泰勒公式及其应用

1、泰勒公式及其应用摘要：泰勒公式是数学分析中的重要内容，集中体现了微积分中“逼近法”的思想，在理论分析和实际应用中经常涉及。本文首先阐述了泰勒公式的定义和基本内容，然后在基本概念的基础上举例实证，探讨了泰勒公式在求极限，级数收敛，定积分，近似计算，根的存在性，函数的凹凸性及拐点，行列式计算这几个方面的应用与技巧。通过这几个方面的研究，使我们在特定的题设条件下形成特定的解题思路，使一些问题得到更好的解答。关键词：泰勒公式；导数；极限；近似计算Taylor Formula and It”s ApplicationsAbstract:Taylor Formula is a very important

2、 content of mathematical analysis, it can intensively embody the soul of “approximation“ of calculus, and it is extensively applied in the theoretical analysis and practical application. Firstly, this paper states the definition and primary content about it, then discusses its applications and skill

3、s in some aspects by enumerating examples basing on the concept, such as limitation, series convergence, definite integral, approximate calculation, existence of roots, concavity and convexity of function, flecnode of function, determinant calculation. Through the study of the aspects above, this pa

4、per aims to form the special thoughts in special situations, and enable us to solve the problem more efficiently.Keyword: Taylor formula;derivative;limit;approximately considerations目录 1 引言 （1） 2 泰勒公式的基本理论 （1） 2.1 泰勒公式的定义 （1）2.2 泰勒公式的类型 （2）3 泰勒公式的应用 （4）3.1 利用泰勒公式判断级数敛散性 （4）3.2 利用泰勒公式求极限 （5）3.3 利用泰勒公

5、式求近似值 （6）3.4 利用泰勒公式证明不等式 （7）3.5 利用泰勒公式研究函数的性质 （8）3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 （9）4 结论 （10）参考文献 （12）III泰勒公式及其应用1 引言 1715年，泰勒在其著作正的和反的增量方法中首先提出了著名的泰勒公式：当时变称作麦克劳林公式。1772年，拉格朗日强调了这条公式的重要性，而且称之为微分学基本定理，但是泰勒在证明中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，直到十九世纪二十年代才由柯西完成。在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越

6、函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。那么一个函数只有什么条件才能用多项式函数近似代替呢？这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么关系呢？用多项式函数近似代替这个函数误差又怎么样呢？通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是微积分学中的重要内容，在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明等方面，泰勒公式是有用的工具2 泰勒公式的基本理论 2.1泰勒公式的定义 我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数在点处可导，则有即在点附近，用一次多项式逼近函数时，其误差为的高阶无穷小量。然而在很多场合，取

7、一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为，其中为多项式的次数。为此，我们考察任一次多项式逐次求它在点处的各阶导数，得到即由此可见，多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定。 对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数。由这些导数构造一个次多项式 称为函数在点处的泰勒多项式，的各项系数称为泰勒系数。 2.2 泰勒公式的类型 1 带有佩亚诺余项型的泰勒公式： 若函数在点存在直到阶导数，则有 2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 泰勒定理 若函数在上有阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意的，必存在一点，使得 （1） 其中称为拉格朗日型余项。3 带有拉格朗日型余

8、项的麦克劳林公式在（1）式中设，有 下面是5个常用的麦克劳林公式 （2） 3 泰勒公式的应用泰勒公式及其几个常见函数的展开式，阐述了泰勒公式在判断级数敛散性，求行列式的值，求近似计算，证明不等式，求函数极限等方面的应用。下面从讨论级数敛散性、计算极限、证明不等式、研究函数性质、证明不等式等几个方而来探讨泰勒公式的应用。3.1 利用泰勒公式判断级数的敛散性判断级数的敛散性，最主要的问题是求出级数的极值，且希望极值，利用泰勒公式就可以较容易的解决。例1：讨论级数的敛散性解：由泰勒展开式（2）得： 选取比较级数因为而级数收敛，所以由级数敛散性判别定理1知级数收敛。3.2 利用泰勒公式求极限 有时候利

9、用洛必达法则求极限会遇到比较复杂的运算，步骤也多，而利用泰勒公式来求极限，则会简单得多。例2：假设，并且， 证明：证：按题设有其中又因为存在，故 所以 从而有 注意到 上式两边去极限可得3.3 利用泰勒公式求近似值当要求的算式不能得出它的准确值，只能求得靠近似值，这时候，泰勒公式是解决这种问题的好方法。例3：当充分小时，推导近似公式，解：因为在邻域内任意阶可导，故由带佩亚诺余项的泰勒公式，可得 另一方面，因为在邻域内任意阶可导，且在该邻域内。由带佩亚诺余项的泰勒公式的唯一性得对比上面两个式子，由泰勒公式的唯一性得所以 即有 可得 ， ， ， 于是 由此可见，当足够小时，有 。3.4 利用泰勒公

10、式证明不等式利用泰勒公式的各种展开式，可以比较容易的证明不等式 。 例4：假设是可微分二次的函数，且 ，证明不等式证： 由泰勒公式对任何都有 （3） （4）其中位于与之间，位于与之间（3）式减去（4）式得到即 所以 即 上式对任何都成立，故左边二次式的判别式必小于等于0，即 即 由的任意性有 。3.5 利用泰勒公式研究函数的性质在利用泰勒公式研究各种函数的性质时，往往都要用到泰勒展开式。例5：设为一次多项式，若皆为正值。证明在上无根。证：在题设条件下，假定，使得，注意多项式处处任意阶可导，故存在，使得，于是，由泰勒公式，在上，有注意，故中，所以任一项 即，假定有误，由的任意性及知在上无根。3.

11、6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式例6：将多项式表为的幂的多项式解：令，则，代入表达式中得 故关于的幂的多项式为 其实泰勒公式的应用远远不止这些，在这里只能说明一部分，也证明了泰勒公式的应用面之广。但是，在某些特定的情况下，使用泰勒公式才能做到方便和快捷，例如在证明不等式时，当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合不等式时，作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往使证明简单不少；还有就是利用泰勒公式求近似值时，当离越来越远，效果会越来越差，甚至产生完全错误的结果。所以，泰勒公式不是万能的，利用泰勒公式的时候要对具体的情况进行分析，否则可能会得到相反的结果。4 结论 在对函数的某些形态进

12、行理论分析时，泰勒公式大有用武之地，是最有力的数学工具之一，在数学的各个分支中等都有广泛的应用，包括求极限，级数的敛散性，近似值，不等式，函数的性质和初等函数的幂级数展开式等。从近似计算角度来说，泰勒公式对附近的有较高的精度，在求极限方面节省的很多步骤和时间。参考文献1华东师范大学数学系.数学分析（第三版）M.北京：高等教育出版社，2005，134-141.2吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏.数学分析学习指导书M.北京：高等教育出版社，2004.158-163.3刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义M.北京：高等教育出版社，1960，226-235.4萧治经.D语言数学分析M.广州：广东高等教育出版社，2004，115-120.5廖良文，许宁.数学分析习题全解M.合肥：安徽人民出版社，2005，286-316.6陈纪修，於崇华，金路.数学分析M.北京：高等教育出版社，1999，192-207. 7李惜雯.数学分析例题解析及难点注释M.西安