高三第一轮复习理科数学等差数列与等比数列的综合问题

1、考纲要求1. 熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力命题规律1、 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点；2、 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值。同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解。考点解读等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常

2、数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符号定义； ;分类递增数列：递减数列：常数数列：递增数列：递减数列：摆动数列： 常数数列：通项 其中（）前n项和 其中中项成等差数列的充要条件：成等比数列的充要条件：主要性质等和性：等差数列若则推论：若则即：首尾颠倒相加，则和相等等积性：等比数列若则推论：若则即：首尾颠倒相乘，则积相等其主它性质1、等差数列中连续项的和，组成的新数列是等差数列。即：等差，公差为则有2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如

3、：（下标成等差数列）3、等差，则，也等差。4、等差数列的通项公式是的一次函数，即：() 等差数列的前项和公式是一个没有常数项的的二次函数，即：()5、项数为奇数的等差数列有：项数为偶数的等差数列有：，6、则则则1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：等比，公比为。（） 2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：（下标成等差数列）3、等比，则，也等比。其中4、等比数列的通项公式类似于的指数函数，即：，其中等比数列的前项和公式是一个平移加振幅的的指数函数，即：5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法：2、

4、中项法：证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法：2、中项法设元技巧三数等差：四数等差：三数等比：四数等比：联系1、若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。2、若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且，是的公比。考点突破考点1有关通项问题典例1数列的前项和为，且，2，3，求，的值及数列的通项公式。解题思路用与前项和的关系：解决问题。解题过程解：由，2，3，得，由（n2），得（n2），又a2=，所以an=(n2),数列的通项公式为易错点拨一定要分和进行讨论，并验证是否符合所求出的。变式1设为数列的前项和，其中是常数 （I） 求及； （II）若对于任意

5、的，成等比数列，求的值点拨先由时，求出；再由当时，求出，并验证是否符合所求出的.答案，变式2数列的前项和（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？ 点拨讨论的数学思想。答案考点2有关等差、等比数列性质问题典例1一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为。解题思路为等差数列解题过程=36.易错点拨有同学误认为“，也成等差数列”。变式1等比数列的各项为正数，且（ ）A12 B10 C8 D2+点拨性质“若则”。答案B变式1等差数列前n项和为，已知，则.点拨若则推论：若则答案考点3数列求和问题典例1在等差数列中，求的最大值解题思路等差数列前项

6、和最值问题，了解数列的本身规律。解题过程解法一：由，得：，解得由二次函数的性质，当时，有最大值169解法二：先求出，由，所以当时，有最大值169解法三：由，得，而，故0故当时，有最大值169易错点拨解决等差数列前项和最值问题的方法通常有：利用二次函数求最值；利用通项公式求使得；利用性质求出符号改变项变式1已知是各项不为零的等差数列，其中，公差，若,求数列前项和的最大值点拨，时，有最大值；，时，有最小值。答案，即数列前5项和为最大值变式2已知等比数列的各项都是正数，, 且在前项中, 最大的项为54, 求的值.点拨有条件得：, 由得答案综合突破突破1 数列与函数、不等式、解析几何结合的综合题典例1

7、若和分别表示数列和前n项的和，对任意正整数，.（1）求数列的通项公式；（2）设有抛物线列抛物线的对称轴平行于轴，顶点为，且通过点，求点且与抛物线相切的直线斜率为。（3） 设集合，。若等差数列的任一项，是中的最大数，且，求的通项公式。解题思路以考数列的知识为主要载体，熟练等差等比数列的基本性质外，还综合考查了集合、解析几何、导数等的知识。解题过程解：（1）a1=，anan1=数列是以为首项，1为公差的等差数列.An=由，得Bn=bn=BnBn1=（2）设抛物线Cn的方程为y=a（x+）2即，处切线斜率kn=2n+3.（3）对任意，故可得。是中最大的数，设等差数列的公差为，则得而是一个以12为公差

8、的等差数列.，易错点拨本题考查数列、集合和解析几何中的直线、抛物线等知识.对思维能力有较高要求，考查了分析问题和解决问题的能力。突破2数列与导数、平面向量、概率等新知识相结合典例1从原点出发的某质点M，按向量，按向量移动的概率为，设M可到达点（0，n）的概率为Pn.（1）求P1和P2的值；（2）求证：；（3）求Pn的表达式.解题思路先通过概率的理解得到数列的递推公式，在利用构造等比数列求通项公解题过程解：（1）（2）M到达（0，n+2）有两种情况（3）数列为公比的等比数列易错点拨此解答题将以等差、等比数列的基本问题为主题，结合向量、概率等知识一起考，考查了学生较强的综合能力。快乐训练1、已知等

9、差数列的公差为2,若成等比数列, 则= ( )A.4 B.6 C.8 D.10 2、三个数（ ）A.1或3 B.1或3C.3或1 D.3或13、等差数列项的和等于（ ）ABCD4、已知是等比数列，则=( )A16（） B16（） C（） D（）5、的值为6、在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_7、 等差数列中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_8、已知是公比为q的等比数列，且成等差数列.（）求q的值；（）设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.提

10、高训练1、知一等比数列的前三项依次为，那么是此数列的第（ ）项ABC D2、已知一个等差数列的前5项的和是120，最后5项的和是180，又所有项的和为360，则此数列的项数为（ ）A12项B13项C14项D15项3、若关于x的方程和的四个根可组成首项为的等差数列，则的值是( )A. B.C.D.4、数列是公差不为零的等差数列，它的第4，8，17项恰是另一等比数列的第6，8，10项，则的公比是5、在等比数列中, 若是方程的两根，则=_6、已知成等差数列,成等比数列，且,则的取值范围是_7、差不为零的等差数列的第二、三及第六项构成等比数列，则=_8、（2012天津理）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列,且=，.()求数列与的通项公式；()记，证明.超越训练1、若两个等差数列则（ ）ABCD2、数列an的前n项和Sn=3n-c, 则c=1是数列an为等比数列的 ( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、 若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是4、 （2012湖南理）已知数列an的各项均为正数，记A（n）=a1