代入抛物线即可求出它的解析

12、式（2）本题首先设出BD解析式，再把B、D两点坐标代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根据面积公式即可求出最大值试题解析：（1）抛物线（）经过A（1，0）、B（3，0）两点把（1，0）B（3，0）代入抛物线得：，抛物线解析式为：，=，顶点D的坐标为（1，4）；（2）设直线BD解析式为：（），把B、D两点坐标代入，得：，解得5. 如图，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于点A，点P（，）（a是任意实数）在抛物线上，直线经过A，B两点（1）求直线AB的解析式；（2）平行于y轴的直线交直线AB于点D，交抛物线于点E直线（0t4）与直线AB相交F，与抛物线相交于点G若FGDE34，求t的值；将

13、抛物线向上平移m（m0）个单位，当EO平分AED时，求m的值1)；（2）1或3；解析试题分析：（1）根据点P的坐标，可得出抛物线解析式，然后求出A、B、C的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）根据点E（2，5），D（2，1），G（，），F（，），表示出DE、FG，再由FG：DE=3：4，可得出t的值；设点A（0，2+m），则点E（2，5+m），作AHDE，垂足为H，在RtAEH中利用勾股定理求出AE，根据EO平分AED及平行线的性质可推出AEO=AOE，AO=AE，继而可得出m的值试题解析：（1）P（，）（a是实数）在抛物线上，抛物线的解析式为=，当时，即，解得，当x=0时，y=2

14、A（0，2），B（4，0），C（，0），将点A、B的坐标代入，得：，解得：，故直线AB的解析式为；（2）点E（2，5），D（2，1），G（，），F（，），DE=4，FG=，FG：DE=3：4，解得，设点A（0，2+m），则点E（2，5+m），作AHDE，垂足为H，=，即AE=，EO平分AED，AEO=DEO，AOED，DEO=AOE，AEO=AOE，AO=AE，即，解得m=6. 如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二

15、次函数的解析式及点C的坐标；（2）当P，Q运动t秒时，APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状并求说明理由（3）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由 （1）y=x2x4C（0，4）；（2）四边形APDQ为菱形；（3）存在满足条件的点E，点E的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（7，0）解析试题分析：（1）将A，B点坐标代入函数y=x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标（2）注意到P，Q运动速度相同，则APQ运动时都为等腰三角形，

16、又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形（3）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标试题解析：（1）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），解得 ，y=x2x4C（0，4）（2）四边形APDQ为菱形理由如下：如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQAP于F，AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，AP=AQ=QD=DP，四边形AQDP为菱形（3）存在如图1，过点Q作QDOA于D，此时QDOC，A（3，0），B（1，0），C（0，4）

17、，O（0，0）AB=4，OA=3，OC=4，AC=5，当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，AQ=4QDOC，QD=，AD=作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即AEQ为等腰三角形，设AE=x，则EQ=x，DE=ADAE=x，在RtEDQ中，（x）2+（）2=x2，解得 x=，OAAE=3=，E（，0）以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，ED=AD=，AE=，OAAE=3=，E（，0）当AE=AQ=4时，1当E在A点左边时，OAAE=34=1，E（1，0）2当E在A点右边时，OA+AE=3+4=7，E（7，0）综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为

18、（，0）或（，0）或（1，0）或（7，0）7.如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C（0，-3），其顶点为D，对称轴为直线（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将OBC沿x轴向右平移m个单位长度（0m3）得到另一个三角形EFG，将EFG与BCD重叠部分的面积记为S，用含m的代数式表示S（1）；（2）M的坐标为，；（3）解析试题分析：（1）抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），对称轴为直线，得到抛物线与x轴的另一个交点为B（3，0），把A、B、C的坐标代入抛物线，即可得到抛

19、物线的解析式；（2）当AC=AM时C、M关于x轴对称，得到M；当AC=CM时，AC=，以C为圆心，AC为半径作圆与y轴有两个交点，为M或M；（3）分别求出直线BC、BD的解析式，分两段计算重叠的面积：，试题解析：（1）由题意可知，抛物线与x轴的另一个交点为B（3，0），则，解得，故抛物线的解析式为：；（2）当AC=AM时C、M关于x轴对称，得到M；当AC=CM时，AC=，以C为圆心，AC为半径作圆与y轴有两个交点，为M或M；所以，点M的坐标为，； （3）记平移后的三角形为EFG设直线BC的解析式为y=kx+b，则：，解得：，则直线BC的解析式为，OBC沿x轴向右平移m个单位长度（0m3）得到E

20、FG，易得直线FG的解析式为设直线BD的解析式为y=kx+b，则：，解得，则直线BD的解析式为，连结CG，直线CG交BD于H，则H（，-3）在OBC沿x轴向右平移的过程中，当时，如图1所示设EG交BC于点P，GF交BD于点Q，则CG=BF=m，BE=PE=3m，联立，解得，即点Q（3m，-2m），=                         

21、                                  当时，如图2所示设EG交BC于点P，交BD于点N，则OE=m，BE=PE=3m，又因为直线BD的解析式为，所以当x=m时，得y=2m6，所以点N（m，2m-6）=，综上所述，8. 如图，抛物线

