东范大学附属高考数学二轮专题复习函数与方程及函数的应用教案文

1、诚西郊市崇武区沿街学校第 3 讲函数与方程及函数的应用【高考考情解读】 1. 本讲主要考察函数的零点，常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体；考察确定零点的个数、 存在区间及应用零点存在情况求参数值或者者取值范围；函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解 析几何等知识交汇命题 .2. 函数的零点主要是以填空题的形式考察， 以根底知识为主， 而函数的实际应用那么主要以解答题的 形式出现，属中、高档题1函数的零点与方程的根(1) 函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x) = 0的实数x叫做函数f(x)的零点.(2) 函数的零点与方程根的关系函数F(x) =f(x) -

2、g(x)的零点就是方程f(x) =g(x)的根，即函数y = f(x)的图象与函数y = g(x)的图象交点的横坐标.(3) 零点存在性定理假设函数y = f(x)在区间a , b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a) f(b)0 ,且 a1).当 2a3b4时，函数 f(x)的零点 xO(n , n+ 1) ,nN*,那么 n = 函数f(x)=的零点个数是 .答案(1)2(2)3解析 T2va3,.f(x) = logax + x b 为定义域上的单调函数.f(2) = loga2 + 2 b, f(3) = loga3 + 3 b.T|g2lgalg3，二 3,. b 3,二 2 b

3、 1,/loga2 + 2 b0,即 f(2)0.1, 3b4,. 13 b0,.f(3)0，即 f(2) f(3)0时，在同一个直角坐标系中分别作出y = lnx和y = x2 2x = (x 1)2 1的图象，可知它们有两个交点；当x0 ,所以函数f(x) =2x + x3 - 2在(0,1)上递增,且 f(0) = 1 + 0 2 = - 10,所以有1个零点.f(x) = ax + x- b的零点x0就是方程 ax = -x + b的根.设 y1 = ax, y2 = - x + b,故x0就是两函数交点的横坐标，如图，当 x =- 1 时，y1 = Iog32y2 = 1+ b =

4、1 + Iog32 ,一 1x00),假设点对(P , Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对， 那么有 所以 Iog3x0 =cosnxO,即卩 x0 是方程 Iog3x =cosnx 的根.在同一个直角坐标系中画出函数y = Iog3x与y = cosnx的图象，可知这两个图象一一共有3个交点，即函数f(x)的图象的镜像点对一一共有 3对.考点三函数模型及其应用f(x)与时刻x(时)的的最大值为当天的综【例3环保研究所对中心每天环境放射性污染情况进展调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数关系为f(x) = | a| + 2a +, x0,24，其中a是与气象有关的参数，且a0 ,

5、，假设用每天f(x)合放射性污染指数，并记作 M(a).(1) 令t =，x0,24，求t的取值范围；(2) 政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前中心的综合放射性污染指数是否超标？匕旷ii iD(1)分x = 0和x工0两种情况，当x工0时变形使用根本不等式求解. 利用换元法把函数f(x)转化成g(t) = |t a| + 2a+，再把函数g(t)写成分段函数后求 M(a).解当x =0时，t = 0;当0x24时，x 2(当x= 1时取等号)，t = = (0，即t的取值范围是0，.当 a0，时，记 g(t) = |t a| +2a+，那么g(t)=vg(t)在0，a上单调

6、递减，在(a，上单调递增，且 g(0) = 3a+，g() = a+，g(0) g() = 2(a ).故 M(a)=即 M(a)=当0waw时，M(a) = a + 2显然成立；由得a，当且仅当0waw时，M(a)w2.故当0Waw时不超标，当vaw时超标. 探究提离 解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或者者二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等.(2) 对函数模型求最值的常用方法单调性法、根本不等式法及导数法.(3) 此题中的函数与方程思想：在求 t的范围时，把t看作是x的函数，在求M(a)时，把综合放射性污染指数看作是t的函数在确定综合放射性

7、污染指数是否超标时，用到了方程的思想.某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，每投放质量为 m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度 y(毫克/升)满足y = mf(x)，其中f(x)=当药剂在水中的浓度 不低于4(毫克/ 升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/ 升)时称为最正确净化.(1) 假设投放的药剂质量为 m= 4，试问自来水到达有效净化共可持续几天？(2) 假设投放药剂质量为 m为了使在7天(从投放药剂算起包括 7天)之内的自来水到达最正确净化，试确定应该投放的药剂 质量m的最小值

8、.解(1)由题意，得当药剂质量 n= 4时，y=当04,显然符合题意.当x4时4,解得 4xW16.综上 0xW16.所以自来水到达有效净化共可持续16天.(2)由 y = m f(x)=得当0x4时，y=+2m在区间(0,4上单调递增，即2m4 时，y= 0，函数在区间(4,7上单调递减，即w y3m综上知，w y3m为使4Wyw10恒成立，只要4且3nW10即可，即 w nW .所以应该投放的药剂量 m的最小值为.1 函数与方程函数f(x)有零点？方程f(x) = 0有根？函数f(x)的图象与x轴有交点.(2) 函数 f(x) 的零点存在性定理假设函数f(x)在区间a , b上的图象是连续

