第六章定积分及其应用

1、积分学的另一个基本概念是定积分本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分定积分是高数中的另一个重要概念，它的思想方法适用于非均匀变化同时又具有可加性的量求总和的所有实际问题，以历史上看定积分是为了计算平面上封闭曲线围成的图形的面积而产生，而平面上封闭曲线所围成的平面图形的面积计算，又依赖于曲边梯形的面积的计算。§ 6.1 定积分的概念一、两个实例1、曲边梯形的面积什么是曲边梯形设为闭区间

2、上的连续函数，且由曲线，直线及轴所围成的平面图形(图61)称为在上的曲边梯形，试求这曲边梯形的面积 图61我们先来分析计算会遇到的困难由于曲边梯形的高是随而变化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积但我们可以用平行于轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图61所示在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来，就得到原曲边梯形面积的近似值容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积，从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法下面我们分三步进行具体讨论：(1) 分割 在 中任意插入个分点把分成个子区

3、间，每个子区间的长度为(2) 近似求和 在每个子区间上任取一点，作和式(1.1)(3) 取极限 当上述分割越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小)时，和式(1.1)的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作A)因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有即例2 求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，其速度是时间的连续函数试求该物体从时刻到时刻一段时间内所经过的路程因为是变量，我们不能直接用时间乘速度来计算路程但我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题(1) 用分点把时间区间任意分成个子区间(图62)：，每个子区间的长度为()图62 (2) 在每个子区间()上任取一点，

4、作和式(3) 当分点的个数无限地增加，最长的子区间的长度趋于零时就有即以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都转化为具有特定结构的和式(1.1)的极限问题，在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究，由此产生了定积分的概念二、定积分的定义设函数在区间a、b内任意插入个分点：<<<将a、b分成几个区间其长度记为 （），在每一个区间上任取点，作和式，记，如

5、果当，和式的极限存，且极限值不依赖于的选取和对区间的分法，则此极限值叫做在a、b上的定积分，记为： 其中叫积分号，叫被积函数，叫做被积表达式，叫积分变量，a、b叫积分下限和上限a、b叫积分区间，存在积在a、b上可积。关于定积分的定义，再强调说明几点：(1) 区间 划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或的大小来确定因为尽管很大，但每一个子区间的长度却不一定都很小所以在求和式的极限时，必须要求最长的子区间的长度，这时必然有(2) 定义中的两个“任取”意味着这是一种具有特定结构的极限，它不同于第二章讲述的函数极限尽管和式(1.1)随着区间的不同划分及介点的不同选取而不断变化着，但当时却都以唯一确定的

6、值为极限只有这时，我们才说定积分存在(3) 从定义可以推出定积分(1.2)存在的必要条件是被积函数在上有界因为如果不然，当把任意划分成个子区间后，至少在其中某一个子区间上无界于是适当选取介点，能使的绝对值任意地大，也就是能使和式(1.1)的绝对值任意大，从而不可能趋于某个确定的值(4) 由定义可知，当在区间上的定积分存在时，它的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，所以定积分的值不会因积分变量的改变而改变，即有(5) 我们仅对的情形定义了积分，为了今后使用方便，对与的情况作如下补充规定：当时，规定；当时，规定三、定积分的几何意义根据定积分的定义，我们说：例1中在上的曲边梯形的面积就

7、是曲线的纵坐标从到的定积分它就是定积分的几何意义注意到若，则由及可知这时曲边梯形位于轴的下方，我们就认为它的面积是负的因此当在区间上的值有正有负时，定积分的值就是各个曲边梯形面积的代数和，如图63所示图63说明：和式极限与a、b的分法，的选取无关；0则，但，（不一定）； 与和a、b有关；定义中a<b，若a>b在区间a、b上连续或在a、b上有界，且最多只有有限个第一类间断点的函数是可积的。例1 利用定积分几何意义判断定积分的值是正还是负。例2.用定积分的几何意义求. 解:函数y=1-x在区间0, 1上的定积分是以y=1-x为曲边, 以区间0,1为底的曲边梯形的面积. 因为以y=1-x

