建筑环境测试技术2

1、第第2章章 测量误差和数据处理测量误差和数据处理v授课课时授课课时：4学时学时v主要内容主要内容：测量误差、误差的定义；误差的：测量误差、误差的定义；误差的分析方法误差的类型，误差的处理方法。分析方法误差的类型，误差的处理方法。v重点和难点重点和难点:误差的定义、误差的分析方法、误差的定义、误差的分析方法、误差的类型，随机误差的处理及合成，随机误差的类型，随机误差的处理及合成，随机误差分析、系统误差分析、测量数据的处理误差分析、系统误差分析、测量数据的处理 主要章节主要章节2.1 2.1 测量误差测量误差2.2 2.2 测量误差的来源测量误差的来源2.3 2.3 误差的分类误差的分类2.4 2

2、.4 随机误差分析随机误差分析2.5 2.5 系统误差分析系统误差分析2.6 2.6 间接测量的误差传递与分配间接测量的误差传递与分配2.7 2.7 误差的合成误差的合成2.8 2.8 测量数据的处理测量数据的处理2.9 2.9 最小二乘法最小二乘法2.1 2.1 测量误差测量误差1.1.误差误差( (术语、名词）术语、名词）1 1）真值）真值A A0 0 一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值称作它的真一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值称作它的真值值 。2 2）指定值）指定值AsAs 一般由国家设立各种尽可能维持不变的实物标准一般由国家设立各种尽可能维持不变的实物标准

3、 ( (或基准或基准) )，以法令的，以法令的形式指定其所体现的量值作为计量单位的指定值形式指定其所体现的量值作为计量单位的指定值。 3 3）实际值）实际值A A 国家通过一系列的各级实物计量标准构成量值传递网，把国家基准所国家通过一系列的各级实物计量标准构成量值传递网，把国家基准所体现的计量单位逐级比较传递到日常工作仪器或量具上去。在每一级体现的计量单位逐级比较传递到日常工作仪器或量具上去。在每一级的比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为的比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫作相对真值。实际值，也叫作相对真值。 4 4）标称值）标称值 测

4、量器具上标定的数值称为标称值。测量器具上标定的数值称为标称值。 5 5）示值）示值 由测量器具指示的被测量量值称为测量器具的示由测量器具指示的被测量量值称为测量器具的示值，也称测量器具的测得值或测量值，它包括数值，也称测量器具的测得值或测量值，它包括数值和单位。值和单位。6 6）测量误差）测量误差 测量仪器的测得值与被测量真值之间的差异，称测量仪器的测得值与被测量真值之间的差异，称为测量误差。为测量误差。 7 7）单次测量和多次测量）单次测量和多次测量8 8）等精度测量和非等精度测量）等精度测量和非等精度测量v等精度测量等精度测量: 在保持测量条件不变的情况下对同一被测量进行在保持测量条件不变

5、的情况下对同一被测量进行的多次测量过程称作等精度测量。的多次测量过程称作等精度测量。v非等精度测量非等精度测量: 如果在同一被测量的多次重复测量中，不是所有如果在同一被测量的多次重复测量中，不是所有测量条件都维持不变测量条件都维持不变 ( (比如，改变了测量方法，比如，改变了测量方法，或更换了测量仪器，或改变了联接方式，或测量或更换了测量仪器，或改变了联接方式，或测量环境发生了变化，或前后不是一个操作者，或同环境发生了变化，或前后不是一个操作者，或同一操作者按不同的过程进行操作，或操作过程中一操作者按不同的过程进行操作，或操作过程中由于疲劳等原因而影响了细心专致程度等由于疲劳等原因而影响了细心

6、专致程度等) )，这样，这样的测量称为非等精度测量或不等精度测量。的测量称为非等精度测量或不等精度测量。2.2.误差的表示方法误差的表示方法1 1）绝对误差）绝对误差: : 绝对误差定义为绝对误差定义为 x=x-Ax=x-A0 0 式中式中 ： x x为绝对误差，为绝对误差，x x为测得值，为测得值，A A0 0为被测量真值。为被测量真值。2 2）相对误差）相对误差v实际相对误差实际相对误差v示值相对误差示值相对误差%100AxA%100 xxxv满度（或引用）相对误差满度（或引用）相对误差: :（通常用于表达精度）（通常用于表达精度） 满度相对误差定义为仪器量程内最大绝对误差与满度相对误差定

