椭圆典型题型归纳学生版

1、题型一. 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆相内切，且过点，求这个动圆圆心的轨迹方程；例2.方程所表示的曲线是练习：对应的图形是（ ）A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆对应的图形是（ ）A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆成立的充要条件是（ ）A. B.C. D. 表示椭圆，则的取值范围是的一个焦点的直线与椭圆相交于两点，则两点与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于；6.设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任意一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为；题型二. 椭圆的方程（一）由方程研究曲线例1.方程的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例2

2、.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点、，求椭圆的方程；例且与椭圆有共同焦点的椭圆方程；注：一般地，与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为；（四）定义法求轨迹方程；例中，所对的三边分别为，且，求满足且sinB，sinA，sinC成等差数列时顶点的轨迹；练习：1.三角形ABC中，B（-2,0），C（2，0），AB、AC边上的中线长之和为30，求三角形ABC的重心的轨迹方程。2.已知动圆C和定圆O：（x-3）2 +y2 = 64相内切，且A（3，0）在动圆C上，求动圆圆心的轨迹方程。（五）相关

3、点代入法求轨迹方程；例6.已知轴上一定点A(2，-3)，为椭圆上任一点，求的中点的轨迹方程； （六）直接法求轨迹方程；例垂直于轴，且与椭圆交于两点，点是直线上满足的点，求点的轨迹方程； （七）列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程； 题型三.焦点三角形问题例1.已知椭圆上一点的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为、，求、及；题型四.椭圆的几何性质例1.已知是椭圆上的点，的纵坐标为，、分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差为例2.椭圆的四个顶点为，若四边形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；例椭圆的离心率为，则；例为椭圆

4、上一点，、为其两个焦点，且，则椭圆的离心率为题型五.求范围例1.方程表示准线平行于轴的椭圆，求实数的取值范围；题型六.椭圆的第二定义的应用例1.方程所表示的曲线是例2.求经过点，以轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程；例3.椭圆上有一点，它到左准线的距离等于，那么到右焦点的距离为例4已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点，使它到左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。例5已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点求的最小值及对应的点的坐标题型七.求离心率例1. 椭圆的左焦点为，是两个顶点，如果到直线的距离为，则椭

5、圆的离心率例为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，则椭圆的离心率为例3.、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为；题型八.椭圆参数方程的应用例1. 椭圆上的点到直线的距离最大时，点的坐标例2.方程()表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；题型九.直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例1.当为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？例2.曲线（）与连结，的线段没有公共点，求的取值范围。例3.过点作直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。例和椭圆有公共点时，的取值范围。（二）弦长问题例1.已知椭圆，是轴正方向上的一定点，若过点，斜率为1的直线被椭

6、圆截得的弦长为，求点的坐标。；例2.椭圆与直线相交于两点，是的中点，若，为坐标原点，的斜率为，求的值。例3.椭圆的焦点分别是和，过中心作直线与椭圆交于两点，若的面积是20，求直线方程。（三）弦所在直线方程例，过点能否作直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是；例相交于两点，弦的中点坐标为，求直线的方程；例3.椭圆中心在原点，焦点在轴上，其离心率,过点的直线与椭圆相交于两点，且C分有向线段的比为2.（1）用直线的斜率表示的面积；（2）当的面积最大时，求椭圆E的方程解：（1）设椭圆的方程为，由，a2=3b2故椭圆方程；设，由于点分有向线段的比为2，即由消去y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k2

7、3b2=0由直线l与椭圆E相交于两点而 由得:，代入得：.（2）因,当且仅当取得最大值此时，又，；将及代入得3b2=5，椭圆方程例4.已知是椭圆上的三点，为椭圆的左焦点，且成等差数列，则的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。（四）关于直线对称问题例，试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称；例2.已知中心在原点，焦点在轴上，长轴长等于6，离心率，试问是否存在直线，使与椭圆交于不同两点，且线段恰被直线平分？若存在，求出直线倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。F2F1M1M2例1若，为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。分析：欲求的最大值和最小值o可转化为距离差

8、再求。由此想到椭圆第一定义, 为椭圆的左焦点。解：，连接，延长交椭圆于点M1,延长交椭圆于点由三角形三边关系知当且仅当与重合时取右等号、与重合时取左等号。因为，所以, ；结论1：设椭圆的左右焦点分别为,为椭圆内一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为,最小值为；例2,为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。分析：点在椭圆外，交椭圆于，此点使值最小，求最大值方法同例1。解：，连接并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时取最大值；最大值是10+，最小值是。结论2设椭圆的左右焦点分别为，为椭圆外一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为，最小值为;例3求定点到椭圆上的点之间的最短距离。分析：在椭圆上

9、任取一点，由两点间距离公式表示，转化为的函数求最小值。解：设为椭圆上任意一点，由椭圆方程知的取值范围是（1）若，则时，（2）若,则时（3）若,则结论3：椭圆上的点到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示MA或MB，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。例4求椭圆上的点到直线的距离的最值；解：三角换元令则当时；当时,结论4：若椭圆上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。例4的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线将代入

10、椭圆方程整理得，由=0解得, 时直线与椭圆切于点，则到直线的距离为最小值，且最小值就是两平行直线与的距离，所以；时直线与椭圆切于点Q，则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两平行直线m与l的距离，所以。结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。例5.已知定点，点为椭圆的右焦点，点在该椭圆上移动时，求的最小值，并求此时点的坐标；（第二定义的应用）例3已知、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，试分别求：（1）的最小值；（2）的取值范围综上可知，的取值范围为;三角形法：椭圆（b2=5, a25）的左焦点为F，直线x=m于椭圆相交于点A,B,三角形FAB的周长的最大值为12， 则该椭圆的离心率为例1到两定点，的距离之和