东范大学附属高考数学二轮专题复习函数基本初等函数的图象与性质教案文

1、诚西郊市崇武区沿街学校第2讲函数、根本初等函数的图象与性质【高考考情解读】1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考察以根底知识为主，难度中等偏下2函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考察主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数 形结合的思想解决问题；对函数性质的考察，那么主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考察，既有详细函数也有抽 象函数常以填空题的形式考察，且常与新定义问题相结合，难度较大.1 函数的概念及其表示两个函数只有当它们的三要素完全一样时才表示同一函数，定义域和对应关系一样的两个函数是同一函数.2 函数的性质(1) 单调性：单调

2、性是函数在其定义域上的局部性质利用定义证明函数的单调性时，标准步骤为取值、作差、判断符号、下 结论复合函数的单调性遵循“同增异减"的原那么.(2) 奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有一样的单调性.(3) 周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质假设函数满足f(a + x) = f(x)(a 不等于0)，那么其一个周期 T= |a|.3 指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1) 指数函数y = ax(a>0，a1)与对数函数 y

3、 = logax(a>0 ，a1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公一一共性质.4.熟记对数式的五个运算公式loga(MN) = logaM + logaN ； loga = logaM logaN ； logaMn= nlogaM； alogaN = N； logaN = (a>0 且 a1， b>0 且 b1， M>Q N>0).考点一函数及其表示【例11(1)假设函数y = f(x)的定义域是0,2，那么函数g(x)=的定义域是 答案(0,1) 解析由函数y = f(x)的定义域是0,2得，函数g

4、(x)有意义的条件为0W2XW2且x>0, x工1,故x(0,1).设函数y= f(x)在R上有定义，对于给定的正数M定义函数fM(x)=那么称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数".假设给定函数 f(x) = 2-x2 , M= 1，那么 fM(fM(0)的值是.答案1解析由题意，令f(x) = 2-x2 = 1,得x=± 1,因此当x<- 1或者者x>1时，fM(x) = 2-x2;当一1<x<1 时，fM(x) = 1，所以 fM(0) = 1，fM(fM(0)= fM(1) = 2 - 12 = 1.报二柠'.： (1)求函数定

5、义域的类型和相应方法 假设函数的解析式，那么这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数f(g(x)的定义域应由不等式a<g(x) <b解出. 实际问题或者者几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义.(2) 求函数值时应注意形如f(g(x)的函数求值时，应遵循先内后外的原那么；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须根据条件准确地找出利用哪一段求解.变式训建1.(1)假设函数f(x)=那么f(|og23)=.函数f(x)=那么满足不等式f(1 - x2)>f(2x)的x的取值范围是 .答案(1)24(2)(- 1，- 1

6、)解析(1)f(log23)= f(log23 + 3)=f(log224)= 2log224 = 24.当x>0时，f(x) = x2+ 1是增函数;当 x<0 时 f(x) = 1 , 因此由题设f(1 - x2)>f(2x)得，或者者解之得1<x<0或者者OWxv 1.故所务实数x的取值范围是(1, 1).考点二函数的性质例 2(1)函数f(x) = x3 + x，对任意的mE 2,2 , f(mx 2) + f(x)<0恒成立，那么x的取值范围为 .答案解析 f' (x) = 3x2 + 1>0,二 f( x)为增函数.又f(x)为奇函

7、数，由f(mx 2) + f(x)<0 知，f(mx 2)<f( x)./mx- 2< x，即 mx+ x 2<0，令 g(m) = mx+ x 2,由 mE 2,2知 g(m)<0 恒成立，即，/ 2<x<. 设奇函数y =f(x)(x ER)，满足对任意t ER都有f(t) = f(1 t)，且xE时，f(x) = x2,那么f(3) + f的值等于 .答案解析根据对任意 t ER 都有 f(t) = f(1 t)可得 f( t) = f(1 +1)，即 f(t + 1) = f(t)，进而得到 f(t + 2) = f(t + 1)= f(t)=

