第一 章 函数、极限与连续

1、第一 章 函数、极限与连续第1-5节：函数教学目的：理解函数的概念，掌握函数的各种性态，为研究微积分做好准备教学重点：函数的概念，函数的各种性态教学难点：反函数、分段函数的理解教学内容：1. 函数的定义：设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于给定的每个数xD，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。y的取值范围叫函数的值域。2. 定义域的求法原则（1）分母不为零（2）（3）（4）（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集例1求的定义域解：且 且或 定义域为3. 分段函数用两个以上表达

2、式表达的函数关系叫分段函数如称为分段点4. 反函数设函数的定义域为，值域为。对于任意的，在上至少可以确定唯一的与对应，且满足。如果把看作自变量，看作因变量，就可以得到一个新的函数：。我们称这个新的函数为函数的反函数，而把函数称为直接函数。由于习惯上表示自变量，表示因变量，于是我们约定也是直接函数的反函数。反函数与，这两种形式都要用到应当说明的是函数与它的反函数具有相同的图形。而直接函数与反函数的图形是关于直线对称的。5. 函数的性质（1）有界性若有正数存在，使函数在区间上恒有，则称在区间上是有界函数；否则，在区间上是无界函数。（2）单调性设函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为单调

3、增加（或单调减少）的函数。例如，函数在区间内是单调减少的；在区间内是单调增加的。而函数在区间内都是单调增加的。（3）奇偶性若函数在关于原点对称的区间上满足（或）则称为偶函数（或奇函数）。偶函数的图形是关于轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的。例如，在定义区间上都是偶函数。而、在定义区间上都是奇函数。（4）周期性对于函数，如果存在一个非零常数,对一切的均有，则称函数为周期函数。并把称为的周期。应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期。对三角函数而言，都是以为周期的周期函数，而、则是以为周期的周期函数。关于函数的性质，除了有界性与无界性之外，单调性、奇偶性、周期性都是函数的特殊性质，

4、而不是每一个函数都一定具备的。6. 基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。图1-1（1）幂函数 它的定义域和值域依的取值不同而不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定义。当或时，定义域为。常见的幂函数的图形如图1-1所示。（2）指数函数 它的定义域为，值域为。指数函数的图形如图1-2所示（3）对数函数 定义域为，值域为。对数函数是指数函数的反函数。其图形见图1-3。在工程中，常以无理数e2.718 281 828作为指数函数和对数函数的底，并且记，而后者称为自然对数函数。（4）三角函数图1-3图1-2三角

5、函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。图1-4（5）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数等它们的图形如图1-5所示。6.常量函数为常数 （为常数）定义域为，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示。图1-5图1-6 小结：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习作好准备作业：第6-7节：函数教学目的：理解复合函数、初等函数的概念教学重点：复合函数、初等函数的概念教学难点：复合函数的理解，如何建立函数关系教学内容：1. 复合函数若，当的值域落在的

6、定义域内时称是由中间变量u复合成的复合函数。例1 可复合成注意：就不能复合。例2 可以看作是复合成的复合函数。2. 初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。例如，都是初等函数。初等函数虽然是常见的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到。例如符号函数，取整函数等分段函数就是非初等函数。在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的。3. 建立函数关系

7、举例例3 将直径为d的圆木料锯成截面为矩形的木材，试建立矩形截面的两条边长之间的函数关系.例4 已知一物体与地面的摩擦系数是，重量是P.设有一与水平方向成角的拉力F,使物体从静止开始移动.求物体开始移动是拉力F与角之间的函数关系.小结：本节介绍了复合函数、初等函数的概念作业： 第9-10节：极限教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系教学难点：极限概念的理解教学内容：1. 数列的极限极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割

8、圆术，就是极限思想在几何学上的应用。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明。先说明数列的概念。如果按照某一法则，有第一个数，第二个数，这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数有一个确定的数，那么，这列有次序的数就叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，第项叫做数列的一般项。例如：都是数列的例子，它们的一般项依次为。以后，数列也简记为数列。如果数列，当无限增大时，数列的取值能无限接近常数a，我们就称a是当时的极限，或者称数列收敛于，记作或 。如果数列没有极限，就说数列是发散的。显然2. 函数当时的极限我们知道，当时越来越接近零。如果函数

9、当无限增大时，取值和常数要多接近就有多接近，此时称是当时的极限，记作。（当）。注：若（1）是唯一的确定的常数；（2）既表示趋于，也表示趋于。如果时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当时的极限，记作。如果时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当时的极限，记作。显然，存在的充分必要条件是3. 函数当时的极限满足的的范围称作以为中心的邻域，满足的范围称作以为中心，以为半径的去心邻域，记作。现在考虑自变量的变化过程为。如果在的过程中，对应的函数值无限接近于确定的数值，那么就说是函数当时的极限。当然，这里我们首先假定函数在点的某个去心邻域内是有定义的。那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）

