概率论：二维随机变量的函数的分布

1、二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 四、小结四、小结一、问题的引入一、问题的引入第五节两个随机变量的函数的分布第五节两个随机变量的函数的分布.,),(,的分布的分布分布确定分布确定的的如何通过如何通过的函数关系的函数关系与与并且已知并且已知表示该人的血压表示该人的血压年龄和体重年龄和体重分别表示一个人的分别表示一个人的和和令令有一大群人有一大群人ZYXYXgZYXZZYX 为了解决类似的问题下面为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布我们讨论随机变量函数的分布.一、问题的引入一、问题的引入二、离散型随机变量函

2、数的分布二、离散型随机变量函数的分布 设设(X,Y)(X,Y)为二维离散型随机变量，为二维离散型随机变量， 则函数则函数是一维离散型随机变量是一维离散型随机变量若已知若已知(X,Y)(X,Y)的分布律，的分布律，如何得到如何得到的分布律的分布律? ?),(YXgZ ),(YXgZ 例例1 1 设二维设二维r.v.( X,Y )的概率分布为的概率分布为X Y pij -1 1 2-1 04161418112181求求XYXYYXYX,的概率分布的概率分布解解 根据根据( X,Y )的联合分布可得如下表格的联合分布可得如下表格：P 4141618181121 X +Y X -Y X Y Y / X

3、 ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0故得PX+Y-2 -1 0 1 241414161121PX - Y-1 0 1 2 34141418181PX Y-2 -1 0 1 6141812411PY /X-1 -1/2 0论结论的的联联合合分分布布律律为为若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量, 2, 1, jipyYxXPijji的分布律为的分布律为则随机变量函数则随机变量函数),(YXgZ )

4、,(kkzYXgPzZP ., 2, 1 ,)( kpjikyxgzij例例 2 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与 Y 的分布律为的分布律为XXP317 . 03 . 0YYP424 . 06 . 0求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.,jijiyYPxXPyYxXP 得得YX421318. 012. 042. 028. 0因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立, 所以所以解解可得可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18. 012. 042. 028. 0YXZ 3557所以所以YXZ P35718. 054. 028. 0YX42131

5、8. 012. 042. 028. 0q 设设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且独立，且独立，具有可加性的两个离散分布具有可加性的两个离散分布q 设设 X P ( 1), Y P ( 2), 且独立，且独立，则则 X + Y B ( n1+n2, p)则则 X + Y P( 1+ 2) 证明过程见证明过程见73页例页例3.21 问题问题 已知二维随机变量已知二维随机变量( X ,Y )的密度函数，的密度函数， g(x,y)为已知的二元函数，为已知的二元函数，求求 Z= g( X ,Y ) 的密度函数的密度函数. .方法方法q 从求从求Z 的分布函数出发的分布函数出发,将将

6、Z 的分布函数的分布函数 转化为转化为( X ,Y )的事件的事件三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布主要形式连续型随机变量函数的分布主要形式的分布的分布YXZ )1(的的分分布布及及),min(),max()2(YXNYXM 这里这里X,Y相互独立。相互独立。 设设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，又又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数为一已知的连续函数)。大部分情。大部分情况下，况下，Z是一连续型随机变量。是一连续型随机变量。),()(zYXgPzZPzFZ dxdyyxfzyxg

7、),(),( 为求为求Z的概率密度，可先求出的概率密度，可先求出Z的分布函数的分布函数1. 和分布：和分布：Z=X+Y 的分布的分布 求解过程中，关键在于将事件求解过程中，关键在于将事件Zz等价地转化为等价地转化为用用(X,Y)表示的事件表示的事件g(X,Y) z=(X,Y) ,其其中中 。zD ),(),(zyxgyxDz yxyxfzyxdd),( yux yxyxfyzdd),( yuyyufzdd),( .dd),(uyyyufz zzx +y= z 设设(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x,y)，现求，现求Z=X+Y的概的概率密度。令率密度。令 ，则，则Z的分布函数为的分

