特征值与特征向量

1、我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示之后，线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式式.从现在开始，我们主要来讨论，在适当的选择从现在开始，我们主要来讨论，在适当的选择基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式单形式.为了这个目的，先介绍特征值和特征向量为了这个目的，先介绍特征值和特征

2、向量的概念的概念. 这里需要注意，特征值这里需要注意，特征值 0 是数域是数域 P 中的数量中的数量,特征向量特征向量 是非零向量是非零向量.显然，零向量对任意的显然，零向量对任意的 0 都满足都满足 A = 0 ，因此这不具有，因此这不具有“特征特征”意义意义.在几何向量空间在几何向量空间 R2 和和 R3 中，线性变换中，线性变换 A 的的特征值与特征向量的几何意义是：特征值与特征向量的几何意义是：例如：在例如：在 R2 中，向量绕原点按逆时针方向旋转中，向量绕原点按逆时针方向旋转 角的旋转变换角的旋转变换 S ，当，当 0 时，对任意非零时，对任意非零向量向量 R2 ， S ( ) 与与

3、 都不共线都不共线 ( 图图 7-8所示所示 ) S ( )O此时，此时， S 没有实特征值；没有实特征值；当当 = 时，时，R2 中任何非零向量中任何非零向量 都与都与 S ( )共线，且共线，且S ( ) = - (图图 7-9所示所示)，S 的特征值，而且任何非零向量的特征值，而且任何非零向量 都是其特征向都是其特征向量量.O 1S ( 1) 2S ( 2)所以，所以，- 1 是是如果如果 是线性变换是线性变换 A 的属于特征值的属于特征值 0 的特征的特征向量，那么向量，那么 的任何一个非零倍数的任何一个非零倍数 k 也是也是 A 的属的属于于 0 的特征向量的特征向量 . 因为从因为

4、从 A = 0 可以推出可以推出A (k ) = 0 (k ) . 这说明特征向量不是被特征值唯一决定的这说明特征向量不是被特征值唯一决定的. 相反，相反，特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特征向量只能属于一个特征值征向量只能属于一个特征值.设设 V 是数域是数域 P 上的上的 n 维线性空间，维线性空间， 1 , 2 , , n 是它的一组基，线性变换是它的一组基，线性变换 A 在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵是是 A. 又设又设 0 是是 A 的特征值，的特征值， 是是 A 的属于的属于 0 的的一个特征向量，一个特征向量， 在基在基 1 ,

5、 2 , , n 下的坐标是下的坐标是x01 , x02 , , x0n .则则 A 的坐标是的坐标是.00201nxxxA 0 的坐标是的坐标是.002010nxxx因此因此 A = 0 相当于坐标之间的等式相当于坐标之间的等式.00201000201nnxxxxxxA上式可进一步变形成上式可进一步变形成. 0)(002010nxxxAE这说明特征向量这说明特征向量 的坐标的坐标 (x01 , x02 , , x0n ) 满足满足齐次方程组齐次方程组( 0E - A ) X = 0 .由于由于 0，所以它的坐标，所以它的坐标 x01 , x02 , , x0n 不全为不全为零，即齐次方程组零

6、，即齐次方程组 ( 0E - A ) X = 0 有非零解有非零解.我们我们知道，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是知道，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式等于零，即它的系数行列式等于零，即. 0|02122220211121100nnnnnaaaaaaaaaAE我们引入以下定义我们引入以下定义. nnnnnaaaaaaaaaAE2122222111211|上面的分析说明，上面的分析说明，这时，如果这时，如果(x01 , x02 , , x0n ) 是方程组是方程组 ( 0E - A ) X = 0 的一的一个非零解，那么非零向量个非零解，那么非零向量 = x01 1 +

