文科十推理与证明学生

1、第十三章推理与证明第一节合情推理与演绎推理题型169归纳推理=7(X>O)例题13.1设函数f (x)= ，观察：，ft<x)=吐*4 *人3=/5(工)=徒旨*根据以上事实，由归纳推理可得：当*N且毎2时/(工)=八几-3) .例题13.2定义Fn(A, B)表示所有满足 AU B =：已a,aj的集合A, B组成的有序集合对(A B 的个数.试探究F,(A,B),F2(A, B),，并归纳推得Fn(A, B)=,(n若数列an满足am = f(m)(N ),且a 的前m项和为Sm ,则2S2014 S2006 =例题13.5意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这

2、样一组数：1 , 1,2, 3，5，8, 13,其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和.该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项 之比越逼近黄金分割 0.6180339887.人们称该数列an为“斐波那契数列”.若把该数列an的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列bn，在数列bj中第2014项的值是-0sin: Ucos : 300 =；45° i 亠 2sin： Lcosi* 亠45° =-；260° 一 打 sin : Lcosi ：£ 亠 60° = 1 ；例题13.6

3、观察下列等式：sin2 _：匚 1 coS2 二sin2 二 亠 cos21 * 亠 30° | 亠 sisin2 a + cog (ct +90° ) + 2sinotcos口 +90° )=0 ；可以猜想出结论：训练题12014 北京卷学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格” “不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于 乙，则称“学生甲比学生乙成绩好” 如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好， 并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A. 2人B . 3人C . 4人

4、D . 5人训练题22014 福建卷已知集合a, b, c =0,1, 2，且下列三个关系： az 2 ，b =2 :c工0有且只有一个正确，则100a + 10b + c等于.x训练题 32014 陕西卷已知 f(x) = wx, x> 0, 若 f 1(x) = f (x) , fn +1(x) = f(fn(x) , n N+ ,则f 2014(X)的表达式为 .训练题42014 福建卷若集合a, b, c, d = 1 , 2, 3, 4，且下列四个关系：a= 1；bz 1；c= 2；dz4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a,b, c, d)的个数是.训练题52014

5、 新课标全国卷I 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A B, C三个城市 时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过 C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 .训练题62014 陕西卷观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(日三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F, V, E所满足的等式是 训练题7向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正 n n_3,nN边形内的概率为 pn ,下列论断正确的是A.随着n的增大，pn增大B .随着n的增大，Pn减小C.随着n的增大，pn先增大后减小 训练题8n个连续自然数按规律排成下

6、表,D 随着n的增大，pn先减小后增大根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（11110A.JtB.tJC .D .7训练题91&记屏=1* +2* +3* +« 严 时,晰下列等式:据此推测=-题型仃0 类比推理例题13.7观察下列等式:c5 +C； =23 -2，C； +C； +C； =27 +23，15913)115C13C13C13C13 _ 2 2 ，C；7G；C17-C13-Cv二21527,由以上等式推测到一个一般的结论:对于 nN , C爲+C爲+C爲+| + C：例题13.8 (2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)36的所有正约数之和可按如下方

7、法得到：因为 36=22 32,所以 36 的所有正约数之和为(1323 )( 223223) f22 2 ( 32=3)(12：参照上述方法例题13.9将函数,可求得 2000的所有正约数之和为 1 2 2 y 的图象绕原点顺时针旋转 45后可得到双曲线x- y= 2.据此类x4x的图象的焦距为X-1例题13.10在平面上有如下命题：“ O为直线AB外的一点，则点 P在直线AB上的充要条件是：存在实数 x, y满足OP =xOA yOB，且x y =1 ”，我们把它称为平面中三点共线定理，请尝试类比此命题，给出空间中四点共面定理，应描述为：例题13.11已知命题：在平面直角坐标系 xoy中，

8、厶ABC的顶点A(-p,0)和C(p,0)，顶点 sin A sin C1则(其中e为椭圆e2 2B在椭圆务 2 = 1(m n 0,p= .m2-n2)上，m n的离心率)试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题：ABC 的顶点 A(-p,0)和 C( p,0),2 2x y222 亍=1(m n 0, p 二.m n)上，则m n例题13.12设S V分别表示面积和体积， 如厶ABC面积用Saabc表示,三棱锥0- ABC的体积 用Vo ABC表示.对于命题：如果 O是线段AB上一点，贝y |OB| OM |OA| OB= 0将它类比到 平面的情形是：若 O是厶ABC内一点，有 Saobc

9、 - OM Sa oca- OB+ Saoba- OC= 0.将它类比到空sin B在平面直角坐标系顶点 Bxoy 中，在双曲线间的情形应该是：若 O是三棱锥A- BCD内一点，则有例题13.13在计算“ 1 22 3 -n(n 1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写1第 k 项：k(k 1) k(k 1)(k2) -(k -1)k(k1),由此得311 2(12 3-0 12),312 3(2 3 4 -1 2 3),31"严饰mW “1 相加，得 1 2 2 3 n(n 1) n(n 1)(n2).类比上述方法，请你计算“1 2 3 2 3 .nn(n 1)(n 2) ”，其

