吉林省松原市前郭县2024~2025学年度下学期东北三省精准教学2025年4月高三联考 数学 强化卷（含答题卡、答案及解析）

数学第1页(共4页)高三数学强化卷本试卷满分150分,考试时间120分钟.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知z=(i为虚数单位),则|zA.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}A.B.4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则=()336.在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的,已知接收到的信号为0,则发送的信号是1的概率为()32,7.已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为则此圆台的表面积与其内切球(2,线都相切的球)的表面积之比为()A.B.数学第2页(共4页)8.已知函数的图象与直线y=k-x有3个不同的交点,则实数k的取值范围是()D.(0,2]二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的图象关于直线对称在上单调递减D.f(x)在(0,π)上有2个零点10.药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤.在某新药的临床试验中,志愿者摄入一定量药物后,在较短时间内,血液中药物浓度将达到峰值,当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时,需要立刻补充药物.已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L,为探究该药物在人体中的代谢情况,研究人员统计了血液中药物浓度y(mg/L)与代谢时间x(h)的相关数据,如下表所示:x012345678y根据表中数据可得到经验回归方程=-10.5x+,则()D.代谢约10小时后才需要补充药物11.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(0)=2,f(3-x)+f(x)=1,设f(x)在R上的导函数为g(x),则()三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.514.三角形是常见的几何图形,除了我们已经学习的性质外,三角形还有很多性质,如:→→→→→→→→→→→→性质2:对于△ABC内任意一点P,有AB·AP+BC·BP+CA·CP=AB·AC+BC·BA+CA·CB;数学第3页(共4页)性质3:△ABC内存在唯一一点P,使得∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,这个点P称为△ABC的“勃罗卡点”,角四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)某学校举行运动会,为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关,对学生进行简单随机抽样,得到如下数据:女男未参加跳绳比赛参加跳绳比赛(1)能否有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关?(2)为了进一步了解女生平时运动的情况,利用比例分配的分层随机抽样方法从这100人中抽取12人进行研究.老师甲从这12人中随机选取3人,求至少有1人参加跳绳比赛的概率.附:χ2P(χ2≥k)k16.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA∥平面EDB;(2)求证:PB⊥平面EFD;(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.数学第4页(共4页)17.(15分)已知f(x)=xln(x-1)-ax(a∈R).(1)若f(x)在定义域上单调递增,求a的取值范围;(2)若y=f(x)有极大值m,求证:m<-4.18.(17分)已知椭圆的一个焦点为F(-2,0),短轴长为22.(1)求椭圆C的标准方程.直线l:x=-与x轴交于点Q,过焦点F(-2,0)的直线与椭圆交于M,N两点.(i)证明:点Q在以MN为直径的圆外.