2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答（精编版）

1、.20XX全国高中数学联赛XX省预赛试题解答6 / 6一、填空题每题8 分1、若 2013的每个质因子都是某个正整数等差数列答案： 4027 an中的项 , 则 a2013 的最大值是解： 201331161, 若 3,11,61 皆是某正整数等差数列中的项, 则公差 d 应是1138与 61358 的公因数 , 为使a2013 取得最大 , 则其首项a1 和公差 d 都应取尽可能大的数 , 于是a13, d2 , 所以a2013 的最大值是32012d4027 2 、若a, b,c0 , 1231, 则 aabc2b3c 的最小值为答案： 36 解：据柯西不等式, a2b3ca2b3c212

2、3abc12336 3 、若Snn!1232!3!4!( nn1)!1 , 则 S2013答案：12014解：因k( k1)111, 则( k1)!(k1)!k !(k1)!123n112131(n1)1112!3!4!(n1)!1!2!3!( n1)!(n1)!所以 , Snn!11111, 故 S2013(n1)!n120144 、如果一个正方体X 与一个正四面体Y 的表面面积各面面积之和相等, 则其体积之比 VxVy答案： 4 3 解：记表面面积为12平方单位, 则正方体每个面的面积为2 , 其边长为2 , 所以3Vx22 ；正四面体每个面的面积为3 , 设其边长为a , 则由3 a 2

3、43 , 得 a12 34 ；31V1于是 Vy2234 , 因此x34Vy4 3 5 、若椭圆中心到焦点, 到长、短轴端点, 以及到准线距离皆为正整数, 则这四个距离之和的最小值是答案： 61 2解：设椭圆方程为xa 2y2b21 , ab0 , 椭圆中心 O到长、短轴端点距离为a, b ,到焦点距离c 满足：222dcab, 到准线距离满足： da 2, 由于ca, b, c 组成勾股数 ,满足 a20 的勾股数组有a,b,c3,4,5, 6,8,10 ,9,12,15 , 12,16,20 , 5,12,13 ,以及8,15,17 , 其中只有152925 与2021625 , 而 (

4、a, b, c, d )(15,12,9,25) 使得abcd 的值为最小 , 这时有abcd61 6 、函数f ( x)3 x63x 的值域是答案： 1,2 解： f ( x)3(x2)3x 的定义域为 2,3 , 故可设 x2sin2(0) ,2则 f (x)3sin 21sin23 sincos2sin() ,6而26631, 这时sin()1 , 因此 1f2 267 、设合数 k 满足： 1k则这种 山寨质数 的个数是 答案： 23 个100, 而 k 的数字和为质数, 就称合数 k 为 山寨质数 ,解：用S(k)表示 k 的数字和；而M ( p) 表示山寨为质数p 的合数的集合当k

5、99时, S(k )18 , 不大于 18 的质数共有7 个, 它们是： 2,3,5,7,11,13,17 , 山寨为 2 的合数有M (2)20, 而 M(3)12,21,30 , M (5)14,32,50 , M (7)16,25,34,52,70；M (11)38,56,65,74,92共得 23个山寨质数, M (13)49,58,76,85,94, M (17)98 ；8 、将集合1,2,3,4,5,6,7,8中的元素作全排列, 使得除了最左端的一个数之外, 对于其余的每个数n , 在 n 的左边某个位置上总有一个数与n 之差的绝对值为1, 那么 , 满足条件的排列个数为答案： 1

6、28即27 个解：设对于适合条件的某一排列, 排在左边的第一个元素为k , (1k8) , 则在其余 7个数中 , 大于 k 的 8k 个数 k1,k2,8 , 必定按递增的顺序排列；而小于 k 的 k1个数1,2, k1 , 必定按递降的顺序排列位置不一定相邻事实上 , 对于任一个大于k 的数 kn , 设 kn8, 如果 kn1排在 kn 的左边 ,则与 kn1相差 1的另一数 kn2 就必须排在 kn1的左边；同样, 与 kn2 相差 1的另一数 kn3 又必须排在kn2 的左边；, 那么 , 该排列的第二个数不可能与k 相差1, 矛盾！因此kn1必定排在 kn的右边用类似的说法可得,

7、小于 k 的 k1个数 1,2, k1 , 必定按递降的顺序排列；由于当排在左边的第一个元素k 确定后 , 右边还有 7 个空位 , 从中任选 8k 个位置填写大于 k 的数 , 其余 k1个位置则填写小于k 的数 , 选法种数为8 kC,7；而当位置选定后87则填数方法随之唯一确定, 因此所有排法种数为C8 kC j27 77k 1k 0二、解答题9 、20 分设直线xy1与抛物线y 22 px ( p0) 交于点A, B , 若 OAOB , 求抛物线方程以及OAB 的面积y解：设交点A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由DA2y2 px 与 xy1, 得2y2 py