7、 x02 2 + + x0n n 满足满足 A = 0 ，即，即 0 是线性变换是线性变换 A 的一个特征的一个特征值值线性变换线性变换 A 的特征值与特征向量的步骤如下：的特征值与特征向量的步骤如下：计算计算 A 的特征多项式，并求出特征的特征多项式，并求出特征方程在数域方程在数域 P 中的所有根中的所有根. 的特征值的特征值 1 , 2 , , s ，它们也就是线性变换，它们也就是线性变换 A 就是属于特征值就是属于特征值 0 的一个特征向量的一个特征向量.于是可得求于是可得求在线性空间在线性空间 V 中取一组基中取一组基 1 , 2 , , n ，写出，写出 A 在这组基下的矩阵在这组基

8、下的矩阵 A ；设矩阵设矩阵 A 有有 s 个不同个不同的全部特征值的全部特征值.特征向量在基特征向量在基 1 , 2 , , n 下的坐标下的坐标. 对对 A 的每个特征值的每个特征值 i ( i = 1, 2,s ), 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 ( i E - A ) X = 0，该，该方程组的全部解即为矩阵方程组的全部解即为矩阵 A 的对应于的对应于 i 的全部的全部矩阵矩阵 A 的特征多项式的根有时也称为的特征多项式的根有时也称为 A 的的特征值，而相应的线性方程组特征值，而相应的线性方程组 ( i E - A ) X = 0 的的解也就称为解也就称为 A 的属于这个特征值

9、的特征向量的属于这个特征值的特征向量. 在在 n 维线性空间中，数乘变换维线性空间中，数乘变换 K 在任在任意一组基下的矩阵都是意一组基下的矩阵都是 kE，它的特征多项式是，它的特征多项式是| E - kE | = ( - k)n .因此，数乘变换因此，数乘变换 K 的特征值只有的特征值只有 k .由定义可知由定义可知,每个非零向量都是属于数乘变换每个非零向量都是属于数乘变换 K 的特征向量的特征向量. 设线性变换设线性变换 A 在基在基 1 , 2 , 3下的矩阵是下的矩阵是,122212221A求求 A 的特征值与特征向量的特征值与特征向量.122212221AEA 的特征多项式为的特征多

10、项式为. )5() 1(2所以，所以，A 的特征值为的特征值为, 15321,0)5(XAE当当51时时, 解方程组解方程组, 0422242224321xxx即即解之得基础解系为解之得基础解系为,) 1,1,1 (T所以属于所以属于51的一个线性无关的特征向量就是的一个线性无关的特征向量就是, 0422242224321xxx 1 = 1 + 2 + 3，全部特征向量就是全部特征向量就是. )(111Pkk,0)(XAE当当132时时, 解方程组解方程组, 0222222222321xxx即即,0222222222321xxx解之得基础解系为解之得基础解系为,) 1,1,0(,)0,1,1(

11、TT).,(323322Pkkkk132所以属于所以属于的一个线性无关的特征的一个线性无关的特征向量就是向量就是全部特征向量就是全部特征向量就是,323212 在空间在空间 Pxn 中，线性变换中，线性变换D f (x) = f (x)在基在基)!1(,! 2,112nxxxn下的矩阵是下的矩阵是0000100001000010DD 的特征多项式是的特征多项式是.0001000010001|nDE因此，因此，D 的特征值只有的特征值只有 0 . 通过解相应的齐次线性通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值方程组知道，属于特征值 0 的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数

12、组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数只能是零或非零的常数. 平面上全体向量构成实数域上一个二维平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间，第一节线性空间，第一节中旋转中旋转 S 在直角坐标系在直角坐标系下的矩阵为下的矩阵为.cossinsincos它的特征多项式为它的特征多项式为.1cos2cossinsincos2当当 k 时，这个多项式没有实根，因而，当时，这个多项式没有实根，因而，当 k 时，时， S 没有特征值没有特征值.容易看出，对于线性变换容易看出，对于线性变换 A 的任一个特征值的任一个特征值 0 ，全部适合条件，全部适合条件A