9、不断的曲线，并且有f(a) f(b)0 ,那么，函数 f(x)在区间(a , b)内有零点，即存在 c(a， b)，使 f(c) = 0. 假设函数f(x) 在区间 a ， b 上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x) 在区间 a ， b 上是一个单调函数，那么当f( a) f(b)0，那么，函数 f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点. 假设函数f(x)在区间a , b上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f(x)在区间(a , b)内有零点时不一定有f(a) f(b)0.2. 函数综合题的求解往往应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的条件，尤 其要

10、挖掘题目中的隐含条件.要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为根本问题 来解决.3. 应用函数模型解决实际问题的一般程序?与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解 答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答1 .函数 f(x) = ()x Iog2x，实数 a, b, c 满足 f(a) f(b) f(c)vO(Oabvc)，假设实数x0 为方程 f(x) = 0 的一个解，那么以下不等式中，不可能成立的是 ( 填序号 ) xOb;xO

11、c.答案解析函数 f(x) =()x Iog2x在其定义域(0 ,十3)上是减函数，TOvavbvc,二 f(a)f(b)f(c)又t f(a)f(b)f(c)vO ，那么 f(a)vO ， f(b)vO ， f(c)vO ，或者者者 f(a)O ， f(b)O ， f(c)vO.假设 f(a)vO ， f(b)vO ， f(c)vO ，那么 xOva，假设 f(a)O ， f(b)O ， f(c)vO ，那么 bvxOvc，故xOc不可能成立，故填.m的取值2. 假设f(x) +1 =，当x0,1时，f(x) =x，假设在区间(1,1内，g(x) = f(x) mx- m有两个零点，那么实数

12、 范围是 .答案(O，解析设 x( 1,O)，那么 x +1(0,1)，f(x) = 1 = 1，画出f(x)在(一1,1上的图象(如以下列图)，g(x) = f(x) mx- m在(1,1上有两个零点，即f(x) = m(x + 1)有两个不同根，即 y= f(x) 与 y= m(x+ 1) 有两个不同交点.如上图，当过(一1,O)的直线处于I与x轴之间时,满足题意，那么00,所以 f(x) 是增函数，由条件可知 f(1)f(2)0，即(2 - 2 - a)(4 - 1-a)0，即 a(a - 3)0 ,解之得 0a3.3. (2021 改编)函数f(x) = 2x|log0.5x|- 1的

13、零点个数为 .答案 2解析当 0x1 时，f(x) =- 2xlog0.5x - 1 = 2xlog2x - 1，令 f(x) = 0 得 log2x = x，由y = log2x，y = x的图象知在(1，+)上有一个交点，即 f(x)在(1，+)上有一个零点，故有2个零点.4根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间是是(单位：分钟)为f(x)=(A，c为常数)工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是 答案 60,16解析因为组装第A件产品用时15分钟，所以=15,所以必有40成立，那么实数x的取值范围 .答案解析由 ax2 + (a 2)x 20

14、 得(x2 + x)a 2(x + 1)0.令 f(a) = (x2 + x)a 2(x + 1).方法一 ( 补集法 )由题意得即解得-1x,所以所求范围为该集合的补集，即为 x.方法二 ( 直接法 ) 由题意得 f(1)0 或者者 f(3)0 ,解得6. 假设关于x的方程4cosx cos2x + m 3 = 0恒有实数解，那么实数m的取值范围是 .答案 0,8解析设 cosx =t 1,1，那么 t2 4t + 3 m= 0，得 m=t2 4t3 在 1,1 上是单调递减的，所以 m 0,8 7. 设定义域为 R的函数f(x)=那么关于x的函数y= 2f2(x) 3f(x) + 1的零点

15、的个数为 答案 7解析由 y= 2f2(x) 3f(x) 1 = 0 得f(x)=或者者 f(x) = 1 , 如图画出f(x)的图象，由f(x)=知有4个根，由 f(x) =1 知有 3 个根，故一一共有 7 个零点8函数f(x)=且关于x的方程f(x) + x - a= 0有且只有一个实根，那么实数a的取值范围是 .答案(1，十)解析画出函数y = f(x)与y = a-x的图象，如下列图，所以 a1.g(x) ， H2(x) =A， H2(x) 的最大9. (2021 改编)函数 f(x) = x2 - 2(a + 2)x + a2，g(x) =- x2 + 2(a - 2)x - a2

16、 + 8.设 H1(x) = maxf(x)，minf(x) ，g(x)(maxp ，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值).记H1(x)的最小值为 值为B,那么A- B=.答案- 16解析 f(x) = x - (a 2)2 - 4- 4a，g(x) =-x-(a-2)2 12-4a，在同一坐标系内作 f(x) 与 g(x) 的图象(如图).依题意知，函数 H1(x) 的图象 (实线部分 )，函数H2(x)的图象(虚线部分).H1(x)的最小值 A= f(a + 2) =- 4-4a，H2(x)的最大值 B=g(a - 2) = 12-4a，因此 A- B= ( - 4- 4a) - (12 - 4a) =- 16.二、解答题10. (2021 改编)设函数 fn(x) = xn + bx + c(n N， b，cR).(1)设n2， b = 1，c=- 1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点； 证明 b = 1, c = 1, n2 时，fn(x) = xn +x 1.Tfnfn(1) =x 10,fn(x)在上是单