7、义为仪器量程内最大绝对误差与仪器满度值（量程上限值）的百分比值仪器满度值（量程上限值）的百分比值%100mmmxx2.2 测量误差的来源测量误差的来源 1. 1. 仪器误差仪器误差 又称设备误差，是由于设计、制造、装配、检定等又称设备误差，是由于设计、制造、装配、检定等的不完善以及仪器使用过程中元器件老化、机械部件的不完善以及仪器使用过程中元器件老化、机械部件磨损、疲劳等因素而使测量仪器设备带有的误差。磨损、疲劳等因素而使测量仪器设备带有的误差。 2 2人身误差人身误差 人身误差主要指由于测量者感官的分辨能力、视觉人身误差主要指由于测量者感官的分辨能力、视觉疲劳、固有习惯等而对测量实验中的现象

8、与结果判断疲劳、固有习惯等而对测量实验中的现象与结果判断不准确而造成的误差不准确而造成的误差 。3影响误差影响误差 影响误差是指各种环境因素与要求条件不一致而影响误差是指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。造成的误差。4方法误差方法误差 方法误差是所使用的测量方法不当，或对测量设方法误差是所使用的测量方法不当，或对测量设备操作使用不当，或测量所依据的理论不严格，或对备操作使用不当，或测量所依据的理论不严格，或对测量计算公式不适当简化等原因而造成的误差，方法测量计算公式不适当简化等原因而造成的误差，方法误差也称作理论误差。误差也称作理论误差。2.3 2.3 误差的分类误差的分类1.1.系统

9、误差系统误差 在多次等精度测量同一恒定量值时，误差的绝对值和符号在多次等精度测量同一恒定量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或当条件改变时按某种规律变化的误差，称为保持不变，或当条件改变时按某种规律变化的误差，称为系统误差，简称系差。系统误差，简称系差。 2.2.随机误差：随机误差： 随机误差又称偶然误差，是指对同一恒定量值进行多次等随机误差又称偶然误差，是指对同一恒定量值进行多次等精度测量时，其绝对值和符号无规则变化的误差。精度测量时，其绝对值和符号无规则变化的误差。 3.3.粗大误差：粗大误差： 在一定的测量条件下，测得值明显地偏离实际值所形成的在一定的测量条件下，测得值明显地偏离实际值所

10、形成的误差称为粗大误差，也称为疏失误差，简称粗差。误差称为粗大误差，也称为疏失误差，简称粗差。N(t)AxN(t)AxN(t)AxN(t)Ax只有随机误差累进系统误差恒定系统误差周期性系统误差 1.1.随机误差（偶然误差）的定义随机误差（偶然误差）的定义 是指在相同条件下，对同一恒是指在相同条件下，对同一恒定量值进行多次等精度测量定量值进行多次等精度测量时，其绝对值和符号无规则时，其绝对值和符号无规则变化的误差。变化的误差。 就单次测量而言，随机误差就单次测量而言，随机误差没有规律，但当测量次数足没有规律，但当测量次数足够多时，则服从正态分布规够多时，则服从正态分布规律，随机误差的特点为律，随

11、机误差的特点为对称对称性、有界性、单峰性、抵偿性、有界性、单峰性、抵偿性。性。f()2.4 2.4 随机误差分析随机误差分析问题问题 测量总是存在误差，而且误差究竟等于多少测量总是存在误差，而且误差究竟等于多少难以确定，那么，从测量值如何得到真实值难以确定，那么，从测量值如何得到真实值呢？呢？ 例如：测量室温，例如：测量室温，6 6次测量结果分别为次测量结果分别为19.2,19.3,19.0,19.0,22.3,19.519.2,19.3,19.0,19.0,22.3,19.5,那么室温究竟是多少呢？那么室温究竟是多少呢？ X X= =A A ，( (置信概率为置信概率为p)p)x x的真值落