8、 f(t)，得函数 y = f(x)的一个周期为 2,故 f(3) = f(1) = f(0 + 1) = f(0) = 0, f = f =.所以 f(3) + f = 0 + =.抒a崔辻函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者者者的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.(1) (2021 改编)函数f(x)是定义在 R上的偶函数，且在区间0)上单调递增.假设实数a满足f(log2a) + f(loga) <2f(1)，那么 a的取值范围是 .f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)

9、 = ex+ a，假设f(x)在R上是单调函数，那么实数a的最小值是 .答案(2) 1解析(1)由题意知 a>0，又 loga = Iog2a 1 = Iog2a.vf(x)是R上的偶函数，/f(log2a) = f( Iog2a) = f(loga).Tf(log2a) + f(log a) <2f(1)，/2f(log2a) <2f(1)，即 f(log2a) <f(1).又因f(x)在0)上递增./ |log2a| < 1， 1<log2a <1，.a . 依题意得 f(0) = 0.当 x>0 时，f(x)>e0 + a = a+

10、1.假设函数f(x)在R上是单调函数，那么有a+1>0, a> 1，因此实数a的最小值是一1.考点三函数的图象例 3:形如y= (a>0，b>0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧"字，故我们把它称为“囧函数"假设当a= 1，b = 1时的“囧函数"与函数y = lg|x|图象的交点个数为n，那么n =.答案4解析由题意知，当I a = 1，b = 1 时，j|r ly=E在同一坐标系中画出“囧函数"与函数 y = lg|x|的图象如下列图，易知它们有4个交点.払人提九 作图：常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩

11、变换和对称变换尤其注意y = f(x)与yf( -x)、y = - f(x)、y= f( x)、y = f(|x|)、y= |f(x)| 及 y = af(x) + b 的互相关系.(2) 识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.(3) 用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质确实定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.变武训嫌孤(2021 课标全国I )函数f(x)=假设|f(x)|>ax,那么a的取值范围是 答案2,0 解析函数y= |f(x)|的图象如图.当a= 0时，|f(x)|>ax显然成立.

12、当a>0时，只需在x>0时,ln(x +1) >ax 成立.比较对数函数与一次函数 y = ax的增长速度.显然不存在a>0使ln(x +1) >ax在x>0上恒成立. 当a<0时，只需在x<0时，x2 2x>ax成立.即ax 2成立，a一2.综上所述：2< a<0.考点四根本初等函数的图象及性质log2x,x 0,log i( x), x 0,lOg43.6b = 5那么a、b、c大小关系为例 41(1)假设函数f(x) =2假设f(a)>f( a)，那么实数a的取值范围是 log23.4(2)a = 5答案(1)( 1

13、,0) U(1，+® )(2)a>c>b解析 方法一由题意作出y = f(x)的图象如图. 显然当a>1或者者1<a<0时，满足f(a)>f(a).方法二对a分类讨论:当 a>0 时，Iog2a>loga，即 Iog2a>0，二 a>1.当 a<0 时,log( a)>log2( a)，即 Iog2( a)<0 ,/ 1<a<0，故1<a<0 或者者 a>1.(2) va= 5叫"b=5叫.6=5log33 ，根据y = ax且a=5，知y是增函数.又/ log2&g

14、t;log33 >1,0<log4<1 ， /5log2>( )log30.3>5log4 ，即 a>c>b.'；, I； (1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的根本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考察图象、性质及其应用，同时考察分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算才能.比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进展比较；二是采用中间值0或者者1等进展比较；三是将对数式转化为指数式，或者者将指数式转化为对数式，通过转化进展比较.变式圳線叽(1)(2 021 )a = 2，b = 0.8，c =

15、 2log52，那么a，b，c的大小关系为 使log2( x)<x + 1成立的x的取值范围是 .y=logX-x) 1/ZV答案(1)c<b<a(2)( 1,0)解析(1)利用中间值判断大小.b= 0.8 = 20.8<2 = a， c = 2log52 = log522<log55 = 1<20.8 = b，故 c<b<a. 作出函数y = log2( x)及y = x + 1的图象.其中y= log2( x)及y = log2x的图象关于y轴对称，观察图象(如下列图)知，一1<x<0,即x( 1,0).也可把原不等式化为后作图.

