用区间表示下列函数的定义域

1、习题一（A）2、用区间表示下列函数的定义域：（1）；解 ：当时，有意义，当时，有意义，所以。（2）；解：要使函数有意义，所以。3、讨论下列函数的奇偶性：（2）；解：因为，所以为奇函数。6、指出下列各函数是由哪些简单函数复合而成的？（1）； 解：是由函数，复合而成的复合函数。（2）；解：；是由函数，复合而成的复合函数。7、求下列函数的反函数及反函数的定义域：（1），；解：当时，则，交换得反函数，。8、设某商店以每件元的价格出售某种商品，可销售件，若在此基础上降价，最多可再销售件，又知该商品每件进价为元，试写出销售该商品的利润与进货数2 / 60的函数关系。解：当时，利润，当时，利润，综合。9、某

2、家用电器每台销售价为元，每月可销售台，若每台销售价为元，则每月可增销台，求该电器的线性需求函数，并将销售收入表示成销售量 的函数。解：设需求量（销售量）为，单价为，则当时，当时，线性需求函数为，解得，线性需求函数为，销售收入。10、设销售某种商品的总收入是销售量的二次函数，而且已知时，响应的。试确定与的函数关系表达式。解：设，当时，则，当时，解得，。13、填空：当时，（1）是的（ 同 ）阶无穷小量；因为（等价无穷小）。（2）是的（高）阶无穷小量；因为18、极限，运算过程中哪几个等号是错误的？解：第一个等号是错误的，当时，但这里是和差运算不能用等价无穷小代换。19、求下列极限：（1）；解；。（2

3、）；证：，因为有界，而，所以，无穷小量，由有界变量与无穷小的积为穷小，则有。（3）；解：。（4）；解：原式。（5）；解：分子分母同除以，原式。（6）；解：。（7）；解：。20、求下列极限：（1）；解：。（2）；解：。（3）；解：。（4）；解：。（5）；解：。（6）；解：。21、求下列函数的间断点，并判别类型：（1）；解：当时（），分母为零，为间断点，时，间断点，所以为第一类间断点（可去间断点），所以，为第二类间断点（无穷间断点）；当时（），分母无定义，为间断点，所以为第一类间断点（可去间断点）。（2）；解：函数定义域，分子当时，有意义，当时，分母为零，所以为间断点，所以为第一类间断点（可去间断

4、点）；，所以为第二类间断点（无穷间断点）。22、证明方程（为正的常数）在上至少有一个根。证：设为初等函数，在上连续，由连续函数的零点定理，在内至少存在一点，使，即方程在内至少存在一根，所以在上至少有一个根。（B）4、设（），求。解：令，。7、求下列极限：（1）；解：因为，所以，所以；，所以极限。16、证明：方程至少有一个小于的正根。证；令，初等函数在上连续，由连续函数的零点定理，至少存在，使，即方程至少有一个小于的正根。习题二 （A）1、求曲线在处的切线方程和法线方程。解：，切线斜率，切线方程为，即；法线斜率，法线方程为，即。3、当取何值时，曲线和的切线平行？解：设，两切线平行，所以，解得，。

5、4、设可导，求下列极限：（1）；解：。5、设函数 ，讨论该函数在处是否连续、是否可导？若可导，则求出。解：因为，所以在处左连续；，所以在处右连续；则函数在处连续。因为坐导数；而右导数；，所以函数在处不可导。7、设函数 ，证明该函数在处连续、但在处不可导。证：因为（因为有界，而无穷小量），所以在处连续；不存在，所以在处不可导。8、计算下列函数的导数：（1）；解：。（3）；解：，。（4）；解： 。（6）；解 ：。（7）；解：。（8）：解：。（9）；解：。（10）；解:。（12）；解：。9、计算下列函数的导数：（1），求；解：方程两端对求导，解得。（2），求；解：方程两端对求导，得。（3），求；解：

6、方程两端对求导，。（4），求；解：方程两端对求导，解得，当时，代入。（5），求；解：令，两端对求导，即；令，两端对求导，则。（6），求；解：，两端对求导，。（7），求；解：。（9），求；解：。10、设可导，且，求。解：，。11、求下列函数的导数： （2）设，求；解：，。（5）设函数，求。解：，由公式，则。12、证明：函数满足方程。证：，。14、求下列函数的微分：（1），求；解：。（2），求；解：，。（4），求；解：方程两端微分，解得。（5），求；解：方程两端微分，解得。（6），求；解：方程两端微分，解得。15、计算下列函数在指定点处的微分值： （2），求。解：，代入，。（B）7、证明：曲线上任