12、在的真值落在 A A- - ， A A+ + 区间内的概率为区间内的概率为p p A A和和 如何确定呢？如何确定呢？2.2.测量值的数学期望和标准差测量值的数学期望和标准差1 1）数学期望）数学期望 对被测量对被测量x x进行等精度进行等精度n n次测量，得到次测量，得到n n个测量个测量值值x x1 1，x x2 2，x x3 3，x xn n。则。则n n个测得值的算术个测得值的算术平均值为：平均值为：niinxx11v数学期望数学期望 引例引例1 分赌本问题（分赌本问题（17世纪著名概率问题）世纪著名概率问题） A，B两人赌技相同，各出赌金两人赌技相同，各出赌金100元，元，并约定先胜

13、三局者，取得全部并约定先胜三局者，取得全部200元。由于出元。由于出现意外情况，在现意外情况，在A胜胜2局局B胜胜1局时，不得不终局时，不得不终止赌博，如果要分赌金，该如何分配才算公止赌博，如果要分赌金，该如何分配才算公平？平？分析分析 假设继续赌两局，则结果有以下四种情况：假设继续赌两局，则结果有以下四种情况： AA AB BA BB A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 前三局前三局A胜胜2局局B胜胜1局，与上述结果相结合。局，与上述结果相结合。 即即A,B赌完赌完5局，局， 前三局：前三局：A胜胜2局局B胜胜1局局 后二局：后二局：AA AB B

14、A BB A胜胜 B胜胜v在赌技相同的情况下，在赌技相同的情况下，A,B最终获得胜利的可能最终获得胜利的可能性大小之比为性大小之比为3:1 即即A应获得赌金的应获得赌金的3/4，B获得赌金的获得赌金的1/4 故，故，A能能“期望期望”得到的数目应该为：得到的数目应该为： 2003/4+01/4=150元元 B 能能“期望期望”得到的数目应该为：得到的数目应该为： 2001/4+03/4=50元元 当测量次数当测量次数 时，样本平均值时，样本平均值的极限定义为测得值的数学期望。的极限定义为测得值的数学期望。niinnxxE11limAxiinAxniinii11当测量次数当测量次数 时，测量值的

15、时，测量值的数学期望等于被测量的真值。数学期望等于被测量的真值。nn分析：分析： 根据随机误差的抵偿特性，当根据随机误差的抵偿特性，当 时时 =0，即，即nii1xniinniiExAnAx111n所以，当测量次数所以，当测量次数 时，测量时，测量值的数学期望等于被测量的真值。值的数学期望等于被测量的真值。nnAxniinii11111nniixniixnAAxE2)2)剩余误差（残差）剩余误差（残差） 当进行有限次测量时，测得值与算术平均值之差。当进行有限次测量时，测得值与算术平均值之差。 数学表达式：数学表达式：xxvii011111niinniiniiniixnxx nxv 对上式两边求

16、和得对上式两边求和得：所以可得剩余误差得代数和为所以可得剩余误差得代数和为0 0。011111 nii nniiniiniix n x x n x v011111niinniiniiniixnxx nxvniinnnixinnEx1211212limlim)(4)4)标准差（标准误差，均方根误差）标准差（标准误差，均方根误差） niinn121lim反映了测量的精密度，反映了测量的精密度，小表示精密度高，测小表示精密度高，测得值集中，得值集中，大，表示精密度底，测得值分散。大，表示精密度底，测得值分散。3)3)方差方差f()3.3.随机误差的正态分布分析随机误差的正态分布分析正态分布正态分布

17、高斯于高斯于18091809年推导出描述随机误差统计特性年推导出描述随机误差统计特性的解析方程式，称高斯分布规律。的解析方程式，称高斯分布规律。22221)(ef随机误差随机误差标准误差标准误差曲线下面的面积对应误差在不同区间出现的曲线下面的面积对应误差在不同区间出现的概率。概率。v例如：例如：)()(bapdfba1)()(pdf%3 .68)()(pdff() ( ) (bap d fba ) ( ) (bap d fba %3 . 68) ( ) ( p d f%3 . 68) ( ) ( p d fv从正态分布曲线可看出：从正态分布曲线可看出： 绝对值越小，绝对值越小， 愈大，说明绝对