22、y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点M ，在对称轴上存在点P，使CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足最大时，求出Q点的坐标（4）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标 （1）y=-x2-2x+6；（2）P（-2，）或P（-2，2）或P（-2，-2）或P（-2，12）；（3）当Q在（-2，12）的位置时，|QB-QC|最大；（4）最大值为；E坐标为（-3，）解析试

23、题分析：（1）将点A（2，0）和点B（-6，0）分别代入y=ax2+bx+6，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，进而得到抛物线的解析式；（2）根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴为x=-2，再求出M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，6），根据M、C的坐标求出CM的距离然后分三种情况进行讨论：CP=PM；CM=MP；CM=CP；（3）由抛物线的对称性可知QB=QA，故当Q、C、A三点共线时，|QB-QC|最大，连结AC并延长，交对称轴于点Q，利用待定系数法求出直线AC的解析式，再将x=-2代入，求出y的值，进而得到Q点的坐标；（4）由于四边形BO

24、CE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EFx轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值即可求出此时E的坐标试题解析：（1）由题知： ，解得：，故所求抛物线解析式为：y=-x2-2x+6

25、；（2）抛物线解析式为：y=-x2-2x+6，对称轴为x=，设P点坐标为（-2，t），当x=0时，y=6，C（0，6），M（-2，0），CM2=（-2-0）2+（0-6）2=40当CP=PM时，（-2）2+（t-6）2=t2，解得t=，P点坐标为：P1（-2，）；当CM=PM时，40=t2，解得t=±2，P点坐标为：P2（-2，2）或P3（-2，-2）；当CM=CP时，由勾股定理得：40=（-2）2+（t-6）2，解得t=12，P点坐标为：P4（-2，12）综上所述，存在符合条件的点P，其坐标为P（-2，）或P（-2，2）或P（-2，-2）或P（-2，12）；（3）点A（2，0）和点

26、B（-6，0）关于抛物线的对称轴x=-2对称，QB=QA，|QB-QC|=|QA-QC|，要使|QB-QC|最大，则连结AC并延长，与直线x=-2相交于点Q，即点Q为直线AC与直线x=-2的交点，设直线AC的解析式为y=kx+m，A（2，0），C（0，6），解得，y=-3x+6，当x=-2时，y=-3×（-2）+6=12，故当Q在（-2，12）的位置时，|QB-QC|最大；（4）过点E作EFx轴于点F，设E（n，-n2-2n+6）（-6n0），则EF=-n2-2n+6，BF=n+6，OF=-n，S四边形BOCE=BFEF+（OC+EF）OF=（n+6）（-n2-2n+6）+（6-n2

27、-2n+6）（-n）=-n2-9n+18=-（n+3）2+，所以当n=-3时，S四边形BOCE最大，且最大值为此时，点E坐标为（-3，）9. 如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OBOC（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐

28、标；若不存在，请说明理由 （1）；（2）P点的坐标为，的最大值为；（3）Q（，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）解析试题分析：（1）设抛物线的解析式为，根据已知得到C（0，3），A（1，0），代入得到方程组，求出方程组的解即可；（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点F，求出点G的坐标（2，3），设直线AG为，代入得到，求出方程组的解得出直线AG为，设P（x，），则F（x，x1），PF，根据三角形的面积公式求出APG的面积，化成顶点式即可；（3）存在根据MNx轴，且M、N在抛物线上，得到M、N关于直线x=1对称，设点M为（m，）且m1，得到MN=2（m1），当QMN=90°

29、，且MN=MQ时，由MNQ为等腰直角三角形，得到，求出m的值，得出点M和点Q的坐标；当QNM=90°，且MN=NQ时，同理可求点Q的坐标，当NQM=90°，且MQ=NQ时，过Q作QEMN于点E，则QE=MN，根据抛物线及等腰直角三角形的轴对称性，得到点Q的坐标试题解析：（1）设抛物线的解析式为，由已知得：C（0，3），A（1，0），解得，抛物线的解析式为；（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，由，令x=2，则y=3，点G为（2，3），设直线AG为，解得：，即直线AG为，设P（x，），则F（x，x1），PF，当时，APG的面积最大，此时P点的坐标为，（3）存在MNx轴，且

30、M、N在抛物线上，M、N关于直线x=1对称，设点M为（，）且，当QMN=90°，且MN=MQ时，MNQ为等腰直角三角形，MQMN即MQx轴，即或，解得，（舍）或，（舍），点M为（，）或（，），点Q为（，0）或（，0），当QNM=90°，且MN=NQ时，MNQ为等腰直角三角形，同理可求点Q为（，0）或（，0），当NQM=90°，且MQ=NQ时，MNQ为等腰直角三角形，过Q作QEMN于点E，则QE=MN，方程有解，由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点Q为（1，0），综上所述，满足存在满足条件的点Q，分别为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）10在梯形ABCD中，ADBC，BAAC，ABC = 450，AD = 2，BC = 6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上.（1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式；（2）求ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求M的半径；（3）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当EDECFDFC最小时，EF的长；（4）设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的三角形与ADC相似