理论力学11动量定理分解

1、2021/2/612021/2/62动量动量矩动能冲量力矩功动量定理动量矩定理动能定理2021/2/632021/2/642021/2/652021/2/662021/2/672021/2/68为什么射击时有后坐力?2021/2/69 111 质点系的质心质点系的质心 内力与外内力与外力力 112 动量与冲量动量与冲量 113 动量定理动量定理 114 质心运动定理质心运动定理第十一章第十一章 动量定理动量定理2021/2/610 一一. .质点系的质心质点系的质心 11-1 11-1 质点系的质心质点系的质心 内力与外力内力与外力iiCiiCrmrMMrmr 或则设,kzjyixrcccc

2、MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC , ,2021/2/611。或 0)( 0)( ; 0)()()(iixiiOiiFmFmF二、质点系的内力与外力二、质点系的内力与外力2021/2/61211-2 11-2 动量与冲量动量与冲量 一、动量一、动量 1.1.质点的动量质点的动量: :mv动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。例例: :枪弹枪弹: :速度大速度大, ,质量小质量小; ; 船船: :速度小速度小, ,质量大。质量大。 2021/2/6132.2.质点系的动量质点系的动量: :iiCPmvMv, P, PxCxCyCyCzC

3、zCPMvMxMvMyMvMz3.刚体系统的动量刚体系统的动量:iCiPmvxi CixiCiyi CiyiCizi CiziCiPmvmxPmvm yPmvmz2021/2/614 C Cv已知已知:圆盘质量为圆盘质量为M,半径为半径为r,图示瞬时三种情图示瞬时三种情况下圆盘的况下圆盘的 ,求各自的动量。求各自的动量。P245 C CrMMvpC0pvCrMMvpC2021/2/615例题.质量为质量为M 的滑块的滑块A 在在滑道内滑动滑道内滑动,其上铰结一质其上铰结一质量为量为m长度为长度为 l的均质杆的均质杆AB,当当AB 杆与铅垂线的夹杆与铅垂线的夹角为角为 时时,滑块滑块A 的速度为

4、的速度为v, 杆杆AB的角速度为的角速度为 ,求该求该瞬时系统的动量瞬时系统的动量.ABCv 2021/2/616解:取系统为研究对象.PAx = M v PAy = 0设 杆AB质心 C 的速度为vC由 vc = ve + vrcos21lvvcxsin21lvcycos21lmmvPABxsin21lmPABycos21lmvmMPxsin21lmPyABCv vcvcxvcyABAPPPve = vlvr212021/2/617例题. 水平面上放一均质水平面上放一均质三棱柱三棱柱 A,在此三棱柱上又在此三棱柱上又放一均质三棱柱放一均质三棱柱B. 两三棱两三棱柱的横截面都是直角三角柱的横截

5、面都是直角三角形形,且质量分别为且质量分别为M和和m.设设各接触面都是光滑的各接触面都是光滑的,在图在图示瞬时示瞬时, 三棱柱三棱柱A的速度为的速度为v, 三棱柱三棱柱B相对于相对于A的速的速度为度为u, 求该瞬时系统的动求该瞬时系统的动量量.AB2021/2/618AB解:取系统为研究对象vuPAx = - M vPAy = 0PBx = - m v + m u cosPBy = - m u sinPx = - (M + m) v + m u cosPy = - m u sinBAPPP2021/2/6192力是变矢量：（包括大小和方向的变化）力是变矢量：（包括大小和方向的变化）元冲量元冲量

6、：冲量冲量：F21()IF ttdIFdt21ttIFdt1力是常矢量：力是常矢量：F二冲量二冲量2021/2/620 3合力的冲量合力的冲量:221121tttttitIRdtFdtF dtI注意注意: :力的冲量是矢量力的冲量是矢量, ,计算冲量要考计算冲量要考虑方向性。冲量是过程量。虑方向性。冲量是过程量。 2021/2/62111-3动量定理动量定理一质点的动量定理一质点的动量定理FvmdtdFdtvdmam)( ()d mvFdtdI2121ttmvmvF dtI微分形式微分形式:积分形式积分形式:2021/2/622投影形式投影形式:xxFmvdtd)(yyFmvdtd)(zzFm

7、vdtd)(2121txxxxtmvmvIF dt2121tyyyytmvmvIF dt2121tzzzztmvmvIF dt质点的动量守恒质点的动量守恒若，则常矢量，若，则常量，0F0 xFvmxmv二质点系的动量定理二质点系的动量定理()eid PFdt质点系的动量守恒质点系的动量守恒?2021/2/6232021/2/624小兔子向前走时,船会怎么样? 2021/2/625 例例 P256质量为质量为M的大三角形柱体的大三角形柱体, 放于光滑水平面上放于光滑水平面上, 斜面上斜面上另放一质量为另放一质量为m的小三角形柱体的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时求小三角形柱体滑到底时,大三大

