波的叠加、驻波

1、一、波的叠加原理一、波的叠加原理条件：条件：波源：线性振动波源：线性振动波：线性波波：线性波介质中各质点均线性振动介质中各质点均线性振动 当几列波在传播过程中相遇时，相遇区域每一点的振当几列波在传播过程中相遇时，相遇区域每一点的振动等于各列波单独传播时在该点引起的振动的矢量和。动等于各列波单独传播时在该点引起的振动的矢量和。实质：实质：振动的叠加振动的叠加碰撞，各自运动状态改变。碰撞，各自运动状态改变。粒子相遇：粒子相遇：波相遇：波相遇：相遇区域合成，然后保持各自特征继续传播。相遇区域合成，然后保持各自特征继续传播。2 几列波相遇之后，几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征仍然保持它们各

2、自原有的特征（频（频、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.2 在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和时在该点所引起的振动位移的矢量和.二、波的干涉二、波的干涉波叠加中最简单、重要的特例波叠加中最简单、重要的特例1、相干条件、相干条件振动方向相同振动方向相同频率相同频率相同相位差恒定相位差恒定(波源初相差稳定，介质稳定）波源初相差稳定，介质稳定）2、干涉现象、干涉现象设相干波源设相干波源:o1

3、)cos(111tA:2o)cos(222tAo2r2r1po1在在P点引起的振动点引起的振动式中式中)(2cos21212212221rrAAAAA)2cos()2cos()2sin()2sin(arctg222111222111rArArArAP点的合振动点的合振动tAppcos21o2r2r1po111112cosrtAp22122cosrtAp令令)(21212rr 得得cos2212221AAAAA,2AI 由P点合振动强度点合振动强度：cos22121IIIII干涉项干涉项由由12恒定恒定取决于两波传至相遇点的波程差：取决于两波传至相遇点的波程差：12rr 对空间确定点对空间确定点

4、有确定值有确定值，I对空间不同点对空间不同点彼此不等彼此不同， I能量在空间稳定的非均匀分布能量在空间稳定的非均匀分布 干涉现象干涉现象合振动最强（干涉相长）合振动最强（干涉相长）合振动最弱（干涉相消）合振动最弱（干涉相消）的位置的位置?讨论：o2r2r1po1相同的点，振动强度相同，相同的点，振动强度相同，其集合为其集合为双曲面双曲面12rr 212AAAk21212IIIII相长相长特例特例：（1 1）22121rrk2) 12(k相长相长相消相消, 2, 1, 0k（2 2）2121IIAA相长处：相长处：1142IIAA相消处：相消处：00IA相相间间排排列列|) 12(21AAAk2

5、1212IIIII相消相消, 2, 1, 0k3. 干涉相长和相消的条件干涉相长和相消的条件212频率相同、频率相同、振动方向平行、振动方向平行、相位相同或相位相位相同或相位差恒定的两列波差恒定的两列波相遇时，使某些相遇时，使某些地方振动始终加地方振动始终加强，而使另一些强，而使另一些地方振动始终减地方振动始终减弱的现象，称为弱的现象，称为波的干涉现象波的干涉现象.1、是非题、是非题(1)两列不满足相干条件的波不能叠加两列不满足相干条件的波不能叠加(3)两振幅相等的相干波在空间某点相遇时，两振幅相等的相干波在空间某点相遇时，某时刻该点合振动位移既不是两波振幅之某时刻该点合振动位移既不是两波振幅

6、之和和,又不是零，则该点既不是振动最强点，又不是零，则该点既不是振动最强点，又不是振动最弱点又不是振动最弱点.两列波相遇区域中两列波相遇区域中P点，某时刻位移值恰好点，某时刻位移值恰好等于两波振幅之和。这两列波为相干波等于两波振幅之和。这两列波为相干波.(2)(4)在波的干涉现象中，波动相长各点或波动在波的干涉现象中，波动相长各点或波动相消各点的集合的形状为双曲面族相消各点的集合的形状为双曲面族练练习习解：解：点外侧）对PS114222121020rr干涉相消，合成波干涉相消，合成波0, 0IA即即 S1 外侧不动外侧不动2. 教材教材P.509 15.3已知：已知：2,4201002121I

7、IISS，为相干波源，相距、求求:外侧合成波强度外侧，连线上，、2121SSSSS1S2uupp P.88 (13-16)干涉相长、合成波干涉相长、合成波 014,2IIAA 外侧各点振动最强。即2S思考思考：之间如何？21, SS两相干波，振幅相同，沿同一直线向相反方向传播两相干波，振幅相同，沿同一直线向相反方向传播点外侧）对PS2204222121020rrS1S2uupp 三、驻波三、驻波1、驻波的形成、驻波的形成条件条件 : 相干波相干波, 振幅相等振幅相等, 在同一直线上反向传播。在同一直线上反向传播。uu适当选择计时起点和原点，使原点处适当选择计时起点和原点，使原点处021右行波：