16、1判断函数单调性的常用方法(1) 能画出图象的一般用数形结合法去观察(2) 由根本初等函数通过加、减运算或者者复合而成的函数，常转化为根本初等函数单调性的判断问题(3) 对于解析式较复杂的一般用导数法(4) 对于抽象函数一般用定义法2函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究局部 (一半 )区间上，是简化问题的一种途径尤其注意 偶函数f(x)的性质：f(|x|)= f(x) 3函数图象的对称性假设函数y =f(x)满足f(a + x) = f(a -x),即f(x) = f(2a -x),那么f(x)的图象关

17、于直线x= a对称.提醒：函数y = f(a+ x)与y= f(a -x)的图象对称轴为 x = 0，并非直线x = a.假设f(x)满足f(a + x) = f(b -x)，那么函数f(x)的图象关于直线x =对称.假设函数y =f(x)满足f(x) = 2b- f(2a -x)，那么该函数图象关于点(a , b)成中心对称.4. 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深化理解它们之间的互相关系，能用函数与方程、分类 讨论、数形结合思想来研究与“三个二次有关的问题，高考对“三个二次知识的考察往往浸透在其他知识之中，并且大 都出如今解答题中.5. 指数函数、对数函数的图象和

18、性质受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.比较两个对数的大小或者者解对数不等式或者者解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，假设底数不同，可运用换底公 式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与 0比较或者者与 1 比较.6. 解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用.1. 关于 x 的方程 exlnx = 1 的实根个数是 .答案1解析由原方程可得Inx = ex.设 y1 = Inx , y2 = e x ,两函数的图象如下列图：两曲线有且只有一个交点，所以方程有唯一解.2. 定义在R上的奇函数f(x)，当

19、x(0)时，f(x) = Iog2x，那么不等式f(x)< 1的解集是.答案(一®, 2) U解析由条件可知，当 x( ®，0)时，f(x) = Iog2( x).当 x(0，W)时，f(x)< 1，即为 Iog2x< 1，解得 0<x<当 x( ，0)时，f(x)< 1，即为Iog2( x)< 1，解得 x< 2.所以f(x)< 1的解集为(一丰一2) U .3. 定义域为 R的偶函数f(x)满足对？ xR 有f(x + 2) = f(x) f(1)，且当x2,3时，f(x) = 2x2 + 12x 18，假设函数y

20、= f(x)与函数y = Ioga(x + 1)在x(0，+®)上至少有三个交点，那么a的取值范围是 .答案解析 T f(x + 2) = f(x) f(1)，二令 x = 3 得 f(1) = 0，f(x + 2) = f(x)，周期 T= 2.x0,1时，f(x) = f(x + 2) = 2(x 1)2.根据函数f(x)的奇偶性与周期性画岀图象.要使y = f(x)与y = Ioga(x + 1)在x(0，+®)上至少有三个交点，只须满足解得 0<a<.( 推荐时间是是： 40 分钟 )1.函数y =f(x)是奇函数，当x>0时，f(x) = Igx

21、，那么f的值等于.答案 lg2解析当 x<0 时，x>0，那么 f( - x) = lg( - x).又函数f(x)为奇函数，f( - x) =- f(x)，所以当 x<0 时， f(x) =- lg( - x) 所以 f = lg =- 2，f=f( -2)=-lg2.2 .函数f(x)=那么“ c= 1”是“函数 f(x)在R上递增"的 条件.答案充分不必要解析当c=- 1时，易知f(x)在R上递增；反之，假设f(x)在R上递增，那么需有1+ CW0,即c<- 1.所以“ c=- T是“函数f(x)在R上递增"的充分不必要条件.3. (2021