8、三角形柱体的位移。角形柱体的位移。0)(axmvvM解解: 选选两物体组成的系统为两物体组成的系统为研究对象。研究对象。受力分析受力分析, , 0)(exFxP 水平方向水平方向常量常量。由水平方向动量守恒及初始静止由水平方向动量守恒及初始静止;则0)()(vvmvMrx)( bamMmSmMmSrxrvravvvv设大三角块速度设大三角块速度 ，小三角块相对大三角块速度为小三角块相对大三角块速度为 ，则小三角块则小三角块运动分析运动分析， mmMSSmmMvvrxrx2021/2/626例题 小车重小车重P1= 2kN, 车上有一人车上有一人,重重P2=0.7kN,车与人以共同速度车与人以共

9、同速度V0在光滑直线轨道上匀速行驶在光滑直线轨道上匀速行驶.如人以相对于车的水平速度如人以相对于车的水平速度u向左方跳出向左方跳出,如图示。如图示。求小车增加的速度。求小车增加的速度。 uV02021/2/627 解解: 取小车、取小车、 和人组成的系统为研究对象和人组成的系统为研究对象, 画出受力图。画出受力图。N1N2P1uV0P2即即:Px = Px0 0 xy因为因为0eixF所以 Px = c (恒量恒量)根据质点系的动量定理根据质点系的动量定理:2021/2/628Px = Px0 N1N2P1uV0P20212211x0)(P vmmvmvmvmxxixixxixivmvmvm2

10、211xP 根据质点系动量守恒定律根据质点系动量守恒定律:Px = Px0 得得,021)(vmm )( 1211uvmvm解得解得：21201mmumvvsmPPuPmmumvvv/52. 0 212212010 xy)( 1211uvmvmV12021/2/629例题例题 重为重为P3的直角三棱体置于光滑地面上的直角三棱体置于光滑地面上, 其其一一倾角为倾角为;重量分别为重量分别为P1、P2的物块的物块A、B,用一跨过滑轮用一跨过滑轮C的绳相接的绳相接,放在三棱体的斜面上。不计滑轮、绳的质量及绳的伸长放在三棱体的斜面上。不计滑轮、绳的质量及绳的伸长,且且开始时都处于静止。试求当物块开始时都

11、处于静止。试求当物块B相对于三棱体以速度相对于三棱体以速度u运动时运动时,三棱体的速度。三棱体的速度。ABuC2021/2/630ABuC解解: 取小车取小车, 和人组成的系统为研究对象和人组成的系统为研究对象, 画出受力图。画出受力图。NP1P2即即:Px = Px0=0 0 xy因为因为0eixF所以所以 Px = c (恒量恒量)根据质点系的动量定理根据质点系的动量定理:P3vxxixivmvmvm2211xP vmvumvum321 )cos()sin( 0 解得解得:)PP)/(PsinPcos(32121Puv2021/2/63112-4质心运动定理质心运动定理将将 代入到质点系动

12、量定理，得代入到质点系动量定理，得CvMK)()(eiCFvMdtd若质点系质量不变若质点系质量不变, 则则 或或)(eiCFaM)(eiCFrM 1. 投影形式投影形式:。 , , )()()(eizCCzeiyCCyeixCCxFzMMaFyMMaFxMMa 。 0 , , )()(2)(eibeinCCneiCFFvMMaFdtdvMMa2021/2/632)(eixCiiCixiFxmam )(eiyCiiCiyiFymam )(eizCiiCiziFzmam 2. 刚体系统：刚体系统：设第 i 个刚体 mi，vCi，则有 或)(eiCiiFam)(eiCiiFrm )(eiCFaM)

13、(eiCFrM 2021/2/633C思考题思考题:图示矩形板开始静止图示矩形板开始静止,手受一微小干扰倒地手受一微小干扰倒地,问问:倒地倒地过程过程,矩形板作何运动矩形板作何运动?其质心作何运动其质心作何运动?2021/2/634例题水平面上放一均质三棱柱水平面上放一均质三棱柱A, 在此三棱柱上又放一均质在此三棱柱上又放一均质三棱柱三棱柱 B 两三棱柱的横截面两三棱柱的横截面都是直角三角形都是直角三角形,且质量分别且质量分别为为M 和和m,设各接触面都是光设各接触面都是光滑的滑的,求当三棱柱求当三棱柱B 从图示位从图示位置沿置沿 A 由静止滑下至水平面由静止滑下至水平面时时,三棱柱三棱柱A

14、所移动的距离所移动的距离s.ABba2021/2/635 主矢的水平分量为零主矢的水平分量为零,水水平方向的动量守恒平方向的动量守恒.Px = Pxo = 0 设系统初终位置时质心的设系统初终位置时质心的x 坐标坐标分别为分别为xc0 和和xc1则有则有 xco = xc1 = cmMMxmxxMmc000mMsxMsbaxmxMmc001mMbams解:取系统为研究对象取系统为研究对象.ABba2021/2/636解解: 取整个电动机作为质点系研究取整个电动机作为质点系研究,分析受力分析受力, 受力图如图示受力图如图示运动分析运动分析:定子质心加速度定子质心加速度a1=0,转子质心转子质心O