(ii)在l上是否存在点E使得△EMN是等边三角形?若存在,求出直线MN的方程;若不存在,请说明理由.19.(17分)如果数列{xn}满足:存在实数G1,G2,使得对任意n∈N∗,有G1≤xn≤G2,那么称数列{xn}有界,其中G1为{xn}的下界,G2为{xn}的上界.(1)写出数列{xn}无界的定义.已知an=,bn=,数列的前n项和分别为An,Bn,讨论数列{An},{Bn}的有界性.(3)两个整数数列{an},{bn}满足方程(an-an-1)·(an-an-2)+(bn-bn-1)(bn-bn-2)=0(n=3,4,5,…).证明:存在k∈N∗,使得ak=ak+2.高三数学强化卷答题卡贴条形码区填涂样例填涂样例正确填涂注意事项1.答卷前,考生须在答题卡和试卷上规定的位置,准确填写本人姓名、准考证号,并核对准条形码上的信息。确认无误后,将条形码粘贴在答题卡上相应位置。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔作答,字体工整,笔迹清楚。3.考生必须在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域范围书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不准折叠,不得损坏。5678 A BCD 9A BCD 三、填空题(每小题5分,共15分)请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效姓名准考证号考生禁填缺考考生,由监考员贴条形码,并用2B请在各题目的答题区域内作答姓名准考证号考生禁填缺考考生,由监考员贴条形码,并用2B答题卡第一页总分总分:登分人:复核人:请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效答题卡第二页D1高三数学强化卷参考答案123456789ABDCCBDDACDACACD15.(1)有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关(6分)(2)(7分)【解】(1)第一步:完成2×2列联表,算出χ2的值,并与对应临界值比较大小女男合计未参加跳绳比赛75参加跳绳比赛合计2002260022600第二步:得出结论所以有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关.……………6分(2)第一步:利用比例分配的分层随机抽样方法算出各层人数利用比例分配的分层随机抽样方法从这100人中抽取12人,则未参加跳绳比赛的有75×12=9人参加跳绳比赛的有25×=3人.……………………8分第二步:利用对立事件求概率老师甲从这12人中随机选取3人,记“至少有1人参加跳绳比赛”为事件A,则P(A)=1-P(A)=1-C=1-21=34C25555,所以至少有1人参加跳绳比赛的概率是.………………13分16.(1)证明见解析(4分)(2)证明见解析(5分)(3)(6分)(1)【证明】第一步:构造中位线,证明线线平行如图,连接AC交BD于点Q,连接EQ,则点Q为AC的中点,因为E为PC的中点,所以EQ∥PA.…………2分第二步:用线面平行的判定定理证明结论又因为EQ⊂平面EDB,PA⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB.…………4分(2)【证明】第一步:证明BC⊥平面PCD因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC.因为底面ABCD为正方形,所以CD⊥BC,而PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD,所以BC⊥平面PCD.…………6分第二步:证明DE⊥平面PBC又DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE.因为PD=DC,E为PC的中点,所以DE⊥PC.又PC,BC⊂平面PBC,PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.…………8分第三步:证明PB⊥平面EFD因为PB⊂平面PBC,所以DE⊥PB.又因为EF⊥PB,DE∩EF=E,DE,EF⊂平面EFD,所以PB⊥平面EFD.…………9分(3)【解】第一步:根据定义证明∠DFE为二面角C-PB-D的平面角由(2)知PB⊥平面EFD,又DF⊂平面EFD,所以PB⊥DF,所以∠DFE为二面角C-PB-D的平面角.