三角函数的定义域、值域和最值

1、x三角函数的定义域、值域和最值cos x bx一知识点精讲：1三角函数的定义域cos x bxcos x bx(1) sin '定义域为R.r(2) cos定义域为R.rcos x bxcos x bx(3) tan :=定义域为xTt:k 二，k Z2x(4) cot定义域为y4 I 二 , k Z /.2三角函数的值域 y=asinx-b,(a=0)型当 a . 0 时，y .二_a b,a b； 当 a : 0 时 y .二a b, _a b y = a sin 2 x bsin x c 型此类型的三角函数可以转化成关于 sinx的二次函数形式。通过配方，结合sinx的取值范围，

2、得到函数的值域。sin x换为cos x也可以。 y = a sin x 亠 b cos x 型利用公式a sin x亠b cos x = . a 2亠b2 sin( x亠：；)，tan ' = b，可以转化为一个三角函数 a的情形。 y = a (sin x 亠 cos x)亠 b sin x cos x 型利用换元法，设 t = sin x cos x ,t 三.2, .- 2 ，贝U sin x cos x =2转化为关于t的二次函数2t -1b 2by 二 at b二t at _ _ .22 2 y = a sin 2 x - b cos 2 x - c sin x cos x

3、 型这是关于sin x,cos x的二次齐次式，通过正余弦的降幕公式以及正弦的倍角公式,21 - cos 2 xsin x =21 + cos 2xcos x = , sin2sin 2 x x cos x =2可转化为 y = msin 2x n cos 2x p的形式。a sin x b ” y型csin x +d可以分离常数，利用正弦函数的有界性。cos x bxcos x bx可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得,cos x bby - a: 2i y<1 ,通过解此不等式可得到y以上七种类型是从表达的形式上进行分类的,如果x有具体的角度范围，则再进行限制。. by -a

4、 sin x _ y cos x = by - a， sin( x ) 的取值范围。或者转化成两点连线的斜率。sin 2 xsin 2 x二典例解析：例1 求下列函数的定义域sin 2 xsin 2 x(1 ) y = . 3 _3sin x _2 cos 2 x ；1(2) y =log n x (cos x ) 2(3) y = i 25 _x 2 - lg cos x ;sin 2 xsin 2 x例2 求下列函数的值域(1) y = -2 sin x 32(2 ) y = 2 cos x 亠5 sin x 4 ;(3) y=5sin2x_4sinx cos x 亠 2 cos 2 x

5、；(4) y = sin x 亠 cos x 亠 sin x cos x3 sin x 亠 1(5) y :3 sin x +2sin x + 2(6) y 二cos x + 2(7) y =sin( x _) cos x .621 - tan ( x)(8) y1 - tan 2 (二-x)4(9)求函数y =1 -sin x -cos x亠sin 2x的值域.sin 2 x三课堂练习:1若cos : esc. sec?-1 - _1,则】所在的象限是A.第二象限B 第四象限限2 不解等式：1(1) sin x2C 第二象限或第四象限D 第一或第三象1(2) cos x 23 已知f(x)的定义域为1(-2f),则f (cos x)的定义域为24 求下列函数的定义域(1)1y 二tan x -1(2)y = sin x25 _x25 求下列函数的值域(1)y = 2 cos x - 1(2) y 二22 sin x cos x1 sin x(3)y1=1 sin x cos x sin 2 xX 二_,：.(4) y3.-cos xsin x2(5) y22(6) y = ta