第二章图形的变换（姜小龙）

1、第二章 图形的变换 图形变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，很好地领会这种解题的思想实质，并能准确合理地使用，在几何的解题中，当题目给出的条件显得不够或者不明显时，我们可以将图形作一定的变换，这样将有利于发现问题的隐含条件，抓住问题的关键和实质，使问题得以突破，找到满意的解答，也将有效地提高思维品质 初中图形变换包含平移、翻折和旋转，我们要通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题.2.1 图形的平移与对称火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿着一条直线运动 上面图片反映的是

2、日常生活中物体运动的一些场景你还能举出一些类似的例子吗？与同伴交流在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移（translation）平移不改变图形的形状和大小.一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等例1 如图，将面积为 5 的 ABC 沿BC 方向平移至 DEF 的位置，平移的距离是边 BC 长的两倍，那么图中的四边形 ACED 的面积是多少？分析 (1)对应点的距离等于平移的距离；(2)利用“平移前后的两个图形全等”“平移前后对应线段平行且相等”是解决平移问题的基本方法解 设

3、点A到BC的距离为h，则SABCBC·h5.平移的距离是BC的长的2倍，AD2BC，CEBC，四边形ACED的面积(ADCE)·h(2BCBC)·h3×BC·h3×515. 例2 如图，两个全等的ABC和DEF重叠在一起，固定ABC，将DEF进行如下变换：（1）如图1，DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD，请直接写出SABC与S四边形AFED的关系；（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么ABC应满足什么条件？请给出证明；（3）在（2）的条件下，将DEF沿DF折叠，

4、点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sinCGF的值分析 (1)由平移可知AD=BE，从而可得SDBE=SDFA，SABC=SDFE，SDFE=SDFB+SDBE，SABC=S四边形AFBD；（2）若四边形AFBD是正方形，则AFB=90°，AF=BF，又CF=BF，从而可知AF=AF=BF，从而可得BAC=90°，AB=AC；（3）由（2）知，ABC为等腰直角三角形, 从而可知GF=2CF，设CF= k,则GF=EF=CB=2k，由勾股定理，得：CG=k,从而可求得sinCGF=.解 (1) SABC=S四边形AFBD；(2) ABC

5、为等腰直角三角形，即：AB=AC，BAC=90°,理由如下：为BC的中点，CF=BF，CF= AD，AD= BF，又ADBF，四边形AFBD为平行四边形，AB=AC,为BC的中点，AFBC，平行四边形AFBD为矩形，BAC=90°,F为BC的中点，AF=BC=BF，四边形AFBD为正方形；(3) 正确画出图形由（2）知，ABC为等腰直角三角形, AFBC，设CF=k，则GF=EF=CB=2k，由勾股定理，得：CG=k，sinCGF=.例3 如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，ABCD的顶点A的坐标为(-2，0)，点 D的坐标为 (0，)，点B在轴的正半轴上，点E为线段

6、AD的中点，过点E的直 线与轴交于点F，与射线DC交于点G. (1)求DCB的度数； (2)当点F的坐标为(-4，0)时，求点G的坐标； (3)连结OE，以OE所在直线为对称轴，OEF经轴对称变换后得到OEF，记直线EF与射线DC的交点为H. 如图2，当点G在点H的左侧时，求证：DEGDHE； 若EHG的面积为，请直接写出点F的坐标. （图2）（图1） 解：(1) 在RtAOD中， tanDAO=， DAB=60°. 四边形ABCD是平行四边形 DCB=DAB=60° (2) 四边形ABCD是平行四边形 CDAB DGE=AFE又DEG=AEF，DE=AEDEGAEF DG

7、=AFAF=OF-OA=4-2=2DG=2点G的坐标为(2，) (3)CDABDGE=OFEOEF经轴对称变换后得到OEFOFE=OFE DGE=OFE 在RtAOD中，E是AD的中点 OE=AD=AE 又EAO=60° EOA=60°， AEO=60°又EOF=EOA=60° EOF=OEAADOF OFE=DEHDEH=DGE又HDE=EDGDHEDEG 点F的坐标是F1(，0)，F2(，0). (给出一个得2分) 轴对称与轴对称图形  轴对称轴对称图形定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这

8、条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点 如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称 轴对称与轴对称图形的区别与联系： 区别联系轴对称轴对称是指两个图形的对称关系把轴对称的两个图形看成一个“整体”（一个图形），则称为轴对称图形；把轴对称图形的互相对称的两个部分看成“两个图形”，则它们成轴对称轴对称图形轴对称图形是指具有某种对称特性的一个图形轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形全等；对称点的连线段被对称轴垂直平分；对应线段所在的直线如果相交，则交点在对