…10分第二步:分别求DE,DF,EF的长设AB=2a,则BD=PC=22a,PB=23a,PC在Rt△PCD中,DE==2a,2PD·BD26在Rt△PBD中,DF==a(提示:等面积法表示PB3Rt△PBD的面积,从而求解DF的长度),PC·BC26PB3在Rt△PBC中,点C到PB的距离为=a,PB3所以EF=×a=a.…………………13分第三步:由余弦定理求夹角在△DFE中,由余弦定理得EF2+DF2-DE21cos∠DFE==2EF·DF2,………14分∠DFE=π即平面CPB与平面PBD的夹角(2)证明见解析(9分)由题意知,函数f(x)的定义域为(1,+∞).x-1(x-1)2(x-1)2,因为f(x)在定义域上单调递增,所以f′(x)≥0恒成立(提示:函数在某个区间上单调,求参数的范围,一般情况下,要先转化为导函数在这个区间上恒大于等于0或者恒小于等于0,然后借助不等式恒成立的解法即可求出参数的范围),所以2-a≥0,即a≤2,故a的取值范围为(-∞,2].………6分(2)【证明】第一步:利用函数零点存在定理判断f′(x)零点的个数及范围由(1)可知,当y=f(x)有极大值时,a>2,所以当f′(x)=0时,x=x1,x=x2(1<x1<2<x2)(提示:函数零点存在定理的应用),………………8分第二步:求极大值的表达式则ln(xi-1)+=a(i=1,2).所以x=x1为f(x)的极大值点,则m=f(x1).………………10分第三步:证明极大值小于-41-1)-ln(x1-1)-ù」ú=2-.x1-1设g(x)=-x2则g′(x)=-x(x-2)>0在(12)上恒成立x-1,(x-1)2,,所以g(x)在(1,2)上单调递增,所以g(x)<g(2)=-4,即m<-4.……………15分18.(1)+=1(3分)(2)(i)证明见解析(7分)(ii)存在,直线MN的方程为y=x+2或y=-x-2(7分)由题意得c=2,b=2,第二步:求出a并写出椭圆的标准方程所以a=6.……………………2分则椭圆C的标准方程为+=1.…………3分(2)(i)【证明】第一步:考虑直线MN倾斜角为0的情况由题意得Q(-3,0),当直线MN的倾斜角为0时,以MN为直径的圆的方程为x2+y2=6,显然点Q在此圆外.……5分第二步:直线MN倾斜角不为0时设出该直线方程,并与椭圆方程联立当直线MN的倾斜角不为0时,设直线MN的方程为x=my-2,联当直线MN的倾斜角不为0时,设直线MN的方程为x=my-2,联Δ=16m2+8(m2+3)=24m2+24>0恒成立. →→QM·QN的符号,得出第三步:设出点M →→QM·QN的符号,得出设M(x1,y1),N(x2,y2),……7分-2m2+3,则y1+y2=,y1y-2m2+3,→→QM·QN=(x1+3)(x2+3)+y1y2……………9分=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=++1=>0,故点Q在以MN为直径的圆外.……………10分(ii)【解】第一步:考虑直线MN斜率不存在的情况假设在l上存在点E使得△EMN是等边三角形,当直线MN的斜率不存在时,|MN|==此时点Q到MN不存在△EMN为等边三角形.第二步:考虑直线MN斜率为0的情况当直线MN的斜率为0时,易知不存在△EMN为等边三角形.……………11分第三步:考虑直线MN的斜率存在且不为0的情况,设出该直线方程当直线MN的斜率存在且不为0时,设直线MN的方程为x=my-2(m≠0).第四步:设线段MN的中点为G,根据弦长公式表示出|EG|和|MN|设线段MN的中点为G(xG,yG),M(x1,y1),N(x2,y2),由设线段MNy1+y2y1+y2yG==2m+3m+32,由于点G在直线x=my-2上,所以xG=2m+3m+3……………12分-6m+3直线EG的斜率为-m,所以|EG|=1+m22+3=1+m2m+3mm+33m2+32 m+3m+322226(m2+1)第五步:求出m的值和直线MN的方程|MN| 3因为△EMN是等边三角形,所以=2、-|MN| 3因为△EMN是等边三角形,所以=2、-(m2+1)332,解得m2=1,即m=±1,故直线MN的方程为y=x+2或y=2-x-2.………17分19.