10、结果为.例题13.14设厶ABC的三边长分别为 a、b、&, ABC的面积为S,内切圆半径为r，贝U r =2S;类比这个结论可知：四面体S- ABC的四个面的面积分别为 S 1、S2、3、S4,内切a+ b + c球的半径为r,四面体S- ABC的体积为 V,则r = .训练题 1 若ao,ai,a2,l|an成等差数列，则有等式C0a0 +C；a2 +川+ (1)nCnnan =0成立，类比上述性质，相应地：若bob,鸟,| bn成等比数列，则有等式 _ 成立。训练题2已知(2x 1)n=a0-a1xa2x2. -anxn中令x = 0,就可以求出常数，即1 =a0.请你研究其中蕴

11、含的解题方法研究下列问题123 n若e ='aiX，即ex=a°-ax-x2- x3- a4X4 (|lanxn II)，贝U=_i =oa1 a2 a3an训练题3先阅读下面的材料：“求 J V的值时，采用了如下方法：令1 . 1 1 I" = x，则有x - Vx，两边同时平方，得 x2 = 1 x ,解得x =15 (负值舍去)”根据以上材料所蕴含的数学思想方法，可以求得2函数F(x) = &+3 + 如? -x的零点为训练题4已知数列 订，是正项等差数列，若Cn = a1 2a2 3a3旦，则数列 C '也为等1 2 3 丨1( n差数列.类

12、比上述结论，已知数列 bn是正项等比数列，若 dn =，则数列 dn也为等比数列.训练题5我们知道无限循环小数 0.3 = 1,现探究0.7 = 7。设0.7)= x ,由0.7 =0.777.可39知10x-x =7.777.-0.777.，即10x-x=7，从而x=7。则类比上述探究过程，用9分数形式表示0.735 -训练题6数学家科拉茨在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数 n,若它是偶数，则将它减半(即 n)，若它是奇数，则将它乘 3加1 (即3n 1),不断重复这样的运2经过变换(注：1可以多次出现)后的第 8项为1 ，则n的所有可能的值为算，经过有限步后，一定可以得到个数

13、列：6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 11。如初始正整数为 6，按照上述规则，我们得到一。根据此猜想，如果对于正整数 n (首项)，第二节证明题型171综合法与分析法证明例题13.14设函数 f (x) = ax2 bx c且f (1),3a 2c 2b。求证：2(1) a 0，且 -3 ： -3a 4(2) 函数f(x)在0,2中至少有一个零点57 设x1, x2是f (x)的两个零点，贝V 72兰X1 -X2| £ 4例题13.15在三角形ABC中，代B,C成等差数列，其对边分 别为a,b,c,113求证：-a +b b +c a +b + c题型仃2反证法证明

14、例题13.16若a,b,c均为实数，且 a=x2-2y ,b = y2-2z,c = z2-2x，236求证：a,b, c中至少有一个大于0其它训练题训练题1如图1，在 OAB中 M是AB边上的点，贝U OM=時3人+ ABOb，类比到空间向量，如图2，在四面体 OAB(中, M> ABC内一点，那么下列结论正确的是A.B.OM=BC"Oa+AB"Oc->MB MC ->MO MA ->MAF MB ->OM= MAF MBH MC°A+ MA MBb MC°B+ MA MBb MC°C ABC勺周长 AB啲周长

15、ABC勺周长C.Om=di-oadi+ d2+ d3 °+d2di + d2 + d3"OB +d3di + d2 + d3"°C（其中di、d2、d3分别表示 M到BC CA AB的距离）Sa mbcSa mcaSa mabD. OM= OA+ OB+ °CABCABCABC训练题2 若 f (n)为 n2 1(n N）的各位数字之和，如 142 *1=197,1 9 7=17，则f(14) =17，记 fi(n) = f (n), f2(n)二 f (fi(n),|), fk i(n)二 f(fk(n), k N*,则 f20i2(8) =

16、训练题3在含有3件次品的10件产品中，取出n(n <10, n N )件产品,记n表示取出的次品数，算得如下一组期望值当n=1时，e0 过 CM 十 C3CL E1 0 C； 1 C； 10C3C当n=2时,0 2 1 1 2 0LiC3 C7C3C7C3 C76E 2 =0 乎1¥ 2 学 ;c!0C20c;010C3C当n=3时,03122130Et =0XC3C7 +1XC3C7 +2XC3C7 +3XC3C7 =卫G0C30C30C3010观察以上结果，可以推测：若在含有M件次品的N件产品中，取出n（ n 一 N, n N）件产品，记 陰表示取出的次品数，则 E&

17、;=训练题4已知avb,则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤有_.（填上所有错误步骤的序号）/ av ba+av b+a,即卩 2av b+a， 2a - 2bvb+a - 2b,即 2 (a- b)v a- b, 2 (a - b) ? ( a - b)v( a - b) ? ( a - b) ，即卩 2 (a - b) v( a - b)，'/( a- b) 2>0,.可证得 2 v 1.训练题5对一块边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3x3方格，接着用中5心和四个角 的5个小正方形，构成如图所示的几何图形，其面积 $;第二步，将图9 的5个小正方形中的每个

