辽宁省葫芦岛市2025届九年级上学期期末数学试卷(含答案)

葫芦岛市义务教育阶段2024—2025学年度第一学期期末学业水平测试九年级数学试卷（本试卷共23小题试卷满分120分考试时间120分钟）考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效．参考公式：抛物线（）顶点坐标为第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题；每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列方程是关于的一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．下列汽车标志中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B．C． D．3．关于抛物线，下列结论正确的是（）A．抛物线的顶点坐标为 B．抛物线可由经过平移得到C．抛物线与轴有两个交点 D．当时，随的增大而增大4．有7张除数字外都相同的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，7．随机抽取1张，取出的数字是偶数的概率是（）A． B． C． D．5．如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（）A．24° B．34° C．56° D．68°6．关于的方程实数根的情况，下列判断正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断7．如图，我市龙湾公园内有一座圆弧形拱桥，桥顶到水面的距离为，它的跨度也为，则桥拱半径为（）A． B． C． D．8．充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强与气体体积是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（）A．这个反比例函数解析式为B．当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小C．若压强由减压到，则气体体积增加了D．若气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于9．如图，在中，，，，将绕点旋转得到，当点恰好落在直线上时，的长为（）A． B． C． D．610．如图，二次函数（）的图象过点，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④若方程的两根为，，且，则．其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．一元二次方程的一个根是2，则______．12．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为______．13．如图，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，点在抛物线上，当轴时，______．14．如图，，分别与相切于，两点，点为上异于，的一点，连接，，若，则的度数为______．15．如图，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转（），点，的对应点分别为点，，直线与交于点，当与的一边平行时，的长为______．三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（本题10分）解方程：（1）；（2）．17．（本题8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上，建立平面直角坐标系后，点的坐标为．（1）画出，使与关于原点成中心对称，并写出点的坐标；（2）将绕点逆时针旋转90°，得到，①画出，并写出点的坐标：②在旋转到的过程中，线段扫过的面积是_____．18．（本题8分）美术课上，小明和小亮用质地均匀的材料做了两个可以自由转动的转盘，用来做“配紫色”游戏：每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．游戏者同时转动两个转盘，如果转盘指针指向红色，转盘指针指向蓝色，或者转盘指针指向蓝色，转盘指针指向红色，那么红色和蓝色涂在一起就可以配成紫色，如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个颜色为止．（1）利用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果；（2）游戏规定若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜；请问这个游戏对双方公平吗？说明理由．19．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象相交于，两点，过点作轴，过点作轴，与相交于点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若直线与轴相交于点，点是反比例函数（）上一点，连接，，若的面积等于的面积，求点的坐标．20．（本题8分）近年来，用“短视频+直播”推广家乡农副产品的方式日益引发关注，成为推动农业和乡村发展的新引擎：资料显示，2022年有近100万网友分享了助农短视频，到2024年分享助农短视频的人数已经达到121万．（1）求短视频分享人数的年平均增长率；（2）某短视频平台的“新农人”通过平台销售家乡特产“薄皮核桃”，据了解，每斤核桃进价是8元，每斤核桃的利润中需拿出2元做为平台管理费，若销量（斤）与每斤售价（元）满足函数关系，设直播收益为（元），当每斤售价定为多少元时，每天的直播收益最大？最大收益为多少元？（直播收益＝销售利润－平台管理费）21．（本题8分）如图，是的内接三角形，是的直径，点在上，连接并延长，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．22．（本题12分）数学活动课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究图形变化中的数学问题．和均为等腰直角三角形纸板，，先将其如图1摆放，再将绕点逆时针方向旋转（），观察图形的变化，完成探究活动．【初步探究】（1）问题1：如图2，连接，，观察旋转过程，发现线段与始终存在相等的数量关系，请说明理由：【深入探究】（2）问题2：结合问题1解决下面的问题．如图3，延长交直线于点，交于点，取线段的中点，连接，，求证：；【尝试应用】（3）问题3：如图4，延长交直线于点，连接，若，，当时，求线段的长．图1图2图3图423．（本题13分）我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点，，如果满足，那么称，两点互为“等差点”．（1）在点，，中，与点互为“等差点”的是______；（2）已知点在双曲线（）上存在唯一等差点，求出的值；（3）如图1，抛物线的顶点与点是等差点，且与轴交于，两点，与轴交于点．①点位于轴下方的抛物线上，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点．当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；②抛物线（）图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有点的两个“等差点”，请直接写出的取值范围．图1备用图葫芦岛市义务教育阶段2024-2025学年度第一学期期末学业水平考试九年级数学参考答案及评分标准1．A2．B3．C4．C5．B6．A7．B8．D9．D10．C11．212．14．114°15．或16．解：（1），，或，；（2），，即，．17．解：（1）如图所示，即为所求；（2）如图所示，即为所求；（3）．18．（1）列表如下：红1蓝1红2黄1红3（红1，红3）（蓝1，红3）（红2，红3）（黄1，红3）蓝2（红1，蓝2）（蓝1，蓝2）（红2，蓝2）（黄1，蓝2）黄2（红1，黄2）（蓝1，黄2）（红2，黄2）（黄1，黄2）（2）根据上述表格可得，共有12种等可能结果，其中可配成紫色的结果有3种，分别为（红1，蓝2），（红2，蓝2），（蓝1，红3），，则，即不能配成紫色的可能性大一些此游戏对双方不公平．19．（1）反比例函数（）经过点，将点代入中得，反比例函数解析式为（）的图象经过点，，点坐标为将，两点代入中得解得，一次函数解析式为（2）对于函数，令，得，解得，，，轴，轴点坐标为，，点是反比例函数（）上一点，可设点坐标为，，解得，点坐标为．20．（1）设短视频分享人数的年平均增长率为，根据题意可得方程，解得，，（不合题意，舍去）．答：短视频分享人数的年平均增长率为10%．（2）根据题意可得，抛物线开口向下，有最高点，有最大值，即当时，．答：当售价为15元时，每天的收益最大；最大收益为1250元．-8分21．（1）证明：如图，连接，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：，设，由（1）可知即，解得：，设半径为，则，在中，，，即解得：的长为．22．（本题12分）（1）证明：和为等腰直角三角形，，，图2（2）解：由（1）过程得交于点，在和中，为中点，，图3（3）证明：过点作于，取中点，连接，图4在中，，为中点，在中，，，为的垂直平分线，为