二次函数与直线、一元二次方程的关系

1、二次函数与直线、一元二次方程的关系一、二次函数与直线的关系（1） 抛物线与轴的交点是；（2） 抛物线与轴的交点，因为轴上的点的纵坐标都为0，所以令，代入得，解这个一元二次方程得，所以抛物线与轴的交点坐标是和；（3） 一次函数的图象与二次函数的图象的交点的个数，由方程组的解的数目确定：方程组有两组不同的解两函数图象有两个交点；方程组只有一组解两函数图象只有一个交点；方程组无解两函数图象没有交点。例1、已知：抛物线的解析式为。（1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值。变式1-1、在直角坐标平面中，为坐标原点，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交

2、于点，且。（1）求点与点的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）如果点在轴上，且是等腰三角形，求点的坐标。二、二次函数与一元二次方程的关系方程的两个实数根为，与轴的交点为，如下表：判别式的情况抛物线与轴的交点有两个交点有一个交点无交点二次方程的实根有两个不相等的实根有两个相等的实根无实根例2、（2011潍坊）已知一元二次方程的两个实数根满足和，那么二次函数的图象有可能是（ ）。变式2-1、（2011呼和浩特）已知一元二次方程的一根为，在二次函数的图象上有三点，则的大小关系是 。例3、如图所示，抛物线与轴交于两点，则，则= 。变式3-1、设函数的图象如图所示，它与轴交于两点，且线段与的长的比为

3、，则= 。例4、已知抛物线。求：（1） 为何值时，抛物线与轴相交于两点；（2）为何值时，抛物线与轴的两个交点分别在原点的两侧？变式4-1、已知抛物线。（1）求证：不论为何实数，抛物线与轴都有两个不同的交点？（2）当为何值时，抛物线与轴的交点分别都在原点左侧？（3）当为何值时，抛物线与轴的交点分别在两侧？例5、已知二次函数的图象经过点，对称轴是直线，在轴上截得的线段长为，求这个二次函数的解析式。变式5-1、已知二次函数的顶点为，且抛物线在轴上截得的线段长为4，求抛物线的解析式。变式5-2、如图，二次函数的图象经过点，且顶点的横坐标为4，该图象在轴上截得的线段的长为6.（1）求二次函数的解析式；（

4、2）在该抛物线的对称轴上找一点，使最小，求出点的坐标。例6、关于的一元二次方程。（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由。思考：1、函数的图象与轴有且只有一个交点，求的值和交点坐标。2、已知抛物线（为常数，且）。（1）证明：此抛物线与轴总有两个交点；（2）设抛物线与轴交于两点，若这两点到原点的距离分别为，且，求的值。二次函数与直线、一元二次方程的关系习题练习1、在二次函数中，若与异号，则其图象与轴的交点个数为 。2、不论为何实数，抛物线（ ）。在轴上方 与轴只有一个交点 与轴有两个交点 在轴下方3、若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 。4、已知函数的图象和轴有交点，则的取值范围是 。5、如果一个二次函数的图象经过点，与轴交于两点，点的横坐标分别为，且，求这个二次函数的解析式。6、已知关于的方程有两个不相等的实数根，试判断直线能否经过点，并说明理由。7、如图所示，已知抛物线与轴交于两点（点在轴的正半轴上），与轴交于点，矩形的一条边在线段上，顶点分别在线段上，抛物线上的部分点的横坐标对应的纵坐标如下。120（1）求三点的坐标；（2）若点的坐标为，矩形的面积为，求与的函数关系式，并指出的取值范围；（3）