9、称轴上；轴对称图形的重心在对称轴上例4 如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C的位置，BC交AD于点G（1）求证：AG=CG；（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长分析：（1）通过证明GABGCD即可证得线段AG、CG相等；（2）在直角三角形DMN中，利用勾股定理求得MN的长，则EN-MN=EM的长解：（1）证明：沿对角线BD对折，点C落在点C的位置，A=C，AB=CD在GAB与GCD中，AB CD，AC，AGBCGD GABGCDAG=CG；（2）点D与点A重合，得折痕EN，ENAD，MN=

10、3，由折叠及平行线的性质可知END=NDC=NDE，EN=ED，设EM=x，则ED=EN=x+3，由勾股定理得ED2=EM2+DM2，即（x+3）2=x2+42，解得x= ，即EM= 智慧园地1.平移改变的是图形的 （ ） A 位置 B 大小 C 形状 D 位置、大小和形状2.经过平移，对应点所连的线段 （ ） A 平行 B 相等 C 平行且相等 D 既不平行,又不相等3.经过平移,图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离,下面说法正确的是（ ） A 不同的点移动的距离不同 B 既可能相同也可能不同 C 不同的点移动的距离相同 D 无法确定 4下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

11、 ） A等边三角形 B等腰梯形 C平行四边形 D正六边形（第6题） 5下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A正方形 B矩形 C菱形 D平行四边形 6ABC平移到DEF.如果AB8 cm，BE4 cm，DH3 cm，求图中阴影部分的面积.（第1题）拓展延伸1如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，求y关于x的函数关系式？ 2如图，在平面直角坐标系中，ABOB8，ABO90°，yOC45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度

12、向右平行移动，当射线OC经过B点时停止运动设平行移动x秒后，射线OC扫过RtABO的面积为y.（第2题）(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x3秒时，射线OC平行移动到OC，与OA相交于点G，如图所示，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式； 2.2 图形的旋转日常生活中，我们经常见到（钟表、风扇、汽车方向盘，摩天轮，旋转木马 上面图片反映的是日常生活中物体运动的一些场景你还能举出一些类似的例子吗？与同伴交流在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转（rotation），这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 旋转不改变图形的形状和大小一个图形和它经过旋

13、转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等如图（1）作出ABC绕点O旋转180°的图形； （2）以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？ 图25 像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分中心对称的两个图形是全等图形例1 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=，ABF是

14、ADE的旋转图形 （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF的长度是多少？（4）如果连结EF，那么AEF是怎样的三角形？ 图26分析：由ABF是ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到。ABF与ADE是完全重合的，所以它是直角三角形 解：（1）旋转中心是A点 （2）ABF是由ADE旋转而成的 B是D的对应点 DAB=90°就是旋转角 （3）AD=1，DE= AE= 对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点 AF=（4）EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE EAF是

15、等腰直角三角形例2 如图所示，在RtABC中，ABC=90°将RtABC绕点C顺时针方向旋转60°得到DEC，点E在AC上，再将RtABC沿着AB所在直线翻转180°得到ABF连接AD（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形，为什么？分析：（1）需证明ACD是等边三角形、AFC是等边三角形，即可证明四边形AFCD是菱形（2）可先证四边形ABCG是平行四边形，再由ABC=90°，可证四边形ABCG是矩形解答：（1）证明：RtDEC是由RtABC绕C点旋转60°得到，AC=

16、DC，ACB=ACD=60°，ACD是等边三角形，AD=DC=AC，又RtABF是由RtABC沿AB所在直线翻转180°得到，AC=AF，ABF=ABC=90°，ACB=ACD=60°，AFC是等边三角形，AF=FC=AC，AD=DC=FC=AF，四边形AFCD是菱形 （2）四边形ABCG是矩形 证明：由（1）可知：ACD，AFC是等边三角形，ACBAFB，EDC=BAC=FAC=30°，且ABC为直角三角形，BC=AC，EC=CB，EC=AC，E为AC中点，DEAC，AE=EC，AGBC，EAG=ECB，AGE=EBC，AEGCEB，AG=B

17、C，四边形ABCG是平行四边形，ABC=90°，四边形ABCG是矩形例3 如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；图3ABDGEFOMNC图2EABGFOMNDC图1A( G )B( E )COD( F )（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF

18、的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由分析：（1）只需证OBMOFN，可得BM=FN（2）只需证OBMOFN，可得BM=FN解：（1）BM=FN 证明：GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ABD =F =45°，OB = OF又BOM=FON， OBMOFN BM=FN （2）BM=FN仍然成立 证明：GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，DBA=GFE=45°，OB=OFMBO=NFO=135°又MOB=NOF， OBMOFN BM=FN例4 如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，长方形A