8、为曲边, 以区间0,1为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以.课后小结课外作业§一、定积分的性质 1、两点规定: ， 。2积分的线性性质（1）性质1、若，在上可积，则在上也可积，且 (1.3)（2）性质2、若在上可积，为常数，则在上可积，且(1.4)证明:根据定义，有（1）.（2）3. 性质3-积分对区间的可加性 设是可积函数，则(1.5)对任何顺序都成立证 先考虑的情形由于在上可积，所以不论将区间如何划分，介点如何选取，和式的极限总是存在的因此，我们把始终作为一个分点，并将和式分成两部分：，其中分别为区间与上的和式令最长的小区间的长度，上式两边取极限，即得(1.

9、5)式对于其它顺序，例如，有，所以 (1.5)式仍成立4.性质4 如果在区间ab上f (x)º1 则.5.性质5积分的不等式性质 若在上可积，且，则推论1 若，在上可积，且，则 证 由假设知，且，所以上式右边的极限值为非负，从而有 6.性质6-积分估值 若在上可积，且存在常数和，使对一切有，则7.性质7-积分中值定理 若在上连续，则在上至少存在一点，使得 (1.7)证 因为在上连续，所以在上可积，且有最小值和最大值于是在上，或根据连续函数的介值定理可知，在上至少存在一点，使所以(1.7)式成立积分中值定理的几何意义如图64所示图64例4 估计定积分的值解：令比较，课后小结课外作业&#

10、167; 6.3 定积分学的基本公式（牛顿莱布尼兹公式）若已知在上的定积分存在，怎样计算这个积分值呢？如果利用定积分的定义，由于需要计算一个和式的极限，可以想象，即使是很简单的被积函数，那也是十分困难的本节将通过揭示微分和积分的关系，引出一个简捷的定积分的计算公式一 变上限的定积分前一次讲了定积分的定义与性质其中 我要指出的是定积分的存在性，只要在上连续，定积分一定存在。但与积分变量无关。即1积分上限函数bxaOYX图一 定义：设在上连续，任取一点，定积分有意义，若积分上限在上每取一个值，定积分总有一个值与相对应，即在上定义了一个函数，记则，此函数称为积分上限函数。(如图一 阴影部分)2积分上

11、限函数的导数定理1 (原函数存在定理)：若在上连续则可导 且 也就是说是在上的一个原函数证明：用导数定义证明（） 给出由定积分的区间可加性，得：由积分中值定理，得： 或（） 求比值（） 求极限 （由于在连续）即 可见积分上限函数是被积函数的原函数。推论： 本定理回答了我们自第五章以来一直关心的原函数的存在问题它明确地告诉我们：连续函数必有原函数，并以变上限积分的形式具体地给出了连续函数的一个原函数回顾微分与不定积分先后作用的结果可能相差一个常数这里若把写成，或从 推得，就明显看出微分和变上限积分确为一对互逆的运算从而使得微分和积分这两个看似互不相干的概念彼此互逆地联系起来，组成一个有机的整体因

12、此定理1也被称为微积分学基本定理例1：求上限函数的导数1、求对x的导数 解：t=x=sin(x2)2、设 二牛顿莱布尼兹公式定理2、若 （）设在上连续（） 则 此公式称为微积分基本公式或称牛顿莱布尼兹公式证明： 由条件（）可设且 由条件（）可得（拉氏定理推论） 当时， 于是 或 当时 即 记： 此公式就是著名的牛顿莱布尼兹公式，简称NL公式它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系：在上的定积分等于它的任一原函数在上的增量，即先求被积函数的原函数,然后用原函数的上限值减去原函数的下限值.从此公式可知求定积分时，可以不用分割、求和、取极限的方法。它为我们计算定积分开辟了一条新的途径它把定积分的计算转

13、化为求它的被积函数的任意一个原函数，或者说转化为求的不定积分在这之前，我们只会从定积分的定义去求定积分的值，那是十分困难的，甚至是不可能的因此NL公式也被称为微积分学基本公式例3 计算下列定积分(1)；.(2)；(3)；（1） 解: 由于是的一个原函数, 所以。（2） 解 由于arctanx是的一个原函数, 所以.（3） 解:=ln 1-ln 2=-ln 2.例4. 计算正弦曲线y=sin x在0, p上与x轴所围成的平面图形的面积. 解: 这图形是曲边梯形的一个特例. 它的面积A=例5计算课后小结课外作业§ 6.3 定积分的换元积分法与部分积分法有了牛顿莱布尼兹公式，使人感到有关定