7、意一点上的切线在两坐标轴的解距之和等于。证：设曲线上任意一点，则，方程两端对求导，在点处的切线斜率为，切线方程为，令，得轴上的截距，令，得轴上的截距，二截距之和为。8、证明可导的偶函数的导数是奇函数，可导的奇函数的导数是偶函数。证：为偶函数，两端对求导，即，为奇函数；为奇函数，两端对求导，即，为偶函数。习题三（A）1、验证罗尔定理对函数在区间上的正确性。解：初等函数在区间上连续，在内内可导，即满足罗尔定理的所有条件，所以存在，使，。2、验证拉格朗日定理对函数在区间上的正确性。解：初等函数在上连续，在内可导，满足拉格朗日定理的所有条件，所以存在，使得，即，。3、不用求出函数的导数，说明方程有几个

8、实根，并指出它们所在的区间。解：初等函数，在上连续可导，满足罗尔定理的所有条件，所以存在，使，即在内，方程至少有一个实根，同理，在内，方程至少有一个实根，在内，方程至少有一个实根，则方程至少有三个实根；为四次多项式，为三次方程至多有三个实根，所以只有三个实根，分别在，区间内。6、用洛必达法则求下列极限：（1）； 解：。（3）； 解：。（5）； 解：。（7）；解：。（8）；解：。（11）； 解：。（12）： 解：。（13）；解：。（15）； 解：因为，所以。9、证明在上严格单减。证：在连续可导，所以由定理在严格单减，在上严格单减。 11、确定下列函数的单调区间（1）； 解： ，得驻点，单增单减单

9、增列表讨论得，函数的单减区间单增区间。单减单增（2）（）；解：，得驻点，列表讨论得，函数的单减区间，单增区间。单减单增单减（6）；解：，得驻点，列表讨论得，函数的单减区间，单增区间。12、求下列函数的极值（1）解： ，驻点，当时，有极小值，当时，有极大值。（3）解： ，,，驻点，另外分段函数的分界点作为可疑极值点，当时，当时，当时，所以时有极大值，时有极小值。13、判定下列曲线的凹凸性，并求拐点：（1）； 解： ，所以曲线在定义域内是凸的，无拐点。（3）（）；解：，所以曲线的凹区间为，无拐点。（4）。解：，解方程，得，当时， 所以曲线的凹区间为；当时， 曲线的凸区间为，拐点为。14、求下列函数

10、的最大值和最小值。（1），；解：，在内的驻点，比较、得最大值为，最小值为。（4）。解：，驻点为，所以。15、设在上连续，在内可导，且证明存在一点，使得。证：令，由题设在上连续，在内可导，由罗尔定理，存在一点，使，得证。17、商店销售某商品的价格为（为销售量），求收入最大时的价格。解：设收入为，唯一驻点，所以当时，有极大值，这时，价格。 18、求下列函数的渐近线。（1）；解：，因为，所以，直线为水平渐近线；因为，所以直线为铅直渐近线；因为；所以直线为铅直渐近线。（3）； 解：因为，所以直线为水平渐近线；因为直线为铅直渐近线。（B）3、证明下列不等式：（1）；证：当时，不等式取等号成立，当时，不妨

11、设，设初等函数，在上连续，在内可导，则由拉格朗日定理，存在一点，使得，所以成立。（2）当时，。证：设初等函数，在上连续，在内可导，则由拉格朗日定理，存在一点，使得，而，所以，即不等式成立。5、证明下列不等式：（1）当时，； 证：令，初等函数在上连续，在内可导，所以在上单增，当时，所以不等式成立。（4）当时，；证：令，初等函数在上连续，在内可导，再令，初等函数在上连续，在内可导，所以在上单增，当时，所以不等式成立，则，所以在上单增，当时，所以不等式成立。10、设存在，证明：。证：11、试确定的取值范围，使得与轴（1）有一个交点；（2）有两个交点；（3）有三个交点。 解：， ，驻点，极大值，极小值

12、，的单增区间为，单减区间，当时，且时，仅在内有一个零点，曲线与轴只有一个交点；当时，且时，仅在内有一个零点，曲线与轴只有一个交点；当时，为曲线与轴的一个交点，仅在内有一个零点，即曲线与轴有二个交点；当时，为曲线与轴的一个交点，仅在内有一个零点，即曲线与轴有二个交点；当时，分别在内有三个零点，即曲线与轴有三个交点。习题二（B）(一元函数的导数与微分)1 计算下列函数的导数（1） y=+ 求 解： = = =+=（2） y= 求解：方法1 = 方法2 = （3） 求 解：设y= = ; = 利用取对数求导法： l (1) (2) (1)两边求导： ， (2)两边求导： （4）设方程 sin+ 确定