(1)对任意G>0,存在n∈N∗,|xn|>G(2分)(2){An}有界,{Bn}无界(8分)(3)证明见解析(7分)(2)【解】第一步:判断数列{An}的有界性对于数列{an}:当n=1时,A1=a1=1<2;所以An=a1+a2+a3+…+an<1+(1-+-+…+-=2-<2.n-1nn-=2-<2.n-1nn又对任意n∈N∗,An>0,所以0<An<2,所以{An}有界.……6分第二步:先证不等式x>ln(x+1)(x>0)对于数列{bn}:先证当x>0时,x>ln(x+1).x+1x+1,令f(x)=x-ln(x+1),则f′(x)=1-1=x+1x+1,D2D3所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x>0时,f(x)>f(0)=0,所以x>ln(x+1),x>0恒成立.第三步:赋值得出不等关系第四步:利用放缩法求和并得出结论ln3-ln2+ln4-ln3+…+ln(n+1)-lnn=ln(n+1),对任意G>0,令n=[eG],则Bn>ln(n+1)>G,所以{Bn}无界.……………10分n之间的关系记点Pn(an,bn),则由条件得=0,n≥3,n∈N……………12分第二步:讨论点Pn-1,Pn-2重合时的情形所以(an-an-2)2+(bn-bn-2)2=0,所以an=an-2.………14分第三步:讨论点Pn-1,Pn-2不重合时的情形②若点Pn-1,Pn-2不重合,则点Pn在以线段Pn-1Pn-2为直径的所以{|Pn-1Pn|2}是单调不增的数列(提示:后一个圆的直径小于或等于前一个圆的直径).第四步:得出结论当n充分大时,要么|Pn-1Pn|2=|Pn-2Pn-1|2,所以Pn与Pn-2重合,所以an=an-2;要么|Pn-1Pn|2=0,所以当n充分大时,所有点Pn均重合,所以存在k∈N∗,使得ak=ak+2.……16分综上,存在k∈N∗,使得ak=ak+2.…………17分高三数学强化卷2-i(2-i)(2+i),2-i(2-i)(2+i),{x∈N|0≤x≤2}={0,1,2},所以A∩B={0,1}.故选B.3.D4.C+2,则公比q≠1,所以=a1(1-qn+2)aa1(1-qn+2)n+2,即2【深度解析】设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则把点(1,1)的坐标代入方程,得-=1①.因为渐近线的方程为y=±x,且双曲线的两条渐近线的夹角为60°,所以渐近线y=x的 3 33把②代入①,得-32=1,无解(易错:此处易忽视方程①,直接利2ab2ab3232ab22222a【深度解析】解法一(条件概率定义和全概率公式):设A=“发送的信号为0”,B=“接收到的信号为0”,则由题意可知P(A)=P(A)=0.5,P(B|A)=P(B|A)=0.95,所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.5×故选B.解法二(贝叶斯公式):设A=“发送的信号为0”,B=“接收到的信P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.1,P(B|A)=0.05,P(B|A)=0.95.根,将数值代P(A)P(B|A)据贝叶斯公式P(A|,将数值代P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)入可得,P(A|B)==.解法三(列举法计算概率):假设进行了1000次发送信号的试验,因为发送信号0和1是等可能的,所以发送信号0和1各有【深度解析】设圆台的上、下底面圆的圆心分别为O2,O1,其内切球的球心为O,如图,等腰梯形ABDC为圆台的轴截面,且轴截面截内切球O得大圆,并且是梯形ABDC的内切圆,延长AC,BD交于点S,连接SO1,则点O,O2在线段SO1上,32121221,2,21上靠近点S的三等分点,而内切球表面积为S1=4πr2,又因为21=R(提示:根据轴截面中存在的几何图形的角度及条件确定圆台的下底面半径与内切球半径之间的等量关系是解题的关键),所以圆台的表面222(圆台表面积公式:S=πR2+πr2+πl(R+r),其中,R,r分别为圆台上、下底面的半径,l为圆台的母线长),所以圆台的表面积与其内r2SS【深度解析】解法一(方程联立+数形结合):如图,作函数y=f(x)1414,41(x≤0)相切;当k=0时,直线y=-x经过点(0,0),且与曲线2+2x+2(x≤0)有2个不同的交点;当k=2时,直线y=2-x经过点(0,2),且与y=f(x)的图象有3个不同的交点.由图分析可知,当k∈(0,2]时,y=f(x)的图象与直线y=k-x有3个不同的交点.故选D.