10、。注：若极限存在时（1）是唯一的确定的常数；（2）表示从的左右两侧同时趋于；（3）极限的存在与在有无定义或定义的值无关。显然，上述时函数的极限概念中，是既从的左侧也从的右侧趋于的。但有时只能或只需考虑仅从的左侧趋于（记作）的情形，或仅从的右侧趋于（记作）的情形。在的情形，在的左侧，。在的定义中，把改为，那么就叫做函数当时的左极限，记作或。类似地，在的定义中，把改为，那么就叫做函数当时的右极限，记作或。根据时函数的极限的定义，以及左极限和右极限的定义，容易证明：函数当时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即。因此，即使和都存在，但若不相等，则不存在。例:函数图1-7当时的极限

11、不存在。证 当时的左极限，而右极限，因为左极限和右极限存在但不相等，所以不存在（图1-7）小结：本节讲述了各种趋势下的极限的定义和无穷小、无穷大的概念作业： 第11节：无穷大与无穷小教学目的：理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量、无穷大量之间的关系，掌握它们的性质教学重点：无穷小量和无穷大量的概念教学难点：无穷小量和无穷大量有关性质教学内容：1.无穷大与无穷小前面我们研究了 数列的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限、函数的极限、 函数的极限、 函数的极限，这七种趋近方式。下面我们用表示上述七种的某一种趋近方式，即定义1 当在给定的下，以零为极限，则称是下的无穷小量，即。定义2

12、 当在给定的下，无限增大，则称是下的无穷大量，记作。显然，时，都是无穷大量， 时，都是无穷小量。注：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。关于无穷大、无穷小有如下一些结论：定理1 在自变量的同一变化过程（或）中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函数的极限。定理2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。定理3 有限个无穷小的和也是无穷小。定理4 有界函数与无穷小的

13、乘积是无穷小。推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。2.无穷小的比较当在给定的趋势下，变量、都是无穷小量，那么，它们谁趋近于零的速度更快呢，我们给出如下定义：如果，就说是比高阶的无穷小，记作；如果，就说是比低阶的无穷小。如果，就说是和同阶无穷小；如果，就说与是等价无穷小，记作。注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。小结：本节给出了无穷小量和无穷大量的概念和它们的相关性质，注意不要错误的利用这些性质作业： 第12节：极限的运算法则教学目的：掌握极限的四则运算法则和复合函数的极限法则教学重点：掌握不

14、同类型的未定式的不同解法教学难点：计算教学内容：在给定的趋势下，和都存在的情况下，有如下运算法则成立1.2.3. =A4.这些极限的运算法则在实际运算中未必逐一使用，例如是一目了然的，下面就将几种常用的方法总结一下。1. 代入法：直接将的代入所求极限的函数中去，若存在，即为其极限，若不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子（分母）有理化法例如， 又如，4. 化无穷大为无穷小法例如，实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出又如，（分子分母同除

15、）。再如，（分子分母同除）。5. 利用定理求极限例如，（无穷小量乘以有界量）。6. 复合函数的极限运算设函数当时的极限存在且等于，即，但在点的某去心邻域内，又，则复合函数当时的极限也存在，且小结：本节介绍了不同类型的未定式的不同解法，要熟练掌握这些方法作业： 第13节：极限存在准则，两个重要极限 教学目的：掌握两个极限的存在准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法教学重点：利用两个重要极限求极限教学难点：利用第二重要极限求极限的方法教学内容：下面我们来介绍极限存在的两个准则：1. 准则1 如果数列及满足下列条件：（1），（2）那么数列的极限存在，且。准则2 单调有界数列必有极

16、限如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；如果数列满足条件，就称数列是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。例 求解： 而 所以原式极限为1。2. 第一个重要极限：利用收敛准则1，我们容易证得第一个重要极限（详见教材）注1 为了更好利用第一个重要极限求极限，应掌握好如下模型：成立的条件是在给定的趋势下，两个应该是一模一样的无穷小量。例如，。注2 第一个重要极限可以解决型，含三角函数的未定式。自我练习：（1） （2） （3） （4）2第二个重要极限： 注1 上述三种形式也可统一为模型成立的条件是在给定趋势下，两个是一模一样的无穷小量。注2 第二个重要极限解决的对象是型未定式。例如，

17、自我练习：（1） （2） （3） （4） （5）小结：本节讲述了两个极限的收敛准则，两个重要极限及利用两个重要极限求限的方法，对无穷小量进行了分类作业：第14节：函数的连续性教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质教学重点：连续的定义，间断点的分类教学难点：连续的定义，间断点的分类教学内容：1. 函数的连续性对，当自变量从变到，称叫自变量的增量，而叫函数的增量。定义 设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量也趋于零，那么就称函数在点连续。它的另一等价定义是：设函数在点的某一邻域内有定义

18、，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即，那么就称函数在点连续。下面给出左连续及右连续的概念。如果存在且等于，即，就说函数在点左连续。如果存在且等于，即，就说函数在点右连续。在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。2. 函数的间断点设函数在点的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数有下列三种情形之一：（1）在没有定义；（2）虽在有定义，但不存在；（3）虽在有定义，且存在，但；则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点。下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况，给出间断点的分类。 在连续。 在间断，极限为2。 在间断，极限为2。 在间断，左极限为2，右极限为1。 在 间断在间断，极限不存在。像这样在点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的称作第一类间断的可补间断，此时只要令，则在函数就变成连续的了；被称作第一类间断中的跳跃间断。被称作第二类间断，其中也称作无穷间断，而称作震荡间断。就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，但左极限及右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点。不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去