22、课标全国U改编 )设a= Iog36，b= Iog510，c = Iog714，那么a、b、c的大小关系为 .答案 a>b>c解析设 a= Iog36 =1 + Iog32 = 1 +，b= Iog510 = 1 + Iog52 = 1 +，c= Iog714 = 1 + Iog72 = 1+，显然 a>b>c.4. 设偶函数 f(x)满足 f(x) = 2x -4(x >0)，那么x|f(x - 2)>0 =.答案 x|x<0 或者者 x>4解析由于函数f(x)是偶函数，因此有f(|x|)=f(x)，不等式f(x - 2)>0，即f(|x

23、 - 2|)>0，f(|x -2|) =2|x-2|-4>0， |x-2|>2，即 x- 2<- 2 或者者 x- 2>2，由此解得 x<0 或者者 x>4.于是有x|f(x 2)>0 =x|x<0 或者者 x>4 5. 设函数f(x) = x(ex + aex)(x R)是偶函数，那么实数a的值是答案1解析因为 f(x)是偶函数，所以恒有f( x) =f(x)，即x(e x + aex) = x(ex + ae x)，化简得 x(e x + ex)(a + 1) = 0.因为上式对任意实数x都成立，所以a = 1.6. 设函数f(x

24、) = x|x a|，假设对任意的x1 ,x22，)，x1工x2，不等式>0恒成立，那么实数a的取值范围是 oMocli答案a<2 解析f(x)= 如图，作出函数图象，当 a变化时,易得a的取值范围为a<2.7. f(x) = asinx + b+ 4(a，bR)，且 flg(log210)= 5，那么 flg(lg2)答案3 解析 lg(log210) = lg(lg2) f( x) = asin( x) +b+ 4=(asinx + b) + 4.又 flg(log210)= 5,二flg(lg2) = 4 5+ 4 = 3.8设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区

25、间1,1 上, f(x)=其中a, bR.假设f = f，那么a + 3b的值是 答案10 解析因为f(x)的周期为2, 所以f = f =f ,即 f = f.又因为 f = a + 1, f =所以一a+ 1整理，得a=- (b + 1).又因为 f( -1) =f(1),所以一 a + 1 =，即卩b = 2a.将代入，得 a = 2, b = 4.所以 a+ 3b = 2 + 3X( 4) = 10.9直线y = 1与曲线y = x2 |x| + a有四个交点，那么a的取值范围是 .答案1<a<解析y = x2 |x| +a是偶函数，图象如下列图.y由图象可知直线y = 1

26、与曲线y= x2 |x| + a有四个交点需1111满足 a <1<a，i 01；X/ 1<a<.10.实数a，b满足等式a= b，以下五个关系式： 0<b<a avb<0 0<a<b；b<a<0；a=b.其中不可能成立的关系式有 .(填序号)答案解析函数y1 = x与y2 = x的图象如下列图.Vir由a = b得，nd応出沾a<b<0或者者 0<b<a或者者 a = b= 0.oJt故可能成立，不可能成立.11奇函数f(x)=给出以下结论： 函数y= f(x)有三个零点; f(x)的递增区间是1 ,

27、十 ); 直线x= 1是函数y = f(x)图象的一条对称轴； 函数y= f(x +1)+ 2图象的对称中心是点(1,2).其中，正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号 )答案解析因为 f(x) 是奇函数，所以 x<0 时，f( - x) = x2+ 2x,即 f(x) =-x2 -2x.可求得 a=- 1, b = - 2.即 f(x)= f(f(1)= f( -1) =-f(1) = 1,正确；易知f(x)的三个零点是2,0,2，正确；当x( ®,- 1时，f(x)也单调递增，错误；由奇函数图象的特点知，题中的函数f(x)无对称轴，错误；奇函数f(x)图象关于原点对称，故函数y = f(x + 1) + 2图象的对称中心应是点(一1,2)，错误.故填.12. 给出以下四个函数