8、切线的判定 (2)

1、切切 线线 的的 判判 定定24.2.2直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 知识回顾知识回顾直线和圆相交直线和圆相交nd d r rnd d r r直线和圆相切直线和圆相切直线和圆相离直线和圆相离nd d r rOO相交相交O相切相切相离相离r rrddd复 习1.1.直线和圆有哪些位置关系？直线和圆有哪些位置关系？2.2.什么叫做切线？什么叫做切线？3.3.你已经学会了哪些判断一条直线是圆的切线你已经学会了哪些判断一条直线是圆的切线的方法？的方法？图（）图（）图（）OOO观察、提出问题、分析发现 根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线

2、，但有时使用定义判定很不方便我们从另一个侧面去观察，那时使用定义判定很不方便我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢? ?图图(2)中直线中直线l是是 O的切线，怎样判定？的切线，怎样判定？图（）图（）图（）OOO O 请在请在O上任意取一点上任意取一点A，连接，连接OA。过点过点A作直线作直线 lOA。思考一下问题。思考一下问题：1. 圆心圆心O到直线到直线l的距离和圆的半径有什的距离和圆的半径有什么数量关系么数量关系?2. 二者位置有什么关系？为什么？二者位置有什么关系？为什么？3. 由此你发现了什么？由此你发现了什

3、么？lA发现发现：(1)(1)直线直线 l 经过半径经过半径OAOA的外端点的外端点A A； (2)(2)直线直线l垂直于半径垂直于半径0A0A 则则: :直线直线l与与这样我们就得到了从这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆位置上来判定直线是圆的切线的方法的切线的方法切线切线的判定定理的判定定理AOl直线与圆相切的判定定理：直线与圆相切的判定定理： 经过半径的经过半径的外端外端并且并且垂直垂直这条半径的这条半径的直线是圆的切线。直线是圆的切线。 对定理的理解：对定理的理解：切线需满足两条：切线需满足两条： 经过半径外端；垂直于这条半经过半径外端；垂直于这条半径径 AOl判 断1. 过半径的外

4、端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（ ）2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）问题：定理中的两个条件缺少一个行不行问题：定理中的两个条件缺少一个行不行? 判定直线与圆相切有哪些方法？判定直线与圆相切有哪些方法？ 切线的判定方法有三种：切线的判定方法有三种：直线与圆有唯一公共点；直线与圆有唯一公共点；直线到圆心的距离等于该圆的半径；直线到圆心的距离等于该圆的半径；切线的判定定理即切线的判定定理即经过半径的经过半径的外端外端并且并且垂直垂直这条半径的直线这条半径的直

5、线是圆的切线是圆的切线例1已知：直线已知：直线AB经过经过 O上的点上的点C，并且，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线求证：直线AB是是 O的切线。的切线。分析：由于分析：由于ABAB过过O O上的点上的点C C，所以连接，所以连接OCOC，只要证明，只要证明 ABOCABOC即可。即可。 证明：连结证明：连结OC(OC(如图如图) )。 OABOAB中，中， OAOAOBOB , CA, CACB, CB, ABOCABOC。 OCOC是是O O的半径的半径 ABAB是是O O的切线。的切线。例2证明：过证明：过O O作作OEACOEAC于于E E。 AOAO平分平分BACBAC，OD

6、ABODAB OE OEODOD 即圆心即圆心O到到AC的距离的距离 d = r AC AC是是O O切线。切线。小 结例例1 1与例与例2 2的证法有何不同的证法有何不同? ? (1)(1)如果已知直线经过圆上一点如果已知直线经过圆上一点, ,则连结这点则连结这点和圆心和圆心, ,得到辅助半径得到辅助半径, ,再证所作半径与这直线垂再证所作半径与这直线垂直。简记为：直。简记为：连半径连半径, ,证垂直证垂直。 ( (2)2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点点, ,则过圆心作直线的垂线段为辅助线则过圆心作直线的垂线段为辅助线, ,再证垂线再证垂线段长等

7、于半径长。简记为段长等于半径长。简记为：作垂直作垂直, ,证半径证半径。.如图, ABC中,AB=AC,ADBC于D,DE AC于E,以D为圆心,DE为半径作 D.求证：AB是 D的切线.FECDBA例1的变化变化:如图如图,已知：已知：OA=OB, AB，以为圆心，以为半径的圆，以为圆心，以为半径的圆与直线与直线AB 相切吗？为什么？相切吗？为什么？ 例例3 已知：如图已知：如图A是是O外一点，外一点，AO的的延长线交延长线交O于点于点C，点，点B在圆上，且在圆上，且AB=BC，A=30O。求证：直线。求证：直线AB是是O的切线。的切线。OBAC变变.如图如图,AB是是 O的直径的直径,点点

8、D在在AB的延长线的延长线上上,BD=OB,点点C在在 O上上, CAB=30,求求证证:DC是是 O的切线的切线.ODCBA例例4.以以RtABC的直角边的直角边BC为直径作半圆为直径作半圆O,交斜边于交斜边于D,OEAC交交AB于于E,求证求证:DE是是 O的切线的切线.EODCBAFEODCBA例例5.如图如图,在梯形在梯形ABCD中中,AD BC,AB=DC,以以AB为直径的为直径的 O交交BC于点于点E,过过E点作点作DC的垂线的垂线EF,F为垂足为垂足,求证求证:EF是是 O的切线的切线变变:把把”梯形梯形ABCD”改为改为”等腰三角形等腰三角形ABC,AB=AC”练习1 判断下列

9、命题是否正确判断下列命题是否正确 (1)经过半径外端的直线是圆的切线经过半径外端的直线是圆的切线 (2)垂直于半径的直线是圆的切线垂直于半径的直线是圆的切线 (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线是圆的切线 (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线和圆有一个公共点的直线是圆的切线(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切为半径的圆与底边相切2.如图如图,AB是是 O的直径的直径, ABT=45,AT=AB,求求证证:AT是是 O的切线的切线.TOBA小结本课小结本课1 1、切线的判定方法；、

10、切线的判定方法；2 2、切线的作法；、切线的作法；3 3、常见辅助线；、常见辅助线；4 4、综合应用。、综合应用。 1、知识：切线的判定定理着重分析了定理成立、知识：切线的判定定理着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可可 2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法： (1) 根据切线定义判定即与圆有唯一公共点的根据切线定义判定即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线直线是圆的切线. (2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线距离等于圆的半径的直线是圆的切线 (3)根据切线的判定定理来判定根据切线的判定定理来判定其中其中(2)和和(3)本质相同，只是表达形式不同解题时，本质相同，只是表达形式不同解题时，灵活选用其中之一灵活选用其中之一 下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上