解法二(导数的几何意义+数形结合):如图,作函数y=f(x)的大致图象,平移直线y=k-x,当直线y=k-x与曲线y=x2+2x+2(x≤0)相切时,设切点横坐标为x0,对y=x2+2x+2(x≤0)求导得y′=3=-1,解得x0=-所以切点坐标-代入y=k-x,得k=-.-代入y=k-x,得k=-.以下同解法一.2,4,4解法三(取值检验):取k=0,y=-x与y=x2+2x+2(x≤0)联立得2+2x+2(x≤0)的图象有两个交点,而直线y=-x与y=ln(x+1)(x>0)的图象没有交点,所以此时直线y=-x与y=f(x)的图象共有2个交点,不符合题意,排除选项A和C;取k=3,直线y=3-x与y=x2+2x+2(x≤0)联22+2x+2(x≤0)的图象只有1个交点,直线y=3-x与y=ln(x+1)(x>0)的图象有1个交点,所以此时直线y=3-x与y=f(x)的图象共有2个交点,不符合题意,排除选项B.故选D.9.ACD2,所以最小正周期T=2=π,故A正确;对于B,令2x-=+kπ(k∈Z),解得x=+(图象的对称轴为直线x=+(k∈Z),故B错误;,3,则f(x)在,3,则f(x)在-,1π,令f(x)=3,6上单调递减,故-,1π,令f(x)=2x-12,所以f(x)在(0,π)上有2个零点,故D正确.故选ACD.【深度解析】对于A,把点(4,80)的坐标代入=-10.5x+,解得=122,故A正确;对于B,从表中数据可知,血谢时间x的增大而减小,所以相关系数r<0(提示:若两个变量成关关系,则相关系数为正数,呈负相关关系,则相关系数为负数),故【深度解析】(赋值法)因为函数f(x)是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),则[f(-x)]′=-f′(-x)=f′(x).又g(x)是f(x)的导函数,所以-g(-x)=g(x),故g(x)是奇函数且g(0)=0.由f(3-x)+f(x)=1,两边同时求导得-f′(3-x)+f′(x)=0,即-g(3-x)+g(x)=0(易错:注意复合函数求导),故函数g(x)的图象关于对于C,因为g(x+6)=g(-x-3)=-g(x+3)=-g(-x)=g(x),故C正确;对于A选项,由选项C可知g(x+6)=g(x),所以函数g(x)的周期为6,所以g(2025)=g(337×6+3)=g(3)=g(0)=0,故A正确;对于B选项,若函数f(x)=cosx+,满足已知条件,则f′(x)=g(x)=-sinx,则g≠,故B错误;对于D选项,由f(3-x)+f(x)=1及f(x)是偶函数,得f(x-3)+f(x)=1,所以f(x)=-f(x-3)+1,所以f(x+3)=-f(x)+1,即f(x+6)=-f(x+3)+1=f(x),所以函数f(x)的周期为6,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=[f(1)+f(4)]+[f(2)+f(5)]+[f(3)+f(6)]=1+1+1=3,因为f(3-x)+f(x)=1,所以令x=0得f(0)+f(3)=1,又f(0)=2,则f(3)=-1,令x=1得f(1)+0123452-a34-a5e【深度解析】设y=f(x)=eax+b,切点为(x0,eax0+b),则f′(x)=ax+b,f′(x0)=aeax0+b,则切线方程为y-eax0+b=aeax0+b(x-x0),整理0)所以ab=.设h(x)=,则h′(x)=,令h′(x)>0,即1-x>0,解得x<1,令h′(x)<0,即1-x<0,解得x>1,所以函数h(x)在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以h(x)max=h(1)=,所以ab的最大值为.316.(1)证明见解析(4分)3514.5【深度解析】由题意,设【深度解析】由题意,设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b2+c2-a2,b=c=b2+c2-a2,b=c=1,则cosA=1+1-3==-2b,c,不妨令a=3(1)【证明】第一步:构造中位线,证明线线平行222因为E为PC的中点,所以EQ∥PA.