第六章 相似矩阵及二次型

1、相似矩阵及二次型 1.向量的内积 定义定义1 设有n维向量令 x, y称为向量x与y的内积内积。内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x与y都是列向量时，有内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，为实数）：（1）x, y=y, x;（2） x, y= x, y;（3）x+y,z=x,z+y,z. .,2121nnyyyyxxxx,2211nnyxyxyxyxyxyxT,1.向量的内积有解析几何中，我们曾经引进向量的数量积且在直角坐标系中，有n维向量的内积时数量积的一种推广，但n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广，并且反过来，利用内积来定

2、义n维向量的长度和夹角：定义定义2 令 称为n维向量x的长度长度（或范数）。向量的长度有下述性质：1.非负性非负性 当 时， ;当 x=0 时， =0；2.齐次性齐次性 ；3.三角不等式三角不等式 。 当 =1时，称x为单位向量单位向量。cosyxyx332211321321),(),(yxyxyxyyyxxx22221,nxxxxxxx0 x0 xxxxyxyxx向量的内积满足上式称为施瓦茨不等式施瓦茨不等式，这里不予证明。由此得于是有下面的定义： 当 时,称为n维向量x与y的夹角夹角。当x, y =0时，称向量x与y正交正交。显然，若x=0，则x与任意向量都正交。 , ,2yyxxyx时）

3、当0(1,yxyxyx0, 0yx1.向量的内积yxyx,arccos下面讨论正交向量组正交向量组的性质。所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量。定理定理1 若n维向量a1，a2,ar是一组两两正交的非零向量，则 a1，a2,ar线性无关。证证 设有 使以 左乘上式两端，得 ，因 故 ，从而必有 。类似可证 ， 。于是向量组a1，a2,ar线性无关。 证毕 我们常采用正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基正交基。例如n个两两正交的n维非零向量，可构成向量空间Rn的一个正交基。 r,2102211rraaaTa10111aaT01a02111 aaaT01020r1.向量的内积例1

4、 已知3维向量空间R3中两个向量正交，试求一个非零向量a3，使a1,a2,a3两两正交。 121,11121aa解解 记 ， a3应满足齐次线性方程Ax=0,即 ，由 ，得 ，从而有基础解系 。取 即合所求。 12111121TTaaA00121111321xxx010101030111A0231xxx1011013a定义定义3 设n维向量e1,e2,er是向量空间 的一个基，如果e1, e2, ,er两两正交，且都是单位向量，则称e1,e2,er是V的一个规范正规范正交基。交基。 例如 就是R4的一个规范正交基。 若e1,e2,er是V的一个规范正交基，那么V中任一向量a应能由e1,e2,e

5、r线性表示，设表示式为 。为求其中的系数 （i=1,r）,可用 左乘上式，有即 )(nRVV0021211e0021212e2121003e2121004erreeea2211,iiTiiTieeae,iTiieaaeiTie1.向量的内积 设a1,a2,ar是向量空间V的一个基，要求V的一个规范正交基。这也就是要找一组两两正交的单位向量e1,e2,er，使e1,e2,er与a1,a2,ar等价。这样一个问题，称为把把a1,a2,ar这个基规范正交化这个基规范正交化。 我们可以用以下办法把a1,a2,ar规范正交化：取 容易验证b1,br,两两正交，且b1,br与a1,ar等价。然后只要把它们

6、单位化，即取 就得V的一个规范正交基。上述从线性无关向量组a1,ar导出正交向量组b1,br的过程称为施密特施密特（Schimidt）正交化过程正交化过程。它不仅满足b1,br与a1,。,ar等价，还满足：对任何k (1 ),向量组b1,，bk与a1,ak等价。.,;,;111122221111111212211rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbababbbbababab,1,11222, 111rrrbbebbebberk 例2 设 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。解解 取再把它们单位化，取 ,014,131,121321aaa11ab ;1113512164131,12

7、11222bbbaab12131014,2222, 31211333bbbabbbaab.101211135.10121,11131,12161333222111bbebbebbe1.向量的内积1.向量的内积例4 验证矩阵P是正交矩阵 P解解 P的每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以P是正交矩阵。 定义定义5 若P为正交矩阵，则线性变换y=Px 称为正交变换正交变换。 设y=Px为正交变换，则有 按 表示向量的长度，相当于线段的长度。 说明经正交变换线段长度保持不变，这是正交变换的优良特性。2121000021212121212121212121xxxPxPxyyyTTTTxxy 2.方阵

8、的特征值与特征向量 工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征的问题。数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题，也都要用到特征值的理论。定义定义6 设A是n阶矩阵，如果数 和n维非零列向量x使关系式 （1）成立，那么，这样的数 称为方阵A的特征值特征值，非零向量x称为A的对应于特征值 的特征向量特征向量。 xAx2.方阵的特征值与特征向量（1）式也可写成 （2）这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 （3）即 上式是以 为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程。其左端是的n次多项式，记作f( )，称为方阵A的特征