18、值愈大，说明绝对值小的误差出现的概率大。小的误差出现的概率大。 大小相等符号相反的误差出现的概率相大小相等符号相反的误差出现的概率相等。等。f()(fv愈小，正态分布曲线愈尖锐，愈小，正态分布曲线愈尖锐，愈愈大，正态分布曲线愈平缓。说明大，正态分布曲线愈平缓。说明反映反映了测量的精密度。了测量的精密度。 =1 =24.4.随机误差表达式随机误差表达式1 1）剩余误差的表达形式）剩余误差的表达形式2 2）最大绝对误差表达形式）最大绝对误差表达形式3 3）标准偏差的表达形式）标准偏差的表达形式 4 4）算术平均误差表达形式）算术平均误差表达形式2201111()()nniiixxxnnnxxvii

19、1211nniinn5)5)或然误差表达形式或然误差表达形式6)6)极限误差极限误差 从上式可见，随机误差绝对值大于从上式可见，随机误差绝对值大于33的概率很小的概率很小，只有，只有0.3%0.3%，出现的可能性很小。因此定义：，出现的可能性很小。因此定义： 假如绝对误差不在极限误差范围内，认定为粗差假如绝对误差不在极限误差范围内，认定为粗差。 %7 .99)33()(33pdf33随机误差的特点随机误差的特点v单峰性单峰性 误差绝对值越小，出现密度越大，误误差绝对值越小，出现密度越大，误差绝对值越大，出现密度越小差绝对值越大，出现密度越小v对称性对称性 绝对值相同，符号相反的误差出现的绝对值

20、相同，符号相反的误差出现的概率相等概率相等v抵偿性抵偿性 当测量次数当测量次数n n时，误差总和为零时，误差总和为零v有界性有界性 误差落误差落-3-3 , 3, 3 的概率为的概率为0.9973 0.9973 3 3 也称为极限误差或者误差限也称为极限误差或者误差限5.标准偏差的计算标准偏差的计算l采用残差代替随机误差采用残差代替随机误差l有限次测量标准误差的最佳估计值有限次测量标准误差的最佳估计值 （近似标准误差）近似标准误差）niinn121lim标准差标准差（标准误差，均方根误差）：（标准误差，均方根误差）：niivn1211贝塞尔公式贝塞尔公式6.6.算术平均值的标准差和标准差的标准

21、差算术平均值的标准差和标准差的标准差1 1）算术平均值的标准差）算术平均值的标准差2 2）平均值标准误差的最佳估计值（近似平均值标准）平均值标准误差的最佳估计值（近似平均值标准误差）误差）211( 1 )nixivn nn 11lim ( ) , mxjxmjxmn niixvnnn12) 1(1/ 7.7.有限次测量下测量结果表达式有限次测量下测量结果表达式步骤：步骤：1）列出测量数据表；）列出测量数据表；2）计算算术平均值）计算算术平均值 、 、 ；xiv2iv3）计算）计算 和和 ； x 置信概率置信概率0.9973 xxX34）给出最终测量结果表达式：）给出最终测量结果表达式：2.5

22、系统误差分析系统误差分析N(t)AxN(t)AxN(t)Ax累进系统误差累进系统误差恒定系统误差恒定系统误差周期性系统误差周期性系统误差1.分类：分类：v恒定系统误差恒定系统误差 v变化系统误差变化系统误差2.系统误差的判断系统误差的判断1)1)理论分析法：可通过对测量方法的定性分析理论分析法：可通过对测量方法的定性分析发现测量方法或测量原理引入的系统误差。发现测量方法或测量原理引入的系统误差。2)2)校准和比对法：测量仪器定期进行校准或检校准和比对法：测量仪器定期进行校准或检定并在检定书中给出修正值。定并在检定书中给出修正值。3)3)改变测量条件法：根据在不同的测量条件下改变测量条件法：根据