14、积分的计算问题已经完全解决但是能计算与计算是否简便相比，后者则提出更高的要求在定积分的计算中，除了应用NL公式，我们还可以利用它的一些特有性质，如定积分的值与积分变量无关，积分对区间的可加性等，所以与不定积分相比，使用定积分的换元积分法与分布积分法会更加方便1. 定积分的换元积分法定理1 设函数在上连续，函数在(或)上有连续的导数，并且，则(3.1)证 由于与皆为连续函数，所以它们存在原函数，设是在上的一个原函数，由复合函数导数的链式法则有，可见是的一个原函数利用NL公式，即得所以(3.1)式成立 公式(3.1)称为定积分的换元公式若从左到右使用公式(代入换元)，换元时应注意同时换积分限还要求

15、换元应在单调区间上进行当找到新变量的原函数后不必代回原变量而直接用NL公式，这正是定积分换元法的简便之处若从右到左使用公式(凑微分换元)，则如同不定积分第一换元法，可以不必换元，当然也就不必换积分限例1 计算(a>0).解。提示:,dx=a cos t. 当x=0时t=0, 当x=a时.例2。计算下列定积分(1) ；(2) ；(3) ；解 (1) 令，则，且当从0变到时，从1减到于是原式(2) 令，则，且当从0变到时，从0增到于是原式(3) 原式例3设在上连续，当为偶函数时， 特别当为奇函数时，；证： 因为，在中，令，得所以当为奇函数时，故，从而有当为偶函数时，故，从而有例2的结果今后经

16、常作为公式使用例如我们可以直接写出，2. 定积分的分部积分法定理2 若，在上有连续的导数，则 (3.2)证 因为， 所以是在上的一个原函数，应用NL公式，得，利用积分的线性性质并移项即得(3.2)式公式(3.2)称为定积分的分部积分公式，且简单地写作(3.3)例4 计算下列定积分：(1) ； (2) ； (3)解 (1) 原式(2)所以 (3) 令，则课后小结课外作业§ 定积分的几何应用定积分是具有特定结构的和式的极限如果从实际问题中产生的量(几何量或物理量)在某区间上确定，当把分成若干个子区间后，在上的量Q等于各个子区间上所对应的部分量之和(称量Q对区间具有可加性)，我们就可以采用

17、“分割、近似求和、取极限”的方法，通过定积分将量Q求出现在我们来简化这个过程：在区间上任取一点，当有增量(等于它的微分)时，相应地量就有增量，它是Q分布在子区间上的部分量若的近似表达式为，则以为被积表达式求从到的定积分即得所求量这里的称为量Q的微元，或元素，这种方法称为微元法它虽然不够严密，但具有直观、简单、方便等特点，且结论正确因此在实际问题的讨论中常常被采用本节我们将讲述微元法在几何与物理两方面的应用一、平面图形的面积1) 直角坐标的面积公式根据定积分的几何意义，若是区间上的非负连续函数，则在上的曲边梯形(图61)的面积为 (5.1)若在上不都是非负的(图63)，则所围面积为 (5.2)一

18、般地，若函数和在上连续且总有，则由两条连续曲线，与两条直线，所围的平面图形(图66)的面积元素为所以 (5.3)图66如果连续曲线的方程为，则由它与直线，()及轴所围成的平面图形(图67)的面积元素为所以 (5.4) 图67其它情形也容易写出与公式(5.2)、(5.3)相仿的公式例1 求由两条抛物线，所围图形(图68)的面积解 联立解得 及所围的面积为 图68例2 求由抛物线与直线所围图形(图69)的面积解 联立解得曲线与直线的交点和以为积分变量，则所求面积为图69若以为积分变量，则从例2看出，适当选取积分变量，会给计算带来方便例3 求椭圆的面积 (图610)解 由于椭圆关于轴与轴都是对称的，