13、了函数，求 解：两边对求导： 得 （5）设y=f(x) 由 ， 确定 ,求 解： 两边对t求导：， （6） 求 解 两边对t求导： ， ，2 已知f(x)可导，y=fln(x+) 求解： 3 设f(x)可导 ，求极限 解：上下都除以 原式 44 假设当时，f(x)二阶可导，求a,b,c 使下列函数二阶可导 解： 因为 f(x)二阶可导， 二阶可导及F(x)在上二阶可导，可求得： 及 。由二阶可导推知在连续，于是 （1）及 （2） 由存在推知在处左右导数存在且相等。而 ，（由（2）式）。因此 （3） 故由（1），（2），（3）可得：5 设，其中有连续的导数，证明在处二阶可导，并求出。证明： 6

14、设函数 f(x)= ,确定a,b的值，使函数在x=1处有连续导数。 解：先求，其中用定义求左右导数，使之相等。于是 由在处连续，可知在处连续，因此 ： ，即 （1） 又因为在处连续，可知 即 由知：7 证明曲线上任一点上的切线在两个坐标轴的截距之和等于a.证：设为曲线上的任一点，则，过的切线： ，对方程两边求导：，在 处的斜率为，切线方程为： 轴上的截距：令，则整理得： 轴上的截距：令，则整理得： 二截距之和： 8 证明可导的偶函数的导数是奇函数；可导的奇函数的导数是偶函数。 证：设是可导的偶函数，即，两边对求导得： 即，为奇函数。 设为可导的奇函数，即，两边对求导得： 即，是偶函数 9 设满

15、足等式，其中为常数，且，求 解： 将换成，则有，于是有方程组： ， 。消掉，求出：即得： ，因为，所以 ， 10 设，二阶可导，且，求 解：得到： 11 设参数方程，其中，二阶可导，试证的一般公式。 解： 12 设 ，求 解： 13 假设可微，且，求 解： 14 设可导，证明： 证： ，即 ，即 习题三 （B）1、证明方程只有一个实根。 证：设 则，故在上严格单增。在内， 。由连续函数的零点定理知，必存在一点使，是的一个根。由于在上严格单增，故只有唯一根。2、设在内二阶可导，且，证明在内至多有一个驻点。证明：因为，不妨设，。于是在上严格单增，即至多有一处使，即在内至多有一个驻点。用反证法也可以

16、证明。假定有两个或两个以上驻点，则。由罗尔定理知，必有使，这与矛盾。3、证明不等式：(1) ；(2) 当时，。证明：(1) 设，不妨设。在上连续，在内可导，由拉格朗日定理知至少存在一点使，即。当时，。故对于任意的上式都成立。(2) 设，在上连续可导，在上严格单调增加。又，所以当时，即。4、证明：若函数在内满足关系式且，则。证：因为，而，所以，那么。由于，即，则。5、证明下列不等式：(1) 当时，； (2) 当时，；(3) 当时，；(4) 当时，；(5) 当时，；(6) 当时，。证：(1) 利用单调性证明。设，则在上连续，在内可导，即在上严格单调增加。，当时，即，。(2) 用拉格朗日定理证。设，

17、在上连续，在内可导，由拉格朗日定理知，至少有一点使，即。 因为，所以， ()，而=，即 ，即（由式），所以。(3) 用单调性证。设，于是在上连续，在内可导，所以在上严格单调递增。当时，即。(4) 用单调性证。令，在上连续，在内可导，（这里用单调性可以证明），即在上严格单增。，当时，即。(5) 令，=。因为，所以，。当时，严格单调增加。又，当时，故单增。，所以当时，不等式成立。(6) 设，当时，即。=，在内单调减小。当时，即不等式成立。6、讨论方程有几个实根。解：用切线方法。当与相切时，斜率相等，即，这时方程只有一个解；当时，两曲线无交点，方程无实数根；当时，两条曲线有两个交点，方程有两个实根。

18、7、利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：(1) （）；(2) （）；(3) （）。证：(1) 设（），则，曲线是凹的。任给两点，则在曲线上，由凹曲线的性质知，即。(2) 令，函数曲线是凹的，所以，即。(3) 令（），函数曲线是凹的，任给，有,在曲线上，由凹曲线的性质知，即，即。8、设 求的极值。解：=，所以是曲线的跳跃间断点。 令，得（驻点），时为尖点，间断点，为极大值，。，为极小值。 9、设都是可导函数，且，证明：当时，。证明：在上连续，在内可导，且，由柯西定理知，至少存在一点，使，两边同时取绝对值，= ，即。10、设存在，证明：。证：。11、试确定的取值范围，使得与轴 (1) 有一个交点；(2) 有两个交点；(3)