8、布函数为),(zyxyxDz )(zYXPzZPzFZ zDdxdyyxf),( zyzduyyufdxyxf),(),(由此可得概率密度函数为由此可得概率密度函数为.d),()( yyyzfzfZ.d),()(xxzxfzfZ 由于由于 X 与与 Y 对称对称, 当当X, Y独立时独立时, ,也也可可表表示示为为)(zfZ( )()( )dZXYfzfzy fyy( )( )() dZXYfzfxfzxx或卷积公式卷积公式XYff记作XYff记作称之为函数称之为函数 f X 与与 f Y 的的卷积卷积 ),(21)(22xexfxX所以由卷积公式得所以由卷积公式得Z=X+Y概率密度为概率密度

9、为 解因为解因为X,Y独立且其概率密度分别为独立且其概率密度分别为dxxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx2)(22221),(21)(22yeyfyY1、考虑被积函数的非零区域、考虑被积函数的非零区域; 2、z在在(-,+)上取值上取值; 3、x在在(-,+)上积分上积分; 4、在、在xoz系中综合上述各点确系中综合上述各点确定定z的分段情形的分段情形.dxeezxz22)2(4214221ze2zxtdteetz2242122)2(2221ze所以所以ZN(0,2).).( z说明说明).,(,).,(),(,222121222211NZYXZNYNXYX 且有且有仍然服从正态分

10、布仍然服从正态分布则则相互独立且相互独立且设设一般一般 有限个有限个相互独立相互独立的正态随机变量的线性组合的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布仍然服从正态分布. 正态随机变量的结论正态随机变量的结论（定理（定理3.13.1）q 若若X ,Y 相互独立相互独立,),(),(222211NYNX则则),(222121NYXniNXiii, 2 , 1),(2 若若nXXX,21相互独立相互独立则),(1211niiniiniiNX推广推广 解因为解因为X,Y独立独立,所以所以和分布和分布概率密度可由概率密度可由卷卷 积公式积公式计算计算: 计算积分计算积分思路思路:1.被积函数非零区域被积函

11、数非零区域;2. z取任意实取任意实 数数;3.x在在(-,+)上积分上积分;4.综合上述就综合上述就z分段分段., 0,100,5010)(其它xxxfX 由边缘概率密度确定由边缘概率密度确定 的表达式的表达式, 特别是其非零区域特别是其非零区域 : )()(xzfxfYX由题目条件得由题目条件得:, 0,100,50)(10)(其它xzxzxzfY, 010,100,50)(105010)()(其其它它xzxxxzxxzfxfYX故得故得: 计算卷积计算卷积: 函数自变量为函数自变量为z,积分变量为积分变量为x,当当z取值范围确取值范围确 定后定后,x由由-积分至积分至+ (只需在非零区域

12、内一段上积只需在非零区域内一段上积 分分).zZdxxzxzf050105010)( zdxxzxz02)10100(25001100 z150006060032zzz 2010 z101050105010)(zZdxxzxzf15000)20(3z10102)10100(25001zdxxzxz200zz或或, 0)()(xzfxfYX因为因为所以所以. 0)(zfZ.0,2010,15000)20(,100,1500060600)(332其它zzzzzzzfZ综上可得综上可得: 参照参照D就就z在在(-,+)上进行分段上进行分段; 对上述各分段中取定的对上述各分段中取定的z值值,就就x从从

13、- 积分至积分至 +,实际只需在非零区域实际只需在非零区域D上一段积分上一段积分. 卷积计算思路卷积计算思路 在在xoz平面上确定被积函数及其非零区域平面上确定被积函数及其非零区域D; dxxzfxfzfYXZ)()()(注意：上述也是一般参量积分的计算方法。注意：上述也是一般参量积分的计算方法。练习练习 若若 X 和和Y 独立独立, 具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度 . 其它其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解 由卷积公式由卷积公式 其它其它, 01, 10, 1)()(xzxxxzfxfYXzx zxOz1zx21

