合数质数分解质因数

1、在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数例如2，3，5，7，11，都是质数一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数例如4，6，8，9，12，都是合数 1既不是质数，也不是合数这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数例如，60=2×2&#

2、215;3×5=22×3×5，把60这个合数用2×2×3×5或22×3×5的形式来表示，就是把60分解质因数例1 两个质数的积是46，求这两个质数的和分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46÷2=23，所以2与23的和为25例2 用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三

3、位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比

4、较大时，通常采用查质数表，最好记住100以内的所有质数在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数例如，判断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整

5、除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除， 97÷11=89， 97÷13=76，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；判断400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；判断500以内的质数，只需2到23的质数去试除其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何判断？例3 将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的

6、乘积相等分析：如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的答案解：将八个数分解成质因数：40=23×5 44=22×1145=32×5 63=32×765=5×13 78=2×3×1399=32×11 105=3×5×7这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2

7、，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105例4 360有多少个约数？分析：如果先求360的所有约数，再数出它们的个数，显然比较麻烦为此，先将360分解质因数：360=23×32×5，360的任意一个约数均由若干个2或3或5组成，我们将360的所有约数列成下面的数阵：1 2 22 233 2×3 22×3 23×332 2×32 22×3223×325 2×5 22×5 23×53×5 2×3

8、×5 22×3×5 23×3×532×5 2×32×5 22×32×5 23×32×5这个数阵共6行，每行4个约数，所以360共有4×6=24个，而24=（3+1）×（2+1）×（1+1），这里3，2，1恰好是360分解质数式子中2，3，5的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论：一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积用数字式子表示为：如果A分解质因数为：则A的全体约数的个数为：（r1+1）×

9、;（r2+1）××（rn+1）例5 有30个约数的最小自然数是多少？分析：设所求的数为A，则A有30个约数，因为30= 30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，要使A最小，一般使A的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少， 所以A必为下列形式：其中a1，a2，a3为互不相同的质数要使A最小，a1，a2，a3尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样A=24×32×5=720解：因为30=30×1=2×15=6×5=10×3=2

10、5;3×5，而且题中要求a2、a3为互不相等的质数，为了使A最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以A=24×32×5=720例6 九个连续自然数中至多有四个质数，例如1至9中有2、3、5、7四个质数请在200以内再找出五组这样的质数分析：9个连续自然数中至多有5个奇数在两位数中，个位是5的数必能被5整除，而且三个连续的奇数必有一个能被3整除，所以只有当个位数字为5的两位数又能被3整除时，其余的四个奇数才有可能是质数当找到一组这样的两位以上的质数时，另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数按照上述办法找出后，再根据质数的判断方法去筛选就可得出结果首先容易得出3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数：11，13，15，17，19；41，43，45，47，49；71，73，75，77，79；101，103，105，107，109；131，133，135，137，139；161，163，165，167，169；191，