23、在不同的测量条件下测得的数据进行比较，可能发现系统误差。测得的数据进行比较，可能发现系统误差。4)4)剩余误差观察法：根据测量数据列剩余误差剩余误差观察法：根据测量数据列剩余误差的大小及符号变化规律可判断有无系统误差的大小及符号变化规律可判断有无系统误差及误差类型，这种方法不能发现定值系统误及误差类型，这种方法不能发现定值系统误差。差。3 3消除系统误差产生的根源消除系统误差产生的根源要减少系统误差要注意以下几个方面：要减少系统误差要注意以下几个方面：1)1)采用的测量方法及原理正确。采用的测量方法及原理正确。2)2)选用的仪器仪表的类型正确，准确度满足要求。选用的仪器仪表的类型正确，准确度满

24、足要求。3)3)测量仪器应定期校准、检定，测量前要调零，应测量仪器应定期校准、检定，测量前要调零，应按照操作规程正确使用仪器。对于精密测量必要按照操作规程正确使用仪器。对于精密测量必要时要采取稳压、恒温、电磁屏蔽等措施。时要采取稳压、恒温、电磁屏蔽等措施。4)4)条件许可，尽量采用数显仪器。条件许可，尽量采用数显仪器。5)5)提高操作人员的操作水平及技能。提高操作人员的操作水平及技能。4.4.削弱系统误差的方法削弱系统误差的方法1)1)零示法零示法: :2)2)替代法（置换法）：替代法（置换法）： 在测量条件不变的情况下，用一标准已知量在测量条件不变的情况下，用一标准已知量替代待测量，通过调整

25、标准量使仪器示值不变，替代待测量，通过调整标准量使仪器示值不变，于是标准量的值等于被测量。于是标准量的值等于被测量。 这两种方法主要用来消除定值系统误差。这两种方法主要用来消除定值系统误差。3)3)利用修正值或修正因数加以消除。利用修正值或修正因数加以消除。4)4)随机化处理随机化处理5)5)智能仪器中系统误差的消除智能仪器中系统误差的消除v直流零位校准。直流零位校准。v自动校准。自动校准。2.7误差的合成误差的合成误差合成：由多个不同类型的单项误差求误差合成：由多个不同类型的单项误差求 测量中的总误差是误差合成问题。测量中的总误差是误差合成问题。1、随机误差合成随机误差合成 若测量结果中有若

26、测量结果中有k个彼此独立的随机误差，各个彼此独立的随机误差，各个随机误差互不相关，各个随机误差的标准个随机误差互不相关，各个随机误差的标准方差分别为方差分别为1 1、2 2、3 3、k k则随机误则随机误差合成的总标准差差合成的总标准差为：为：kii12若以极限误差表示，则合成的极限误若以极限误差表示，则合成的极限误差为：差为：kiill12 当随机误差服从正态分布时，对应的当随机误差服从正态分布时，对应的极限误差。极限误差。 iil32 2、系统误差的合成、系统误差的合成1 1）确定的系统误差的合成）确定的系统误差的合成 又称已定系统误差，是指测量误差的大小、又称已定系统误差，是指测量误差的

27、大小、方向和变化规律是可以掌握的。只要是已定的方向和变化规律是可以掌握的。只要是已定的系统误差，都应当用代数的方法计算其合成误系统误差，都应当用代数的方法计算其合成误差。差。 表达式：表达式：miim121 由于所得结果是明确大小和方向的数值，故由于所得结果是明确大小和方向的数值，故可直接在测量结果中修正，在一般情况下最后测可直接在测量结果中修正，在一般情况下最后测量结果不应含有已定系统误差的内容。量结果不应含有已定系统误差的内容。 2 2）不确定系统误差的合成）不确定系统误差的合成 又称未定系统误差，指测量误差既具有系又称未定系统误差，指测量误差既具有系统误差可知的一面，又具有不可预测的随机