14、1zz1z 暂时固定暂时固定 0.Zfz 故故 当当 或或 时时 ,0z 2z 0zZfzdx 当当 时时 ,01z12z当当 时时 ,z 11Zzfzdx 2 z 于是于是 ,01,2,12,0 ,.Zzzfzzz 其其它它 dxxzfxfzfYXZ)()()(的分布函数的分布函数与与现在求现在求的分布函数为的分布函数为设设NMyxFYX),(),(),(, ),max()(zzFzYzXPzYXPzMPzFM ).,()()( 11 ,1),min(1 ),min()(zzFzFzFzzFzFzFzYzXPzYXPzYXPzNPzFYXYXN ，.,)(),(的的边边缘缘分分布布函函数数分

15、分别别为为YXyFxFYXXY当 与 独立时有的分布的分布及及),min(),max(. 2YXNYXM ),()()(maxzFzFzFYX ).(1)(11)(minzFzFzFYX 推广推广的的分分布布函函数数分分别别为为及及则则),min(),max(2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2, 1()(,21nixFnXXXiXni 它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为量量个相互独立的随机变个相互独立的随机变是是设设).(1)(1)(11)(21minzFzFzFzFnXXX 则则分布函数分布函数相互独立且具有相同的相互独立且具有

16、相同的若若,)(,21xFXXXn,)()(maxnzFzF .)(11)(minnzFzF .),(iii),(ii),(i),2121如图所示如图所示开始工作开始工作系统系统损坏时损坏时当系统当系统备用备用并联并联串联串联连接的方式分别为连接的方式分别为联接而成联接而成统统由两个相互独立的子系由两个相互独立的子系设系统设系统LLLLLXY1L2LXY2L1LXY2L1L例例度分别为度分别为已知它们的概率密已知它们的概率密的寿命分别为的寿命分别为设设,21YXLL , 0, 0, 0,e)(xxxfxX由由解解串串联联情情况况(i),21就停止工作就停止工作系统系统中有一个损坏时中有一个损坏

17、时由于当由于当LLL的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,min(YXZ .0, 0的的概概率率密密度度的的寿寿命命接接方方式式写写出出试试分分别别就就以以上上三三种种联联且且其其中中ZL , 0, 0, 0,e1)(xxxFxX , 0, 0, 0,e)(xxxfxX , 0, 0, 0,e)(yyyfyY ; 0, 0, 0,e)(yyyfyY由由 . 0, 0, 0,e1)(yyyFyY)(1)(11)(minzFzFzFYX . 0, 0, 0,e1)(zzz . 0, 0, 0,e )()()(minzzzfz的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,max(YXZ 的分布函数为

18、的分布函数为),max(YXZ )()()(maxzFzFzFYX . 0, 0, 0),e1)(e1(zzzz . 0, 0, 0,e )(ee)()(maxzzzfzzz并联情况并联情况(ii),21才停止工作才停止工作系统系统都损坏时都损坏时由于当且仅当由于当且仅当LLL,21才开始工作才开始工作系统系统损坏时损坏时由于这时当系统由于这时当系统LL即即两者之和两者之和是是的寿命的寿命因此整个系统因此整个系统,21LLZLYXZ 的概率密度为的概率密度为时时当当YXZz ,0yyfyzfzfYXd)()()( zyyzy0)(dee zyzy0)(dee备备用用的的情情况况(iii), 0

19、)(,0 zfz时时当当的概率密度为的概率密度为于是于是YXZ . 0, 0, 0,ee )(zzzfzz.ee zz 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相相互独立且具有相同分布函数同分布函数F(x)时时, 常常称称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值价值. 小小 结结1. 离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数的分布律的的联联合合分分布布律律为为若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量, 2, 1, jipyYxXPijji的的分分布布律律为为则则随随机机变变量量函函数数),( YXgZ ),(kkzYXgPzZP ., 2, 1 ,)( kpjikyxgzij2. 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布的分布的分布YXZ )1(的的分分布布及及),min(),max()2(YXNYXM 这里这里X,Y相互独立。相