函数、极限与连续复习与典型复习题

1、函数、极限与连续复习与典型复习题 （一）内容1函数：常量与变量，函数概念，基本初等函数，复合函数，初等函数，分段函数。2.极限：极限的定义，极限的四则运算。3.连续函数：连续函数的定义和四则运算，间断点。（二）要求1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念。熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法。2.了解极限概念，会求简单极限。3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点。（三）典型习题1填空题（1）函数的定义域是解：，函数的定义域是（2）函数的定义域是解：， 函数的定义域是（3）函数，则 解： （4）函数，则

2、解：2（5）函数，则 解： （6）函数的间断点是 解：函数的间断点是（7）解：（8）若，则解：，2单项选择题（1）设函数，则该函数是（）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数解： 因为所以函数是偶函数应选B（2）函数的定义域为（）A B C且 D且解：，所以且 应选D（3）设，则（ ）A B C D 解：应选C（4）下列各函数对中，（）中的两个函数相等 A， B， C， D，解：应选D（5）当时，下列变量中为无穷小量的是（ ）.A B C D解：应选C（6）当（ ）时，函数，在处连续.A0 B1 C D 解： 应选B（7）当（ ）时，函数在处连续.A0 B1 C D 解： 应选D（8

3、）函数的间断点是（ ）A B C D无间断点解：应选A3解答题 （1） 解：（2） 解： （3）解： （4）计算极限 解： （5）计算极限 解：导数与微分复习与典型复习题解答（一）内容1.导数：导数定义，导数的几何意义。2.导数公式与求导法则：导数的基本公式，四则运算求导法则，复合函数求导法则，隐函数求导方法， 3.微分的定义与计算4.高阶导数的概念及求法 5. 函数单调性判别，函数极值； 6. 导数在实际问题中的应用。(二)要求1.了解导数概念，会求曲线的切线。2熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则)，会求简单的隐函数的导数。3.了解微分的概念，掌握求微分

4、的方法。4.了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。5.掌握函数单调性的判别方法。6.了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法。7.掌握求函数最大值和最小值的方法。（三）典型例题1填空题（1）曲线在点的斜率是 解：，斜率（2）曲线在点的切线方程是 解：，斜率 切线方程为（3）若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(0) = 解：(0) =（4）已知，则=解： （5）已知，则=解：，=（6）若，则 解：， （7）函数的单调增加区间是 解：， 函数的单调增加区间是（8）函数在区间内单调增加，则a应满足 解：， 所以2单项选择题（1）函数在区间是（ ）A单调增加 B单

5、调减少C先增后减 D先减后增答：应选D（2）满足方程的点一定是函数的（ ）.A极值点B最值点 C驻点D 间断点答：应选C（3）若，则=（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. 2解：， 应选C（4）设，则（ ） A B C D答：， 应选B（5）设是可微函数，则（ ） A B C D 解：应选D（6）若，其中是常数，则（ ） A B C D答：应选C（7）下列结论中（ ）不正确 A在处连续，则一定在处可微. B在处不连续，则一定在处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D函数的极值点一定发生在不可导点上。答：应选A、D （8）若函数f (x)在点x0处可导，则( )是错误的 A函

6、数f (x)在点x0处有定义 B，但 C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微 答：应选B（9）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ） Asinx Be x Cx 2 D3 x答：应选B3解答题（1）设，求 解：（2）设，求.解：（3）设，求.解：（4）设，求. 解：（5）设是由方程确定的隐函数，求.解：方程两边同时微分，得：解法二：方程两边同时对求导，得： （6）设，求解：方程两边同时对求导，得：4应用题（1）设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形的一边长为厘米，则另一边长为厘米，以厘米的

7、边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积为：，即：，令，得：（不合题意，舍去），这时由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为厘米、另一边长为厘米时，才能使圆柱体的体积最大。（2）欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解：设矩形的长为米，则矩形的宽为米，从而所用建筑材料为：，即： ，令得：（取正值），这时由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为米，宽为米时，才能使所用建筑材料最省5.证明题:证明函数在区间（上单调上升。证明：因为，当时， 所以函数在区间（上单调上升不定积分与定积分复习与典型复习

8、题解答(一)内容1.原函数与不定积分：原函数的概念；不定积分的定义、性质，积分基本公式；求不定积分的直接积分法、第一换元积分法和分部积分法。2.定积分：定积分的定义(用牛顿¾莱布尼兹公式作定义)、性质和计算。3.广义积分（简单的无穷限积分） (二)要求1.理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法。2.了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分。（三）典型例题1填空题（1）若的一个原函数为，则 。解：因为 所以（2）若，则 解：（3）若，则解：，（4）解：（5） 解：（6）若，则解：（7）若，则解：（8） 解：

9、（9） .解：0（10）= 解：2单项选择题（1）下列等式成立的是（）A BC D解：应选A（2）若，则（ ）. A. B. C. D. 解：因为，两边同时对求导得： 应选A（3）以下计算正确的是（ ）A B C D 解：应选A（4）（ ）A. B. C. D. 解： 应选A（5）=（ ） A B C D 答：应选C（6）如果等式，则（ ）A. B. C. D. 解：由两边对求导，得：，应选B（7）若= 2，则k =（ ） A1 B-1 C0 D 解：因为 所以 应选A（8）下列定积分中积分值为0的是（ ） A B C D 解：令则所以函数是奇函数因此=0 应选A（9）设是连续的奇函数，则定积

10、分（ ）AB CD 0答：应选D（10）下列无穷积分收敛的是（）A BC D答：应选B3计算题（1）解： （2） 解： （3）解： (4)解：(5) 解： (6)解：(7) 解： 4.证明题(1)证明等式证明： 考虑积分，令，则，从而 所以 (2)设在上连续，证明：证明：积分应用复习与典型复习题(一)内容1.定积分在几何上的应用：求平面曲线围成的图形面积。2.微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶以及分类。3.两类一阶微分方程的解法：可分离变量的微分方程与一阶线性微分方程求解举例。(二)要求1. 会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积（直角坐标系）和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积。2.了解微

11、分方程的几个概念，掌握变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法。（三）典型例题1填空题(1)已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是 。解：由得所求的曲线方程由确定 因为曲线过，所以，解得： 因此所求的曲线方程为(2)由定积分的几何意义知，= 。解：由定积分的几何意义知，就等于圆在第象限的面积，即 圆面积的，因此(3)微分方程的特解为 . 解：由得，两边同时积分，得 因为，所以，所以 从而，因此微分方程的特解为(4)微分方程的通解为 .解：， ，即 所以微分方程的通解为(5)微分方程的阶数为 答：微分方程的阶数为4阶2.单项选择题(1)在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 C D 解：由知切线斜率为2x的积分曲线族为因为曲线通过点（1, 4）所以，故所求的曲线为 应选A(2)下列微分方程中，（ ）是线性微分方程 A B C D答：应选D(3)微分方程的通解为（ ） A B C D解：应选C(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（）A. ； B. ； C.