8、2 p0 ,COx故有 x1pp22 p , ypp 22 p ,11以及 x1 pp22 p ,ypp22 p B22因 OAOB , 即 OA OB0 , 所以x1x2y1 y20 , 即(1p)2( p22 p)p2( p22 p)0 , 化简得 12 p0 , 因此抛物线方程为y2x , 从而交点A, B 坐标为：A35 ,215, B235 ,215,2OA2x2y2525 , OB2x2y2525 ,1122因此 SOAB1 OAOB15 2210、20 分如图 , 四边形 ABCD 中,E, F 分别是AD , BC 的中点 , P 是对角线 BD 上的一点；直线EP, PF 分

9、别交AB, DC 的延长线于M , N 证明：线段MN 被直线 EF 所平分证：设 EF 交 MN 于 G , 直线 EF 截PMN , 则NGMEPF GMEPFN1 ；为证 G 是线段MN 的中点 , 只要证 , PFPE ,NFME直线 AB 截PDE ,AE得 PMEADB MEADBP1, 即MPBPD ,2MEBDPPNFCBDBC直线 CD 截PBF , 则有1 ,FNFCBDPNPPDGN即 ,M2NFBD相加得MPNPMENF2 , 即 NP11MP NFMEPFPE, 也即NFME, 因此结论得证11、20 分在非钝角三角形ABC 中, 证明： sin Asin Bsin

10、C2 证一： sin Asin Bsin C2sin Asin Bsin( AB)(sin 2 Acos2A)(sin 2 Bcos2 B)sinA(1sinA) sinB(1sinB) sin( AB)(cos2 Acos2 B)sinA(1sinA)sinB(1sin B)cos B(sin Acos B)cos A(sin Bcos A)0 这里用到 , 在非钝角三角形ABC 中, 任两个内角之和不小于900 , 所以由 AB900 , 得A900B, B900A , 因此sin Bsin(900A) cos A , 同理 sin Acos B,而1sin A , 1sin B 不能同时

11、为0 从而结论得证ABC证二： sin Asin Bsin C2sin Asin Bsin( AB)2sin() 22ABABABABABCABC2sincos2sincos2sincos2cossin222222222sinABABCAB(coscos)2cos(sinABCsin)2222224sinAB sinACB sin BCA2cos AB (cosCCsin)0 ；222222这是由于 , 锐角三角形ABC 中, 任两个内角之和大于900 , 而任一个半角小于450 ； 所以 sin Asin Bsin C2 证三：令 xABCtan, ytan, ztan, 则 xyyzzx1

12、 , 且222sin A2 x1x2, sin B2 y1y2, sin C2z；1z2即要证2 x1x22 y1y22 z1z22 , 因为1x2( xy)( xz) ,221y( yx)( yz),1z( zx)( zy) ,故式即4( xy)( yz)( xz)2 , 也即 (xy)( yz)( xz)2 ,即xyzxyz2而因A, B , C(0, , 故 x, y, z(0,1 , 所以 (1x)(1y)(1z)0 ,2224即 1(xyz)( xyyzxz)xyz0 此式即为xyzxyz2由立知式成立式强于式, 因此命题得证12、26 分试确定 , 是否存在这样的正整数数列an,

13、满足：a20132013 , 且对每个k2,3,2013, 皆有akak 120 或 13 ；而其各项a1 ,a2 , a2013 的值恰好构成1,2,2013 的一个排列？证明你的结论解：存在由于201333, 而 33 2013, 即有 20133361；我们注意到 , 差 运算具有 平移性 , 即是说 , 如果 akak 120 或13 , 那么 , 对任何整数 c , 也有(akc)(ak 1c)20 或13 ；为此 , 先将集合1,2,33中的数排成一个圈,使得圈上任何相邻两数之差皆为20 或 13 , 如图所示将此圈从任一间隙处剪开, 铺成的线状排列8212815222911427

14、720331326a , a ,a, 都满足 aa20 或13,2961233kk 11916332为将数列锁定, 在前面添加一项a00 , 使数列2312105 25a , a , a , a也满足条件 , 我们可选择与数33 相3018173101233邻的一个间隙剪开；例如从33 右侧间隙剪开, 并按4 2411顺时针排列 , 就成为：0 ； 13,26,6,19,32,12,25,5,18,31,11,24,4,17,30,10,23,3,16,29,9,22,2,15,28,8,21,1,14,27,7,20,33；若从 33 左侧间隙剪开 , 并按逆时针排列, 则成为： 0 ； 2

15、0,7,27,14,6,26,13,33 ；这两种排列都满足akak120 或 13 ；记分段数列M 0(13, 26,6,19,32,12, 25,5,18,31,11, 24, 4,17,30,10, 23,3,16, 29 ,9,22,2,15,28,8,21,1,14,27,7,20,33)(a1 , a2 , a33 ), 而分段数列M k(a1 33k , a2 33k ,a33 33k )(a133k, a233k , a3333k) , k1,2,60 ,将这些段作如下连接：0, M 0 , M 1, M 60 , 所得到的数列a0 ,a1, a2 , a2013 满足条件因为 ,a2013a33 33 60a3333603333