解决三角函数的几种有效方法 (2)

1、解决三角函数的几种有效方法 高惠芳“三角学”一词，来自希腊文，原意是三角形的测量，即解三角形，这是三角学的基本问题之一。后来应用范围逐渐扩大，渗及多个学科。三角学在不同学科的广泛应用，反过来又进了三角学自身体系的完善，如今它已成为一门基础学科。 其实三角的发展大体为三个重要时期：第一时期，从远古到11世纪以前，这时人们还没有提及三角学概念甚至连一般的边角关系都没有仔细涉及，但人们已能用已有对三角形的认识解决一些与三角学有关的问题。如由正多边形边长与外接圆半径的关系，计算弧的长度等。第二时期，从11世纪到18世纪，三角学脱离天文学而单独成为一门学科，这一时期人们就编制大量的三角函数表，这一时间，

2、对三角学研究最活跃的地区是中亚细亚。代表人一个是阿拉伯天文学家纳拉丁速，其代表作有完全四边形，较系统地总结了前人在三角方面的成就；另一位是德国的蕾基奥蒙坦，其代表作是论一般三角形，他把平面三角球面三角球面几何知识综合起来，初步立了现代三角学雏形。第三时期是18世纪以后，它从欧拉的天穷小分析引论为代表，讨论三角形的三角学进一步演变为研究三角函数的三角学，使三角学成为分析学的一个分支。如今，三角函数这一部分的知识在高中数学课程中仍占有极其重要的作用（今年2005年的数学高考题中的第一道简答题就是三角函数的化简，求最值问题，可见三角函数的重要性）。高中数学课程中三角函数部分，由于公式繁多，灵活多变，

3、很多学生都反映这部分知识理解不难，但要能把这么多公式灵活运用就有点难度了，特别是对初学者更是如此。所以，在这里我根据三角函数部分题型的求值、化简、证明的习题总结出一种相对有效的方法“找构找名找角法”。所谓的“找构找名找角法”，就是一找出三角函数的式子结构特点，二找各种类角的函数名的特点，三找函数式中角的特点，很多三角函数化简、求值、证明的题目，大多都是式子结构较为复杂、多个函数名同时存在、角的代换变化多样，要解决好这类问题我们必须本着数学上的基本思想：化归、统一思想。从这个角度出发将“找构找名找角法”归纳如下。1找三角函数的式子结构当看到数学题后，不要急于下手，首先应仔细观察；分析条件与结论的

4、关系；分析题目隐含着的各种信息；分析它属于数学中哪部分、要用到什么样的数学知识点、公式及方法（要注意的是同一个公式在解题过程中可能会用到多次）等。而对于三角函数题来说，第一步就是要先找式子的结构，找出式子结构再思考要运用哪些公式，此时最好就是能回忆起平时曾经做过的题型，以及化简的方向，在结合实际题型来解题。如看到 就联想到要用 ，看到立即就联想到等，看例子：例1 分析结构：1)左边比右边较为繁琐，所以应该由繁向简即从左边入手。2）观察左边是一个分子结构，不同分母的分式化简一般是通分，所以通分得，左边=3）由1第二步得到也是一个分式，先观察分母，容易看到应该考虑用正弦二倍角公式即，分子从多项式的

5、角度看，可用平方差公式，然后在用可化为到此解决问题。例2： 分析：观察结构，等式左右两边都是分式，而且繁简相当，这时可以是移项在通分.原式= = = =0 到此解决问题。2找各种类角的函数名世间万事万物皆有名，所谓“物以类聚，人以群分”，因此在解决数学问题时就要使被解决的问题在表现形式上趋于和谐，在数量关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更对称，统一。这就要求我们在解决一个三角函数的化简求值证明问题时，如果三角函数的名称、种类太多，应该利用各种关系式转化函数种类，力达统一为目的。经常运用的有“切割化弦”、“弦化切”、“化1”等例3求证： 分析：观察题目可见，题目中函数种类有正弦

6、、余弦、正切、余切，这种情况下将切化弦，就极易解决问题：左边= = = 得证。例4 分析：由题目条件容易得到利用两角和的正切公式得到，再来观察要求解的全是弦函数，我们利用平方和等于一的关系式求解，必定会遇到开方的麻烦，所以，为了避开这一大麻烦，这里采用“弦化切”的方法，如下：原式= = = = =3 3找函数式中角的特点仍然本着统一的原则，如果某些三角函数式子不统一的时候，我们将努力使其角向着和谐统一的方向发展，题目往往就能迎刃而解。例5 =分析：观察题目得知：条件中的角分别为，并且等号的左边比右边繁琐，故先从等号左边入手，然后根据等号右边的单角来化简即把，解题如下：左边= = = = = = 得证。再如求的值，很容