8、右行波：xtA2cos11左行波：左行波：xtA2cos22驻驻 波波 的的 形形 成成 a、c、e、g.始终不振动始终不振动 A=0，称，称波节波节 o、b、d、f .振动最强振动最强,21AA称称波腹波腹其余点其余点120AA合成波：合成波：振幅随振幅随 x 变化变化txAcos2cos2121uuuuuuuu2. 特征特征(1) 波线上各点振幅不等，不是后一质点重复前波线上各点振幅不等，不是后一质点重复前 一一 质点的振动。质点的振动。(2) 振幅最强振幅最强位置：12AA 波腹波腹振动相消振动相消 A=0 位置：波节波节2相距两相邻波腹（或波节）uuuuuuuu( (3) )相邻波节之

9、间各点同相相邻波节之间各点同相同一波节两侧的点反相同一波节两侧的点反相稳定的分段振动稳定的分段振动 (4)能流密度能流密度0)21(21221221uAuAIuuuuuuuu 驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播.:2,0Tt 最最大大）集集中中于于波波节节附附近近（形形变变各各质质点点最最大大位位移移pk, 0, 0EEEv :43,4TTt , 0,kpEEE 变变为为零零各各质质点点达达平平衡衡位位置置，形形)(速速率率最最大大集集中中于于波波腹腹附附近近.pk性性转转移移在在波波腹腹、

10、波波节节附附近近周周期期、EEuuuuuuuu如何理解？如何理解？,2, 12nnln 两端两端固定固定的弦振动的弦振动 一端一端固定固定一端一端自由自由的弦振动的弦振动, 2 , 12)21(nnln21l222l233l41l432l453l(5) 驻波系统的固有频率：驻波系统的固有频率：2nnLnLn2Lnuuvnn2), 3, 2, 1(n所有可能的振动方式：所有可能的振动方式：简正模式简正模式基频基频谐频谐频总之：总之：外形象波：外形象波： 具有空间、时间周期性；具有空间、时间周期性；波形、能量不向前传播、无滞后效应波形、能量不向前传播、无滞后效应“驻驻”波波 两端两端固定固定的弦振

11、动的弦振动振动的简正模式振动的简正模式应满足应满足 ， 由此频率由此频率两端两端固定固定的弦线形成的弦线形成驻驻波时，波长波时，波长 和弦线长和弦线长2nnl, 2 , 12nlunnnl决定的各种振动方式称为弦线振动的决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式简正模式.1max2AA 由由得波腹位置：得波腹位置： kx 2212 1242 kx), 2 , 1 , 0( k解：解：例：例：由由合成波波函数：合成波波函数：求求波腹和波节的位置波腹和波节的位置 2cos22cos212121 txA0min A由由得波节位置：得波节位置：)(44) 12(12 kx), 2 , 1 , 0( k2

12、)12(2212 kx3、半波损失半波损失自由端反射自由端反射波密波密 波疏界面反射波疏界面反射特征阻抗特征阻抗：大uz小uz波在两种不同介质界面上的反射波在两种不同介质界面上的反射全波反射全波反射半波反射半波反射反射波与入射波反射波与入射波在反射点同相在反射点同相波腹波腹反射波与入射波反射波与入射波在反射点反相在反射点反相固定端反射固定端反射波疏波疏波密界面反射波密界面反射波节波节相位突变半波损失半波损失相位跃变相位跃变（半波损失）（半波损失） 当波从波疏介质垂直入射到波密介质，当波从波疏介质垂直入射到波密介质， 被反射被反射到波疏介质时形成到波疏介质时形成波节波节. 入射波与反射波在此处的

13、相入射波与反射波在此处的相位时时位时时相反相反, 即反射波在即反射波在分界处分界处产生产生 的相位的相位跃变跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失半波损失.波密波密介质介质u较大较大波疏介质波疏介质较小较小u 当波从波密介质垂直入射到波疏介质，当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射被反射到波密介质时形成到波密介质时形成波腹波腹. 入射波与反射波在此处的相入射波与反射波在此处的相位时时位时时相同相同，即反射波在分界处，即反射波在分界处不不产生相位产生相位跃变跃变.4、驻波驻波应用举例：应用举例：弦乐发声：一维驻波；弦乐发声：一维驻波；鼓面：二维驻波；鼓

14、面：二维驻波；微波振荡器，微波振荡器，激光器谐振腔激光器谐振腔量子力学：一维无限深势阱波函数为驻波量子力学：一维无限深势阱波函数为驻波.1. 画反射波形画反射波形uu波疏波疏波密波密u注意：注意：是是半波反射，半波反射，反射点应为波节。反射点应为波节。练练习习2. 教材教材 P.509 15.8 t = 0 时时 原点处原点处为反射点Pv, 0, 000已知：已知：平面简谐行波平面简谐行波 A、 、u 沿沿 + +x 传播传播求：求： 1)1) 入射波函数；入射波函数；2) 反射波函数；反射波函数；3) x 轴上干涉静止点（驻波波节）位置。轴上干涉静止点（驻波波节）位置。密密疏疏OP43x入uP.88 (13-20)20原点初相)22cos(0tA2)(2cosuxtA入解：解：1) t = 0 时时 原点处原点处, 0, 000v密密疏疏OP43x入u2) 入射波在反射点入射波在反射点P引起的振动引起的振动2)(2cosuxtA入半波半波损失损失反射波在反射波在P点振动