勾股定理常见错解剖析

1、学习好资料欢迎下载勾股定理常见错解剖析江苏刘顿勾股定理是我们研究几何的重要定理之一，是勾通代数与几何的桥梁，所以，同学们一定要认真学好但仍有不少同学在运用勾股定理解题时，因缺乏慎重考虑，时常出现错解现象，为了方便同学们学习，现就常见错误说明如下：一、忽视利用勾股定理解题的格式例 1已知在 Rt ABC中， C 90°， AB15cm，BC 12cm，求 AC的长错解在 Rt ABC中，因为 C 90°， AB 15cm， BC 12cm，所以由勾股定理，得222AB AC+BC，所以2AC22152122 AB BC819即AC的长是9cm剖析AC的长确实是 9cm，不过问

2、题出在求解过程中的格式书写不当，即222AC AB BC 152 122正解在 Rt ABC中，因为 C 90°， AB15cm，BC 12cm，所以由勾股定理，得222AC2222ABAC+BC，所以ABBC15128199cm即 AC的长是二、忽视勾股定理的存在条件例 2已知在 ABC中，若 AB BC AC，且 AB 10， BC 8试求偶数 AC的长错解在 ABC中，因为 AB BC AC，所以 AB是斜边，所以由勾股定理，得22+2，即222，ABAC BCACABBC又因为 10， 8，所以2BC222ABBCACAB108 6，即偶数 AC的长是 6剖析 勾股定理适用的

3、范围必须是在直角三角形中才能成立 然而本题中并没有说明是直角三角形， 所以不能利用勾股定理求解根据题设条件可以利用三角形的三边关系求解解在 ABC中，因为 AB 10， BC 8，所以 2 AC 18，又 BCAC，所以 2 AC8，而 AC是偶数，所以 AC只能取 4 或 6三、忽视对直角三角形边的分类讨论例 3已知一个直角三角形的两条边是3cm和 4cm，求第三条边的长错解因为直角三角形的两条边是3cm 和 4cm，所以由勾股定理， 得第三条边， 即斜边是3242 25 5，即第三条边的长是 5cm剖析受勾 3 股 4 的影响，误以为已知的 3cm和 4cm 就是两条直角边，求第三条边的长

4、就是斜边，当然是5了事实上，这里也并没有指明已知的两条边就是直角边，所以4cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论正解在直角三角形中，若3cm 和 4cm 两条直角边，所以由勾股定理，得斜边324225 5，即第三条边的长是5cm在直角三角形中，若 3cm是直角边， 4cm 是斜边，则由勾股定理，得另一条直角边4232 7，即第三条边的长是7 cm故第三条边的长是5cm 或7 cm四、忽视对图形中高的分类讨论例 4已知：在 ABC中， AB 15cm， AC13cm，高 A D 12cm，求 SABC学习好资料欢迎下载错解如图 1，在 Rt ADB和 Rt ADC中，分别由勾股定理，得

5、BDAB2AD 2152 122 81 9； CDAC2AD2 212225 所以 BC BD CD9+514故 S ABC1BC·A D 1× 14×135+22212 84（ cm）剖析由于给定的条件中并没有给出图形，所以求解时除了要考虑如图1 的情况外，还要考虑如图2 的情况即要画出所有可能的图形错解时正是漏掉了如图2 的情形AAB图 1DCBCD图 2正解分两种情况：如图1，在 Rt ADB和 Rt ADC中，分别由勾股定理，得BDAB2AD 22122819AC2AD222255+9+51415； CD1312所以S ABCBCBD CD故1 BC

6、83;A D 1 ×14× 1284（ cm2）；如图 2，在 Rt ABD和 Rt ACD中，分别由勾股定理， 得 BDAB2AD 2222281 9； CDAC2AD22122 25 5所以 BC BD CD 9 ABC15 121354故 S1122BC· A D × 4× 12 24（ cm）2五、忽视对等腰三角形底和腰的分类讨论例 5已知：等腰三角形中，一边长是6cm，另一边是 8cm，求一腰上的高错解如图 3，作于，则在 Rt 和 Rt 中，分别由勾股定理，得22222，BDAC DABDCBDBDABAD BC CD2323222

7、222222，所以 BD AB2AD22即 AB ADBC ( AC AD)，所以8 AD6 (8 AD) ，即 AD4 84 355 AA4D8D6B6CB8C图 3图 4剖析对于已知等腰三角形的两边应分类讨论，漏解的原因可能是只对图3 中的一种情况计算， 而忽视了如图 4 的情形正解分两种情况讨论：若以6cm 为底， 8cm 为腰，则如图3，在 Rt和 Rt 中，分别由勾股定ABDCBD222222222222 AD)223理，得 BD ABAD BCCD，即 AB ADBC ( ACAD)，所以8AD 6 (8，即 AD，所以42AB2AD28223 355；若以 8cm 为底， 6cm 为腰，则如图4，在 Rt 和 RtCBDBD44AB