梅逊增益公式及应用

1、梅逊增益公式及应用梅逊增益公式及应用信号流图上从输入节点（源节点）输出节点到信号流图上从输入节点（源节点）输出节点到(汇节点汇节点)的总增的总增益公式，即益公式，即梅逊公式梅逊公式(Mason)，表达式为：，表达式为：一定要记住的公式！一定要记住的公式！ nkkkPsRsCsGT11)()()(式中：式中：TG(s)从输入节点到输出节点之间的从输入节点到输出节点之间的总增益总增益( (即传递函数即传递函数) )；n为从输入节点到输出节点之间为从输入节点到输出节点之间前向通路前向通路的总数；的总数；P k为第为第K条前向通路的增益；条前向通路的增益； 信号流图信号流图特征式特征式，是信号流图所表

2、示的代数方程组的系数，是信号流图所表示的代数方程组的系数 行列式；行列式；式中：式中： L1信号流图中信号流图中所有不同回环所有不同回环的的增益之和增益之和； L2所有两个互不接触回环所有两个互不接触回环增益的增益的乘积之和乘积之和； L3所有三个互不接触回环所有三个互不接触回环增益的增益的乘积之和乘积之和； Lm所有所有m个互不接触回环个互不接触回环增益的增益的乘积之和乘积之和。 )()()(1增增益益乘乘积积之之和和所所有有三三个个互互不不接接触触回回路路益益乘乘积积之之和和增增所所有有两两个个互互不不接接触触回回路路所所有有不不同同回回路路增增益益之之和和 mmLLLL)1(1321 k

3、第第K条前向通路的条前向通路的信号流图特征式的余子式信号流图特征式的余子式，即从即从 中中除去与第除去与第K条前向通路条前向通路相接触的闭环回路相接触的闭环回路后余下的部分后余下的部分( (又称为因子又称为因子) )。 这个公式看起来是不是很难呢？实际上这个公式看起来是不是很难呢？实际上它很容易掌握的，我们来做几个例题吧它很容易掌握的，我们来做几个例题吧！ mmLLLL)1(1321R(s)C(s)11G2G3G4-G6G1-G5-G7试用梅逊公式计算图试用梅逊公式计算图示示系统的总增益。系统的总增益。解：解：输入节点输入节点R(s)和输出节点和输出节点C(s)之间只有一条前向通路之间只有一条

4、前向通路。 n=1，通路增益为：，通路增益为： P1=G1G2G3G4 三个回路：三个回路： L1 =G2G3G6 L2 =G3G4G5 L3 =G1G2G3G7 L1 = - G2G3G6 - G3G4G5 - G1G2G3G7 三个回环之间都有公共节点，流图特征式为三个回环之间都有公共节点，流图特征式为 ： =1- L1- L2-. =1+ G2G3G6+G3G4G5+G1G2G3G7三个回环均与前向通路三个回环均与前向通路P1接触，所以接触，所以 1=1 根据梅逊公式，系统总增益为：根据梅逊公式，系统总增益为：743215436324321111)()()(GGGGGGGGGGGGGGG

5、PsRsCsG R(s)C(s)11G2G3G4-G6G1-G5-G7 nkkkPsRsCsGT11)()()()(1sG)(3sGC(s)H1(s)+R(s)+H2(s)(2sGR(s)C(s)111G1G2G3-H2-H1-13211GGGP 1211HGGL 3213GGGL 3212321213111GGGHGGHGGLii 11 3212321213211111)()(GGGHGGHGGGGGPsRsCT 2322HGGL R(s)C(s)111G1G2G3-H2-H1-1例：例：求系统的总增益。求系统的总增益。)(1sG)(4sGC(s)G5(s)+R(s)+)(3sG)(7sG)

6、(2sG+G6(s)R(s)C(s)11G1G2G3-G5G4G6-G7解：解：两条前向通路两条前向通路: P1 = G1G2G3G4 P2 = G1G6闭环回路三条闭环回路三条: L1 = -G3G5 L2 = -G1G2G3G4G7 L3 = -G1G6G7互不接触回路为互不接触回路为: L1和和L3 =1- Li + Li Lj =1+G3G5+G1G2G3G4G7+G1G6G7+ G1G3G5G6G7 1=1 2= 1+G3G576531761743215365316143211)(GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGsGT R(s)C(s)11G1G2G3-G5G4G6

7、-G7 解：解： 首先确定信号流图中由首先确定信号流图中由输入输入节点到节点到输出输出节点间的前向节点间的前向通路数通路数,由由图可知：图可知： 例例: : 试利用梅逊公式求下图所示信号流的总增益。试利用梅逊公式求下图所示信号流的总增益。 n= 2，且有：且有： P1=acegi P2=kgi L1=abcdef ghij kfdb L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij L3=abefij =1- L1+ L2- L3 =1- （ abcdef ghij kfdb ）+ （ abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij ）-

8、 abefij第一条前向通路与所有回第一条前向通路与所有回路路均有接触，所以均有接触，所以 1=1 第二条前向通路与第二条前向通路与回回路路cd不接触，所以不接触，所以 2=1-cd)()(1/ )(1)(3212211abefijkfabijefijcdijcdghabijabghabefkfabijghefcdabkgicdkgiacegiLLLPPsGT +R(s)+G1G2G3C(s)H1H2E(s)G4+求求C(s)/R(s)与与E(s)/R(s)C(s)/R(s)R(s)C(s)11G1G2G3-H2-H11-1G4 4123211GGPGGGP 前向通道：前向通道：反馈回路：反馈

9、回路：245414321323221211HGLGGLGGGLHGGLHGGL 121 24413212321211HGGGGGGHGGHGG 24413212321211HGGGGGGHGGHGG 4123211GGPGGGP 24413212321211HGGGGGGHGGHGG 121 24413212321214132111HGGGGGGHGGHGGGGGGGPsGkk R(s)1G1G2G3-H2-H11-1G4 E(s)/R(s)E(s)1前向通道：前向通道：11 P反馈回路：反馈回路：245414321323221211HGLGGLGGGLHGGLHGGL 24413212321211HGGGG