15、2的加速度的加速度a2=e 2,方向指向方向指向O1。例例 P247/253 电动机的外壳固定在水平基础上电动机的外壳固定在水平基础上,定子的质量为定子的质量为m1, 转子质量为转子质量为m2 , 转子的轴通过定子的质心转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差但由于制造误差, 转子的质心转子的质心O2到到O1的距离为的距离为e 。求转子以角速度求转子以角速度 作匀速转动作匀速转动时时,基础作用在电动机底座上的约束反力。基础作用在电动机底座上的约束反力。2021/2/637teateayx sin , cos2222根据质心运动定理根据质心运动定理,有有xxeixCixiNtemamFamc

16、os ,2222)(gmgmNtemamFamyyeiyCiyi212222)( sin ,temgmgmNtemNyxsin ,cos222122可见可见,由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。a1=0,a2=e22021/2/638321332211321332211mmmxmxmxmmmmxmxmxm解解:取起重船取起重船,起重杆和重物组成的质点系为研究对象。起重杆和重物组成的质点系为研究对象。0 iixP例例 P256 浮动起重船浮动起重船, 船的重量为船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为起重杆的重量为P2=10kN, 长长

17、l=8m,起吊物体的重量为起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊设开始起吊时整个系统处于静止时整个系统处于静止,起重杆起重杆OA与铅直位置的夹角为与铅直位置的夹角为 1=60, 水的阻力不计水的阻力不计, 求起重杆求起重杆OA与铅直位置成角与铅直位置成角 2 =30时船的位时船的位移。移。受力分析如图示，且初始受力分析如图示，且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标时系统静止，所以系统质心的位置坐标XC保持不变。保持不变。 0)(exF 0iixm2021/2/639船的位移船的位移 x,杆的位移杆的位移, 2/)sin(sin2112lxx重物的位移重物的位移lxx)sin(sin2

18、1130/ )sin(sin2/)sin(sin2113211211lxPlxPxP)sin(sin)(2221321321lPPPPPx)30sin60(sin8)2010200(220210m 318. 0计算结果为负值计算结果为负值,表明表明船的位移水平向左。船的位移水平向左。0 iixP 0iixm2021/2/640例题例题 小车重小车重P1= 2kN, 车上有一人车上有一人,重重P2=0.7kN,开开始时车与人均处于静止。如人在车上由始时车与人均处于静止。如人在车上由A朝朝B走过走过距离距离AB=L,求小车水平移动的距离求小车水平移动的距离b。 （不计车与（不计车与轨道之间的摩擦）

19、轨道之间的摩擦）AB2021/2/641AB解解: 取小车取小车, 和人组成的系统为研究对象和人组成的系统为研究对象,画出受力图。画出受力图。N1N2P1P2所以Xc = c (恒量)，即：质心在该轴上的位置不变。开始时系统静止，即：0dtdxvccx0 xy因为则acx =0, vcx = c (恒量)0eixF根据质心运动守恒定律:2021/2/642Xc = c (恒量)AB0 xyP1CX1XC0X2y2122110mmxmxmXC212211mmxmxmxC0ABxCX/CbLP1b212211212211)()(mmlbxmbxmmmxmxmXCbxx11blxx22X/1X/22

20、021/2/6432122110mmxmxmXC212211212211)()(mmlbxmbxmmmxmxmXC因为因为Xc = c (恒量恒量),所以所以X/c= Xc0212211mmxmxm即：212211)()(mmlbxmbxm将上式化简得将上式化简得:mPPlPmmlmb52. 02122122021/2/644O CA CanCaGFOxFOy例例:杆重杆重G,长为长为L,已知图示瞬时的已知图示瞬时的 、 ,求该瞬求该瞬时时O点的约束反力。点的约束反力。解解: 求反力求反力,必用质心运动定理必用质心运动定理 FaMCxCxFMa 2La2nC 2LaC Ox2F2LgG g2G

21、LF2Ox 2021/2/645解解: 求反力求反力,必用质心运动定理必用质心运动定理 FaMCyCyFMa 2La2nC 2LaC 2LgG g2GLGFOy GFOy O CA CanCaGFOxFOy例：杆重例：杆重G，长为，长为L，已知图示瞬时的，已知图示瞬时的 、 ，求求该瞬时该瞬时O点的约束反力。点的约束反力。2021/2/646 C CanCaGFOxFOy例例:盘重盘重G,半径为半径为R,已知图示瞬时的已知图示瞬时的 、 、 ,求该瞬求该瞬时时O点的约束反力。点的约束反力。解解: 求反力求反力,必用质心运动定理必用质心运动定理 FaMCxCxFMa Ra2nC RaC sinGFRgGOx2 g2GLF2Ox 2021/2/647例题例题 均质杆均质杆AD 和和 BD