13、= 0 的向量的向量 所成的集合，所成的集合，部特征向量再添上零向量所成的集合，是部特征向量再添上零向量所成的集合，是 V 的一的一个子空间，个子空间，.0V显然，显然，0V的维数就是属于的维数就是属于 0 的线性无关的特征向的线性无关的特征向的最大个数的最大个数.也就是也就是 A 的属于的属于 0 的全的全称为称为 A 的一个的一个，记为记为 由行列式的定义可知由行列式的定义可知, 矩阵矩阵 A 的特征多的特征多 项式项式nnnnnnaaaaaaaaaAE212222111211因而因而, A 的特征多项式中的特征多项式中, n 与与 n-1 的系数由该项的系数由该项中中, 有一项是主对角线

14、上有一项是主对角线上 n 个元素的乘积个元素的乘积( - a11) ( - a22) ( - ann)而其他各项至多含有主对角线上的而其他各项至多含有主对角线上的 n - 2 个元素个元素. | E - A | = n - (a11 + a22 + + ann) n-1 + + (-1)n |A| . 确定确定. 不难看出不难看出, n 的系数为的系数为 1 , n-1 的系数为的系数为-(a11 + a22 + + ann).另外另外, 在特征多项式中在特征多项式中令令 = 0 可得其常数项为可得其常数项为 |A| .故故称称niiia1为矩阵为矩阵 A 的的, 记作记作 trA.由于由于

15、1 , 2 , , n 是是 A 的的 n 个特征值个特征值, 所以所以| E - A | = ( - 1)( - 2) ( - n) .比较上述两式可得比较上述两式可得特征值自然是被线性变换所决定的特征值自然是被线性变换所决定的. 但是在有但是在有限维空间中，任取一组基之后，特征值就是线性变限维空间中，任取一组基之后，特征值就是线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根换在这组基下矩阵的特征多项式的根. 随着基的不随着基的不同，线性变换的矩阵一般是不同的同，线性变换的矩阵一般是不同的. 但是这些矩阵但是这些矩阵是相似的。是相似的。 设设 A B，即有可逆矩阵，即有可逆矩阵 X，使，使B = X-

16、1AX .于是于是| E - B | = | E - X-1AX | = | X-1( E - A)X |= | X-1 | | E - A | | X |= | E - A | .性质性质7.3.2 正好说明，线性变换的矩阵的特征多项正好说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选择无关，它是直接被线性变换决定的式与基的选择无关，它是直接被线性变换决定的.因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了.既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的多项式的各项系数对于相似的矩阵来说

17、都是相同的.譬如说，考虑特征多项式的常数项，得到譬如说，考虑特征多项式的常数项，得到因此，以后就可以说线性变换的因此，以后就可以说线性变换的行列式了行列式了.应该指出应该指出，性质，性质7.3.2 的逆是不对的，特征多项式的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定是相似的相同的矩阵不一定是相似的. 例如例如.1011,1001BA它们的特征多项式都是它们的特征多项式都是 ( - 1)2 ，但，但 A 和和 B不相似不相似,因为和因为和 A 相似的矩阵只能是相似的矩阵只能是 A 本身本身. 设设 B( ) 是是 E - A 的伴随矩阵，由行列的伴随矩阵，由行列式的性质，有式的性质，有B( ) (

18、E - A) = | E - A |E = f ( ) E .因为矩阵因为矩阵 B( ) 的元素是的元素是 | E - A | 的各个代数的各个代数余子式，都是余子式，都是 的多项式，其次数不超过的多项式，其次数不超过 n - 1 .因因此由矩阵的运算性质，此由矩阵的运算性质， B( ) 可以写成可以写成B( ) = n-1B0 + n-2B1 + + Bn-1 .其中其中 B0 , B1 , , Bn-1都是都是 n n 数字矩阵数字矩阵.再设再设 f ( ) = n + a1 n-1 + + an-1 + an ，则，则 f ( )E = nE + a1 n-1E + + an-1 E + an E .而而B( ) ( E - A)= ( n-1B0 + n-2B1 + + Bn-1)( E - A)= nB0 + n-1(B1 - B0A) + n-2 (B2 - B1A)+ + (Bn-1 - Bn-2 A) - Bn-1A .比较上述两式，得比较上述两式，得.,11212121010EaABEaABBEaABBEaABBEBnnnnn以以