李尚志教授线性代数

1、 线性代数线性代数 新教材精彩案例新教材精彩案例 李尚志李尚志 北京航空航天大学北京航空航天大学 2022-2-17一、一、 指导思想指导思想 1 1、主题、主题 文学文学: : 永恒主题永恒主题 = = 爱爱 + + 死死 ? ? 数学数学: : 重要主题重要主题 = = 方程方程+ +函数函数 微积分微积分: : 非线性非线性线性线性 线性代数线性代数: : 多元一次方程组多元一次方程组+ +多元一次函数组多元一次函数组2022-2-17 空间解析几何空间解析几何 = 3 = 3 维线性代数维线性代数 线性代数线性代数 = n = n 维解析几何维解析几何 空间为体，矩阵为用空间为体，矩阵

2、为用 几何问题几何问题矩阵语言描述矩阵语言描述 矩阵运算解决矩阵运算解决 几何解几何解 方程组方程组几何描述几何描述代数语言描述代数语言描述 矩阵运算求解矩阵运算求解2 2、代数几何熔一炉、代数几何熔一炉2022-2-17 几何几何 PK PK 代数代数 几何好看不好算几何好看不好算 代数好算不好看代数好算不好看 几何几何代数代数: : 帮助计算帮助计算 代数代数几何：帮助理解几何：帮助理解2022-2-17 内容内容: : 最简单最简单的方程的方程 - - 一次方程一次方程 最简单最简单的函数的函数 - - 一次函数一次函数 算法少：只有两个算法少：只有两个 (1) 矩阵初等变换，矩阵初等变

3、换，(2) 矩阵乘法。矩阵乘法。 通过初等矩阵相互转化通过初等矩阵相互转化 1 . 5 1 . 5 个个3 3、线性代数之易、线性代数之易2022-2-17 不怪抽象，不怪学生不怪抽象，不怪学生 怪谁：只为考试死记硬背，不解决问题怪谁：只为考试死记硬背，不解决问题 解方程组只会用中学代入法解方程组只会用中学代入法; ; 判定方程判定方程组解的惟一性不会用线性无关组解的惟一性不会用线性无关; ; 算旋转算旋转不会用矩阵乘法不会用矩阵乘法; ; 算旋转轴不会用特征算旋转轴不会用特征向量向量; ; 抽象抽象= =许多不同事物共同点许多不同事物共同点= =难得糊涂难得糊涂 = =放之四海皆准放之四海皆

4、准= =无招胜有招无招胜有招4 4、线性代数之难、线性代数之难: :抽象抽象2022-2-17 学会少量算法，解决大量问题学会少量算法，解决大量问题 各种问题各种问题转化转化(凌波微步凌波微步)少量算法少量算法 无招胜有招无招胜有招 如何实现：通过有招学无招如何实现：通过有招学无招 积累案例，使用案例积累案例，使用案例 案例：阳春白雪案例：阳春白雪下里巴人下里巴人 抽象数学抽象数学贴近生活，喜闻乐见，易学易用贴近生活，喜闻乐见，易学易用5 5、线性代数之教学任务、线性代数之教学任务 博客与视频博客与视频 http:/ http:/ 比梦更美好比梦更美好, , 名师培养了我名师培养了我 数学家的

5、文学故事数学家的文学故事 数学聊斋数学聊斋, , 数学诗选数学诗选视频视频: 李尚志李尚志访谈访谈: :教育人生教育人生数学的草根本色数学的草根本色 CCTV1CCTV1见证与亲历见证与亲历: :首博诞生记首博诞生记 网上资源网上资源 http:/ 精品课程精品课程国家级国家级 数学实验数学实验(2003),(2003),线性代数线性代数(2004)(2004) http:/教育部教育部 线性代数线性代数( (非数学专业非数学专业)(2006)(2006) 高等数学高等数学 (2008) (2008) (郑志明郑志明) ) 联系办法联系办法: 2022-2-17 数学的神韵数学的神韵 科学出版

6、社科学出版社 2010.42010.4 新书介绍新书介绍 已出版教材已出版教材 李尚志李尚志, , 线性代数线性代数( (数学专业用数学专业用),), 高等教育出版社高等教育出版社,2006.5,2006.5 精品课程网页精品课程网页http:/ 2022-2-17案例案例1.1 解解n n元元一次方程组一次方程组 与中学接轨：与中学接轨：加减消去法加减消去法 各方程乘常数再相加各方程乘常数再相加 = = 线性组合线性组合 原方程组解原方程组解新方程解新方程解原方程解原方程解? ? 怎样保证怎样保证: :变形前后互为线性组合变形前后互为线性组合! ! 怎样实现怎样实现: :初等变换初等变换,

