垂直于弦的直径(第一课时)教学设计

1、垂直于弦的直径（第一课时）教学设计高艳玲【教学内容】§24.1.2垂直于弦的直径.。（新人教版初三数学课本P86P87）【教学目标】1知识目标：通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； 掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； 掌握辅助线的作法作弦心距。2能力目标：通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； 向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。3情感目标：通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质； 培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获得成功的体验。【教学重点】垂径

2、定理及其应用。【教学难点】垂径定理的语言表述。【教学方法】探究发现法。【教具准备】圆形纸片、电脑、三角板、圆规。【教学设计】 一、教学活动设计：二、教学过程设计：（一）实例导入，激疑引趣 1实例：同学们，这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。2导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓形高）为7.2米

3、。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图1） （二）尝试诱导，发现定理 1实验验证：让学生找到准备好的圆形纸片的圆心。教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。2运动变换： 如图2(a)，AB、CD是O的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？如图2(b)，弦 AB作怎样的变换时， ACBC ，ADBD ？如图2(c)，当AB变成非直径的弦时，此时图中还有相等的线段和相等的弧吗？COABCE如图2(d)，当弦AB与直径CD不垂直时，此时图中还有相等的线段

4、和相等的弧吗？DD (a) (b) (c) (d)（图2）3提出猜想：根据以上的研究和图1(c)，我们可以大胆提出这样的猜想 （板书） 4验证猜想：教师用电脑课件演示图1(c)中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为垂直于弦的直径。（三）引导探究，证明定理1引导证明：猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从等腰三角形和圆的对称性两方面寻找证明思路。2归纳定理：根据上面的证明，请学生自己用文字语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3巩固定理：在下列图形（如图3(a)(d)）中，AB是O的弦，CD是O的弦

5、，它们是否具备“垂径定理”的条件？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。 (a)ABCD于E (b)E是AB中点 (c)OCAB于E (d)OEAB于E（图3） 向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。（四）例题示范，变式练习1运用定理进行计算。【例1】如图4，在O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。（图4） （图5）分析：因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”，所以要作辅助线OEAB；因为要求半径，所以还要连结OA。 解：（略）学生口述，教师板书。 【变式一】在图4中，若O的半径为10cm，OE=6cm，则AB= 。【思考一】若圆

6、的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d， 则R、a、d三者之间的关系式是 。 【思考二】你能解决本课一开始提出的问题吗？（师生共同完成）（五）师生小结，纳入系统1定理的三种基本图形如图6、7、8。2计算中三个量的关系如图9，。3证明中常用的辅助线作弦心距。（图6） （图7） （图8） （图9）（六）达标检测，反馈效果1如图10，在O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为 ，AOB 度。2作图题：经过已知O内的已知点A作弦，使它以点A为中点（如图11）。3如图12，两个圆都以点O为圆心，求证：AC=BD。OCDBA（图10） （图11） （图12）垂直于弦的直径（第一课时）课堂作业 姓名 得分 【例1】 如图，在O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为为3cm，求O的半径。 【变式一】在上图中，若O的半径为10cm，OE=6cm，则AB的长为多少？ 【思考一】若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d，则R、a、d三者之间的关系式是 。 【思考二】你能解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法）【作业】1 如图，O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距