19、故它的面积是位于第一象限内的面积的4倍在例3中，若写出椭圆的参数方程，应用换元公式得 图610一般地，若曲线由参数方程 给出，其中及在上连续，记，则由此曲线与两直线及轴所围图形的面积为 (5.5)例4 求由摆线的一拱与横轴所围图形(图611)的面积解 (令)图6112) 极坐标的面积公式设围成平面图形的一条曲边由极坐标方程给出，其中在上连续，由曲线与两条射线所围成的图形称为曲边扇形(图612)试求这曲边扇形的面积图612应用微元法取极角为积分变量，其变化区间为相应于任一子区间的小曲边扇形面积近似于半径为，中心角为的圆扇形面积从而得曲边扇形的面积元素所求面积为(5.6)例5 求心形线所围图形(图

20、613)的面积解 利用对称性，所求面积为 (令)二、旋转体的体积旋转体是一类特殊的已知平行截面面积的立体，容易导出它的计算公式例如由连续曲线，绕轴旋转一周所得的旋转体(图617)由于过,且垂直于轴的截面是半径等于的圆，截面面积为所以这旋转体的体积为 (5.8)图617例9 求由椭圆绕轴旋转而产生的旋转体的体积解 这个旋转椭球体可看作由半个椭圆绕轴旋转一周而成所以它的体积特别当时得半径为的球体体积 3. 平面曲线的弧长设有一曲线弧段，它的方程是， 如果在上有连续的导数，则称弧段是光滑的，试求这段光滑曲线的长度应用定积分，即采用“分割、近似求和、取极限”的方法，可以证明：光滑曲线弧段是可求长的从而

21、保证我们能用简化的方法，即微元法，来导出计算弧长的公式如图619所示，取为积分变量，其变化区间为相应于上任一子区间的一段弧的长度，可以用曲线在点处切线上相应的一直线段的长度来近似代替，这直线段的长度为，于是得弧长元素(也称弧微分)，因此所求的弧长为(5.10)图619若弧段由参数方程给出，其中在上有连续的导数，且则弧长元素，即微弧分为，所以 (5.11)课后小结课外作业§ 6.6 定积分的物理应用4. 变力沿直线所作的功从物理学知道，若物体在作直线运动的过程中一直受与运动方向一致的常力的作用，则当物体有位移时，力所作的功为现在我们来考虑变力沿直线作功问题设某物体在力的作用下沿轴从移动

22、至(图622)，并设力平行于轴且是的连续函数相应于的任一子区间，我们可以把看作是物体经过这一子区间时所受的力因此功元素为所以当物体沿轴从移动至时，作用在其上的力所作的功为 (5.13)图622例13 用铁锤将铁钉击入木板设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1，如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？解 设铁钉击入木板的深度为，所受阻力(为比例常数)铁锤第一次将铁钉击入木板1，所作的功为由于第二次锤击铁钉所作的功与第一次相等，故有其中为两锤共将铁钉击入木板的深度上式即解得，所以第二锤将铁钉击入木板的深度为例14 有一圆柱形大蓄水池，

23、直径为20米，高为30米，池中盛水半满(即水深15米)求将水从池口全部抽出所作的功解 建立坐标系如图623所示水深区间为15,30相应于15,30的任一子区间的水层，其高度为，所以功元素为从而所作的功为(千焦) 图623定积分在物理中的应用十分广泛，如在计算物体的质量、静力矩与重心、液体压力、两质点的引力等问题，都可以应用微元法予以分析处理，各种实例是不胜枚举的重要的是通过学习，使我们能熟练地运用这种方法，以不变应万变课后小结课外作业§ 6.7 广义积分我们在前面讨论定积分时，总假定积分区间是有限的，被积函数是有界的但在理论上或实际问题中往往需要讨论积分区间无限或被积函数为无界函数的情形因此我们有必要把积分概念就这两种情形加以推广，这种推广后的积分称为广义积分1. 无穷限的广义积分定义1 设函数在上有定义，且对任何实数，在上可积，则称形式 (4.1)为函数在上的广义积分若极限 (4.2)存在，则称广义积分(4.1)收敛，并以