7、,高斯消去法。高斯消去法。 只计算系数只计算系数: :矩阵消元矩阵消元. . 只用到加减乘除只用到加减乘除: :数域数域2022-2-17案例案例2.1 方程组惟一解问题方程组惟一解问题 例例1.1.过已知点过已知点 的多项式函数曲线的多项式函数曲线 方程组的解是否惟一方程组的解是否惟一: :2022-2-17 方程组惟一解问题方程组惟一解问题 例例2 2. .已知电压与各电阻已知电压与各电阻, ,求各段电流求各段电流 对任意电阻值有惟一解对任意电阻值有惟一解? ? 物理：物理：yes.yes. 代数：方程组总有惟一解吗？代数：方程组总有惟一解吗？二元一次方程组的几何意义二元一次方程组的几何意

8、义写成向量形式写成向量形式惟一解条件惟一解条件: : OA,OB 不共线不共线 , ,组成平面上一组基组成平面上一组基案例案例2.2 n=2,3的几何解法的几何解法用各用各aj j 线性组合线性组合 b, ,何时系数惟一？何时系数惟一？案例案例2.3. n元方程组几何解释元方程组几何解释2022-2-17案例案例2.4 共线共面概念推广共线共面概念推广 几何概念难推广，用代数运算描述易推广几何概念难推广，用代数运算描述易推广 两向量两向量a, ,b共线共线 一个是另一个的实数倍一个是另一个的实数倍 xa+yb=0 有非零解有非零解 (x,y). 三向量三向量a,b,c共面共面 一个是另两个的线

9、性组合一个是另两个的线性组合 推广到推广到 n n 维向量维向量 线性相关线性相关: : 有非零解有非零解 线性无关线性无关: : 只有零解只有零解 若有解必惟一若有解必惟一xa+yb+zc=0 有非零解有非零解 (x,y,z)解方程组解方程组OB顺时针方向旋直角顺时针方向旋直角到到 与方程两边作内积消去与方程两边作内积消去y，得得是平行四边形是平行四边形OAPB有向面积有向面积. 称为二阶行列式。称为二阶行列式。 案例案例3.1 二阶行列式二阶行列式: :几何定义几何定义利用基本性质计算利用基本性质计算 2 阶行列式阶行列式利用基本性质计算：利用基本性质计算：= 案例案例3.2 三阶行列式三

10、阶行列式几何定义：几何定义：D D=a (bc) 平行六面体有向体积平行六面体有向体积2022-2-17案例案例3.3 n n阶行列式定义阶行列式定义 3 3阶算法：阶算法： 各列取不同行元素各列取不同行元素ai,bj,ck相乘再乘相乘再乘d d(ijk) =(-1)=(-1)s s. . d d(ijk)是自然基列向量是自然基列向量e ei,e,ej,e,ek排排成的行列式成的行列式, ,经经s次两列互换为次两列互换为d d (123)=1. . n 阶行列式阶行列式 D D= = 排列排列 经经s次对换变成次对换变成 则则 在在 中将中将1,2,依次往前一步步换依次往前一步步换到第到第1,

11、2, 位位. .则则 s = = 逆序数逆序数2022-2-17案例案例3.4 行列式判定线性无关行列式判定线性无关 方阵方阵A的行列式的行列式(n(n维体积维体积) ) D D 0 0 各列线性无关各列线性无关方程组方程组Ax=b有惟一解有惟一解。 证明证明: : A 的各列的各列 a1 1,an n 线性相关线性相关 某列某列 ai 是其余各列的线性组合是其余各列的线性组合 将各列将各列aj的的l lj 倍加到第倍加到第i i列列 A的第的第i列化为零列化为零 D D=0. 可见：可见：D D 0 各列线性无关各列线性无关. 反过来反过来: D D= =0 初等行变换化成阶梯形初等行变换化

12、成阶梯形, , 最后一行为零最后一行为零 各列线性相关各列线性相关. 2022-2-17案例案例3.5 惟一解公式惟一解公式(Crammer)(Crammer) 以以n=3为例为例: : 左边第左边第2 2列乘列乘-y,-y,第第3 3列乘列乘-z,-z,各加到第各加到第1 1列列 再提取公因子再提取公因子x,x,得得 x xD D= =D D1 1 x= x=D D1 1/ /D D. 类似可得类似可得 y=y=D D2 2/ /D D, z=z=D D3 3/ /D D.案例4.1 秩与维数的惟一性 向量组向量组 A=A=(a1, am) 的线性组合的线性组合 B= =(b1,bk) .