18、小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图；依此类推，到第5 n,步，所得图形的面积Sn =(6)【若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，贝U9(I)当n = 1时，所得几何体的体积 V =. (II) 到第n步时，所得几何体的体积 V.=.a的正方形，2a类比到4训练题6现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是V，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为Z123234训练题7在n行m列矩阵345ln12 记位于第i行第j列的数为aji，j =1,2 ,

19、n)n -2n-1nn -1n1n12 中，n -3n-2n T。当 n =9 时，an - a22 a33ag。训练题8设V是全体平面向量构成的集合，若映射f ：V " R满足：对任意向量a= (X1，yj V, b= (X2，y2 ) V，以及任意 R,均有f ( a(1)b)二 f (a)(1 -'；) f (b),则称映射f具有性质P。现给出如下映射： f1:V > R, f2(m) =x, -y,m =(x,y) V; f2: VR, f2(m)二 xy,m = (x, y) V; f3 :V > R, f3(m)二 x y 1, m = (x, y)

20、V.其中，具有性质P的映射的序号为 。(写出所有具有性质P的映射的序号)5672011训练题9观察下列各式：5 =3125, 5 =15625, 5 =78125,，则5的末四位数字为A. 3125B. 5625C. 0625D. 8125训练题10设S是整数集Z的非空子集，如果 _a， S，有ab，S，则称s关于数的乘法是 封闭的.若V是Z的两个不相交的非空子集，T _ U =乙且一 a,b,B T,有abc，T;x,yz V,有xyz，V，则下列结论恒成立的是A. T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B. T,V中至多有一个关于乘法是封闭的C. T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D. T，

21、V中每一个关于乘法都是封闭的训练题ii在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x, y)为整点，下列命题中正确的是(写出所有正确命题的编号) 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果k与b都是无理数，则直线 y =也b不经过任何整点 直线l经过无穷多个整点，当且仅当I经过两个不同的整点 直线y=kx b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 存在恰经过一个整点的直线xf (x) =(x:>0)训练题12设函数x 2,观察：fi(x)f(Ff2(x)f (fi(x)x3x 4f3(X)f (f2(x)x7x 8f4(X)= f (f3(x)x15x 16根

22、据以上事实，由归纳推理可得：当 n e N + 且 n 兰 2 时，fn (x) = f (fn(x)=训练题13观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第n个等式为。训练题 14观察下列各式：a 1,a2b2=3,a3b4,a4b7,a5b5=11,川则10 , 10a b 二A. 28B . 76 C . 123 D . 199训练题15正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上，点F在边BC上，AE= BF=-.动点P3从E出发沿直线喜爱那个 F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与

23、正方形的边碰撞的次数为(A) 16 (B) 14 ( C 12(D)10训练题16我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径 “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求3 16其直径d的一个近似公式d-9v.人们还用过一些类似的近似公式根据 n=3.14159 (|判断，下列近似公式中最精确的一个是3300B d : . 2V C d ：、V D11. d :3 21 d珂希训练题17观察下列不等式13+ 22<211 5-2'-323311 1-2Y157照此规律，第五个不等式为 .训练题18设N=2n ( n N, n2)

24、,将N个数X1,x 2,，xn依次放入编号为1,2，N的N个位置，得到排列P0=X1X2XN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序NN依次放入对应的前和后一个位置，得到排列P1=X1X3XN-1X2X4Xn,将此操作称为 C变换，22将P1分成两段，每段 N个数，并对每段作 C变换，得到p2 ；当2< i < n-2时，将P分成2N2段，每段个数，并对每段 C变换，得到P+1，例如，当N = 8时，P2=X1X5X3X7X2X6X4X8,此2时X7位于P2中的第4个位置(1 )当N=16时，X7位于P2中的第个位置；(2)当N=2 (n8)时，X173位于P4中的第

25、个位置训练题19回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数. 如22, 121,3443, 94249等.显 然2位回文数有9个：11, 22, 33,，99 . 3位回文数有90个：101, 111, 121,，191, 202,，999.贝U(I) 4位回文数有个;(H) 2n 1(n N )位回文数有个.训练题20某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数(1)sin213°2. o+cos 17-si n13° cos17 °(2)sin215°2. _o+cos 15-si n15° cos15 °(

26、3)sin218°2.o+cos 12-si n18° cos12 °(4) sin2 (-18 ° ) +cos248° - sin 2 (-18 ° ) cos248°(5) sin2 (-25 ° ) +cos255° - sin 2 (-25 ° ) cos255°I试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数H根据(I)的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论训练题21 若 Sn = sinsin.sin 7( n N ”)，则在 S|, S2,.,弘中，正数的个数是A 16、86、100训练题整数解 的不同整数解(22观察下列事实|x|+|y|=1 (x,y)的个数为 8，