9、多项式。显然，A的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶矩阵A有n个特征值。 0 xEA0 EA0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa2.方阵的特征值与特征向量设n阶矩阵A=（aij）的特征值为 ，由多项式的根与系数之间的关系，不难证明（1）（2）请读者证明之。设为方阵A的一个特征值，则由方程可求得非零解x=pi，那么pi便是A的对应于特征值 的特征向量。（若 为实数，则pi可取实向量；若 为复数，则pi为复向量。） n,21nnnaaa221121An210)(xEAiiii例5 求 的特征值和特征向量。解解 A

10、的特征多项式为所以A的特征值为 ， 。当 时，对应的特征向量应满足 即解得x1=x2,所以对应的特征向量可取为 。 3113A)2)(4(681)3(3113222142210023112321xx. 0, 02121xxxx111p当 时，由即解得x1=-x2 ，所以对应的特征向量可取为 显然，若pi是方阵A的对应于特征值 的特征向量，则 也是对应于 的特征向量。420043114321xx00111121xx111pi)0(kkpii例6 求矩阵 的特征值和特征向量。解解 A的特征多项式为所以A的特征值为 , 。当时 ，解方程 。由 得基础解系 ，所以 是对应于 的全部特征向量。 2010

11、34011A2)1)(2(201034011 EA21132210)2(xEA0000100010010140132EA1001p)0(1kkp21当时 ，解方程由 ，得基础解系 ，所以 是对应于 的全部特征向量。 1320)(xEA000210101101024012EA1212p)0(2kkp132例7 求矩阵 的特征值和特征向量。解解当 时，解方程 。由 得基础解系 ，所以对应于 的全部特征向量为 。314020112A22)2)(1()2)(2(3412)2(314020112EA000010101414030111EA1011p1111)0(1kkp0)(xEA当 时，解方程 。由

12、，得基础解系 ， ， 所以对应于 的全部特征向量为 （k2,k3不同时为0）。 2320)2(xEA0000001141140001142EA1102p4011p3322pkpk232例8 设 是方阵A的特征值，证明 是A2的特征值。证证 因 是A的特征值，故有 使 。于是 ，所以 是A2的特征值。按此类推，不难证明：若 是A的特征值，则 是Ak的特征值； 是 的特征值。（其中， ）定理定理2 设 是方阵A的m个特征值，p1,p2,pm依次是与之对应的特征向量。如果 各不相等，则p1,p2,pm线性无关。20ppAppAppAApApA22)()()(2k)()(Ammaaa10)(mmAaA

13、aEaA10)(m,21m,213.相似矩阵定义定义7 设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P,使 P-1AP=B,则称B是A的相似矩阵相似矩阵，或说矩阵A与B相似。对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。定理定理3 若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同。证证 因A与B相似，即有可逆矩阵P,使P-1AP=B,故 EAPEAPPEAPPEPAPPEB1111)()(3.相似矩阵推论推论 若n阶矩阵A与对角矩阵 相似，则 即是A的n个特征值。下面我们要讨论的主要问题是：对n阶矩阵A，寻求相似变换矩阵P,使 P-1

14、AP= 为对角矩阵，这就称为把方阵把方阵A对角化对角化。定理定理4 n阶矩阵A与对角矩阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。联系定理2，可得推论推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角矩阵相似。 n21n,214.对称矩阵的相似矩阵定理定理5 对称矩阵的特征值为实数。定理定理6 设 是对称矩阵A的两个特征值，p1,p2是对应的特征向量。若 ，则p1与p2正交。定理定理7 设A为n阶对称矩阵， 是A的特征方程的r重根，则矩阵 的秩 ,从而对应特征值 恰有r个线性无关的特征向量。 这定理不予证明。定理定理8 设A为n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，使P-1AP

15、= 其中 是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。21,21EArnEAR)(例9 设 ，求一个正交矩阵P,使P-1AP= 为对角矩阵。解解 故得特征值 =2， 。当 =2时，由解得 单位特征向量可取 310130004A1122)4)(2()86)(4(310130004 EA432000110110002321xxx1101321kxxx212110p当时 ，由 解得 ，基础解系中两个向量恰好正交，单位化即得两个单位正交的特征向量， 于是得正交矩阵 可以验知确有 2121212132100010),(pppP212130p0012p11000121321kkxxx0001101100003

16、21xxx4324421APPAPPT此例中对应于 =4，若求得方程（A- 4E）x = 0的基础解系为 ， ，则需把它规范正交化：取 。要 即 ;有 ，故 再单位化，即得于是 可以验知仍有P-1AP= 。 11232111311112311121TTk01121TTk021T12211,k11121111112311112p112611223p61312161312162310P5.二次型及其标准形定义定义8 含有n个变量 的二次齐次函数 （5）称为二次型二次型取 ,则 ，于是（5）式可写成 （6） nxxx,21nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1, 13113211222222211121222),(jiijaa ijjijiijjiijxxaxxaxxa2njijiijnnnnnnnnnnnxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaf1,22211222222122111211221115.二次型及其标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换 （7） 使二次型只含平方项，也就是用（7）代入（5），能使 这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式）。当aij为复数时，f称为复二次型；当aij为实数时，f称为实二次型。这里我们仅讨论实二次型，所求的