13、km B 线性相关线性相关. . 记记A的线性组合的线性组合 b 为乘积形式为乘积形式 则则 (3)(3) k k个个m维数组维数组X Xj j线性相关线性相关 b bj j线性相关线性相关 A,BA,B互为线性组合且线性无关互为线性组合且线性无关 m=km=k案例4.2 矩阵乘法的引入 矩阵矩阵 A=A=(a1, am) 看成列向量组看成列向量组 线性组合线性组合 a1x1+anxn 写成写成“行向量行向量”A”A乘乘 列向量列向量 X A A与矩阵与矩阵X=(X1 1, , Xk k)的乘积的乘积: A: A乘各列乘各列 AX=A(XAX=A(X1 1,X Xk k)=(AX)=(AX1

14、1,AXAXk k) ) 实际上是利用分块运算引入矩阵乘法实际上是利用分块运算引入矩阵乘法案例4.3 矩阵乘法运算律 乘法法则乘法法则 对角阵对角阵 纯量阵与单位阵纯量阵与单位阵案例4.3 矩阵乘法运算律 分配律分配律 A(X+Y)=AX+AY. A(X+Y)=AX+AY. (1) X,Y(1) X,Y只有一列：合并同类项只有一列：合并同类项 (2)X,Y(2)X,Y有若干列有若干列: : 逐列比较逐列比较案例4.3 矩阵乘法运算律 结合律结合律 (AB)C = A(BC). (AB)C = A(BC). (AX)l l=(a1x1+anxn)l l =a1(x1l l)+an(xnl l)=

15、 A(Xl l) (AB)L L= = A(BL L) (AB)Cj=A(BCj)案例4.4 运算律应用例 例例1. 例例2.2. 求求 AB, AAB, An n. . X XAX:AX:旋转角旋转角a . a . OPOP=(x,y)=xe1+ye2 OQOQ=xe2+y(-e1)=(-y,x) OP=(OP=(coscosa)a)OP+(sinOP+(sina)a)OQOQ 例例3. . 3. . 求求 A A1010. . 解解. .A=A=l lI I+ N ,+ N , 例例4. .4. .求求 B B 使使 B B1010=A=A 解解. .A=I+ N ,A=I+ N , 易验

16、证易验证 B B 满足要求。满足要求。 例例5.5.解微分方程组解微分方程组 解解. . 通解通解X= X= e eAtAtC.eC.eAtAt由由TaylorTaylor级数定义级数定义. . 令令 , ,则则 N N2 2 = O= O 例例6.6.矩阵求逆（解矩阵方程组矩阵求逆（解矩阵方程组) ) 解解. .解方程组解方程组 AX=IAX=I。按列分块：。按列分块： A(X1,Xn)=(e1,en ) 分别解分别解 AXj = ej. 分别做初等变换（分别做初等变换（A,eA,ej j)-)-( (I,XI,Xj j) ) 同时做同时做 (A,e(A,e1 1, ,e,en n) )(I

17、,X(I,X1 1, , ,X Xn n) ) 即即(A,I)(I,X),X=A-1. 解解 AX=BAX=B，(A,B)(A,B)(I,X).(I,X).案例案例5.1 最小二乘法最小二乘法(1)(1) 例1.过三点(3.7,0.9),(4.0,0.6),(4.2,0.35)作直线y=y=kx+bkx+b. . 解. 解方程组解方程组 即即 kaka1 1+ba+ba2 2=c.=c. 求求D D与与C C距离最近距离最近. . 几何解几何解:DC:DC平面平面p. p. ATAX=ATc 案例案例5.2 最小二乘法最小二乘法(2)-(2)-内积内积 例2.过n点(xi,yi)作直线y=y=

18、kx+bkx+b. . 解.解方程组解方程组 kaka1 1+ba+ba2 2= =c,AXc,AX=c.=c. a a1 1,a,a2 2是是n n维向量维向量. . 内积推广到内积推广到R Rn n. . 仍求距离仍求距离CDCD最短最短. . 为什么为什么DCDC平面平面p?p? 勾股定理勾股定理: CP2=CD2+DP2 CD2. , ATAX=ATc 案例案例5.3 勾股定理的理由勾股定理的理由 (a-b)(a-b)2 2 = = a(a-b)+(-b)(a-ba(a-b)+(-b)(a-b) ) = = aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-baa+a(-b)+(-b)a+(-

19、b)(-b) ) = a = a2 2 -2ab +b-2ab +b2 2 对向量对向量 a,ba,b 仍成立仍成立: : AB AB 2 2 = =CACA2 2 + + CB CB 2 2 -2 -2CACA* *CB CB * *cosCcosC 完全平方公式完全平方公式 = = 余弦定理（含勾股定理余弦定理（含勾股定理) ) 对数组向量对数组向量 a,ba,b 也成立。也成立。案例案例5.4 Cauchy Cauchy不等式不等式 例3.Cauchy不等式的理由. 向量向量 a=OA,b=OB 夹角夹角q |cosq| =|(a,b)|/(|a|b|) 1 (a,b)2|a|2|b|2 为什么为什么|cosq| 1? 直角边直角边| |OC| 斜边斜边