…………2分3→3→3→→,CA·CB=3→→,CA·CB=2,所以AB·AC=|AB|41→→→→同理BA·BC=|BA|同理BA·BC=|BA|·|→3→(2)【证明→3→,2知△ABC的面积S=S△PAB+S△PBC+S△PCA(提示:分割法的应因为底面ABCD为正方形,所以CD⊥BC,而PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD,1→→→→→→用)1→→→→→→用)=2(AB·AP+BC·BP+CA·CP)tanθ(提示:利用性质1表示出1→→→→→→第二步:证明DE⊥平面PBC三角形的面积)=2(AB·AC+BC三角形的面积)=2(AB·AC+BC·BA+CB·CA)·tanθ(提示:利用(1)有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关(6分)(2)(7分)【解】(1)第一步:完成2×2列联表,算出χ2的值,并与对应临界值比较大小因为PD=DC,E为PC的中点,所以DE⊥PC.又PC,BC⊂平面PBC,PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.…………8分第三步:证明PB⊥平面EFD因为PB⊂平面PBC,所以DE⊥PB.又因为EF⊥PB,DE∩EF=E,DE,EF⊂平面EFD,所以PB⊥平面EFD.…………9分(3)【解】第一步:根据定义证明∠DFE为二面角C-PB-D的平面角由(2)知PB⊥平面EFD,又DF⊂平面EFD,所以PB⊥DF,所以∠DFE为二面角C-PB-D的平面角.…10分第二步:分别求DE,DF,EF的长女男合计未参加跳绳比赛75参加跳绳比赛合计200设AB=2a,则女男合计未参加跳绳比赛75参加跳绳比赛合计200PC在Rt△PCD中,DE==2a,2PD·BD26在Rt△PBD中,DF==a(提示:等面积法表示PB3Rt△PBD的面积,从而求解DF的长度),PC·BC2622600在Rt△PBC中,点C到PB的距离为=a,PC·BC2622600在Rt△PBC中,点C到PB的距离为=a,PB3所以EF=×a=a.…………………13分第三步:由余弦定理求夹角第三步:由余弦定理求夹角在△DFE中,由余弦定理得EF2+DF2-DE21cos∠DFE==2EF·DF2,………14分∠DFE=π即平面CPB与平面PBD的夹角……………6分(2)第一步:利用比例分配的分层随机抽样方法算出各层人数利用比例分配的分层随机抽样方法从这100人中抽取12人,则未参加跳绳比赛的有75×12=9人参加跳绳比赛的有25×=3人.……………………8分第二步:利用对立事件求概率(2)证明见解析(9分)由题意知,函数f(x)的定义域为(1,+∞).记“至少有1人参加跳绳比赛”为事件A,则P(A)=1-P(A)=1-C=1-21=34C25555,所以至少有1人参加跳绳比赛的概率是.………………13分D3因为f(x)在定义域上单调递增,所以f′(x)≥0恒成立(提示:函数在某个区间上单调,求参数的范围,一般情况下,要先转化为导函数在这个区间上恒大于等于0或者恒小于等于0,然后借助不等式恒成立的解法即可求出参数的范围),所以2-a≥0,即a≤2,故a的取值范围为(-∞,2].………6分(2)【证明】第一步:利用函数零点存在定理判断f′(x)零点的个数及范围由(1)可知,当y=f(x)有极大值时,a>2,所以当f′(x)=0时,x=x1,x=x2(1<x1<2<x2)(提示:函数零点存在定理的应用),………………8分第二步:求极大值的表达式则ln(xi-1)+x所以x=x1为f(x)的极大值点,则m=f(x1).………………10分第三步:证明极大值小于-41-1)-ln(x1-1)-ù」ú=2-.x1-1设g(x)=-,则g′(x)=->0在(1,2)上恒成立,所以g(x)在(1,2)上单调递增,所以g(x)<g(2)=-4,即m<-4.……………15分18.(1)+=1(3分)(2)(i)证明见解析(7分)(ii)存在,直线MN的方程为y=x+2或y=-x-2(7分)由题意得c=2,b=2,第二步:求出a并写出椭圆的标准方程所以a=6.……………………2分则椭圆C的标准方程为+=1.…………3分(2)(i)【证明】第一步:考虑直线MN倾斜角为0的情况由题意得Q(-3,0),当直线MN的倾斜角为0时,以MN为直径的圆的方程为x2+y2=6,显然点Q在此圆外.……5分第二步:直线MN倾斜角不为0时设出该直线方程,并与椭圆方程联立当直线MN的倾斜角不为0时,设直线MN的方程为x=my-2,22 x+y=162,可得(m2+3)y2-4my-2=0,x=my-2,Δ=16m2+8(m2+3)=24m2+24>0恒成立.→→第三步:设出点M和N的坐标,通过判断QM·QN的符号,得出点→→设M(x1,y1),N(x2