28、统误差可知的一面，又具有不可预测的随机误差一面。在通常情况下，未定系统误差多误差一面。在通常情况下，未定系统误差多以极限误差的形式给出误差的最大变化范围。以极限误差的形式给出误差的最大变化范围。l绝对值合成法：绝对值合成法： 当当m m大于大于1010时，合成误差估计值往往偏大。时，合成误差估计值往往偏大。 一般应用于一般应用于m m小于小于1010。miim121)(表达式：表达式：v方和根合成法方和根合成法一般应用于一般应用于m m大于大于1010。miikm122221表达式：表达式：例例5 5：0.5级，量程级，量程0600kPa，h=0.05m，读数，读数300kPa，分度值分度值2

29、kPa，指针来回摆动，指针来回摆动1个格，个格，环境温度环境温度30C，偏离，偏离1C的的附加误差为基本误差的附加误差为基本误差的4%。仪表精度等级引起的误差：仪表精度等级引起的误差：kpa3)600%5 . 0()(1mjLp读数误差（即分度误差）读数误差（即分度误差） 2kpa2kpa2pkpa2 . 6)2 . 123(pkpa2 . 1%43103p环境温度引起误差：环境温度引起误差：kpa5 . 010100005. 04ghp安装位置引起的误差安装位置引起的误差：前三项属于未定系统误差，最后一项属于前三项属于未定系统误差，最后一项属于已定系统误差。已定系统误差。前三项按绝对值合成法

30、：前三项按绝对值合成法：300.56.2kPaP 3 3随机误差与系统误差的合成随机误差与系统误差的合成 其中其中为已定系统误差，为已定系统误差，e为未定系统误为未定系统误差，差，l为随机误差的极限误差。为随机误差的极限误差。le2.8 测量数据的处理测量数据的处理1.1.有效数字的处理有效数字的处理1 1）有效数字：）有效数字：从数字的左边第一个不为零的数字从数字的左边第一个不为零的数字起，到右面最后一个数字（包括零）止。起，到右面最后一个数字（包括零）止。2 2）舍入原则）舍入原则：小于小于5 5舍，大于舍，大于5 5入，等于入，等于5 5时采取偶时采取偶数法则。数法则。12.512.5写

31、作写作1212；13.513.5写作写作14143 3）有效数字的运算规则：）有效数字的运算规则：运算时各个数据保留的运算时各个数据保留的位数一般以精度最差的那一项为基准。加减法运算位数一般以精度最差的那一项为基准。加减法运算以小数点后位数最少的为准。乘除法运算以有效数以小数点后位数最少的为准。乘除法运算以有效数字位数最少的数为准。乘方、开方运算结果比原数字位数最少的数为准。乘方、开方运算结果比原数多保留一位有效数字。多保留一位有效数字。 2. 2.等精度测量结果的处理等精度测量结果的处理 1 1）利用修正值等方法对测得值进行修）利用修正值等方法对测得值进行修正；将数据列成表格。正；将数据列成

32、表格。 3 3）列出残差：）列出残差： ，并验证，并验证xxvii01niivniinxx11 2 2）求算术平均值：）求算术平均值：niivn1211 4 4）计算标准偏差：）计算标准偏差：5 5）按照按照 原则判断测量数据是否含有原则判断测量数据是否含有粗差，若有则予以剔除并转到粗差，若有则予以剔除并转到2 2从新计算，直从新计算，直到没有坏值为止。到没有坏值为止。3ivnx6 6）根据残差的变化趋势判断是否含有系统误根据残差的变化趋势判断是否含有系统误差，若有应查明原因，消除后从新测量。差，若有应查明原因，消除后从新测量。7 7）求算术平均值的标准偏差求算术平均值的标准偏差：xxx38 8）写出最终结果表达式。）写出最终结果表达式。例题例题 使用某水银玻璃棒温度计测量室温，共进行了使用某水银玻璃棒温度计测量室温，共进行了1616次等精度测量，测量结果列于表中。该温度计的检次等精度测量，测量结果列于表中。该温度计的检定书上指出该温度计具有定书上指出该温度计具有0.050.05的恒定系统误差。的恒定系统误差。请写出最后的测量结果。请写出最后的测量结果。例题解答（例题解答（1 1）Nxixivivi2vi(v