19、EFG的宽AE=，长EF=将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH（如图），这时BD与MN相交于点O（1）求DOM的度数；（2）在图中，求D、N两点间的距离；（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ，请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由分析 （1）由旋转的性质，可得BAM=15°，即可得OKB=AOM=75°，又由正方形的性质，可得ABD=45°，然后利用外角的性质，即可求得DOM的度数；（2）首先连接AM，交BD于I，连接AN，由特殊角的三角函数值，求得HAN=30°

20、，又由旋转的性质，即可求得DAN=45°，即可证得A，C，N共线，然后由股定理求得答案；（3）在RtARK中，利用三角函数即可求得AK的值，与AB比较大小，即可确定B的位置解 （1）根据题意得：BAM=15°，四边形AMNH是矩形，M=90°，AKM=90°BAM=75°，BKO=AKM=75°，四边形ABCD是正方形，ABD=45°，DOM=BKO+ABD=75°+45°=120°；（2）连接AN，交BD于I，连接DN，NH=，AH=，H=90°，tanHAN=，HAN=30

21、6;，AN=2NH=7，由旋转的性质：DAH=15°，DAN=45°，DAC=45°，A，C，N共线，四边形ABCD是正方形，BDAC，AD=CD=3，DI=AI=AC=3，NI=ANAI=73=4，在RtDIN中，DN=5；（3）点B在矩形ARTZ的外部理由：如图，根据题意得：BAR=15°+15°=30°，R=90°，AR=，AK=，AB=3，点B在矩形ARTZ的外部智慧园地1.下列关于旋转和平移的说法正确的是（ ）A旋转使图形的形状发生改变 B由旋转得到的图形一定可以通过平移得到C平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和

22、大小 D对应点到旋转中心距离相等(第2题 )2. 如图，在RtABC中，ACB90°，A30°，BC2，将ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为()A30,2 B60,2 C60， D60，3. 钟表的时针经过20分钟，旋转了_度。4如图所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为 。 (第4题 ) (第5题) (第6题) 5已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图所示）， 把

23、线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 .6如图，已知，在ABC中，CACB，ACB90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将ECF绕点C逆时针旋转度(0°90°)，得到MCN，连接AM，BN.(1)求证：AMBN；(2)当MACN时，试求旋转角的正弦值拓展探究7.把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中ABC=DEF=90°，C=F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，

24、射线DF与线段BC相交于点Q （1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证APDCDQ此时， AP·CQ= （2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为其中0°90°，问AP·CQ的值是否改变？说明你的理由 （3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式 （图2，图3供解题用）()()()B(Q)CFEAP图1图2图38.已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B，连AF，H为AF的中点，连EH，正方形EBGF绕点B旋转（1）如图1，当F点落在BC上时，求证：EH=FC；（2）如图

25、2，当点E落在BC上时，连BH，若AB=5，BG=2，求BH的长；（3）当正方形EBGF绕点B旋转到如图3的位置时，求的值2.3 几何变换变换是由一种形式转变为另一种形式的思想, 变换是思维的一种方式。几何变换是将几何图形按某种法则或规律变成另一个几何图形的过程, 初中几何变换主要有全等变换和相似变换两类。轴对称 (对折 )、平移、旋转与相似 (放缩 ) 都是图形的运动与变换的例子。几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形之间的关系(平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同样具有

26、“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究.例1 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG

27、；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45°，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）分析（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点；再证明DAGDCG，得出AG=CG；再证出DMGFNG，得到MG=NG；再证明AMGENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG（3）结论依然成立还知道EG

28、CG解（1）证明：在RtFCD中，G为DF的中点，CG=FD，同理，在RtDEF中，EG=FD，CG=EG（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点在DAG与DCG中，AD=CD，ADG=CDG，DG=DG，DAGDCG，AG=CG；在DMG与FNG中，DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG，DMGFNG，MG=NG；在矩形AENM中，AM=EN，在AMG与ENG中，AM=EN，AMG=ENG，MG=NG，AMGENG，AG=EG，EG=CG思考：你还能用其他方法来证明吗？（3）解：（1）中的结论仍然成立即EG=CG其他的结论还有：E

29、GCG 例2 已知四边形ABCD中，AB=BC，ABC=120°，MBN=60°，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F当MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明分析 根据已知可以利用SAS证明ABECBF，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出ABE=CBF=30°，BEF为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE+

30、CF=EF同理图2可证明是成立的，图3不成立解 ABAD，BCCD，AB=BC，AE=CF，ABECBF（SAS）；ABE=CBF，BE=BF；ABC=120°，MBN=60°，ABE=CBF=30°，BEF为等边三角形；AE=BE，CF=BF；AE+CF=BE+BF=BE=EF；图2成立，图3不成立证明图2延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，则BAEBCK，BE=BK，ABE=KBC，FBE=60°，ABC=120°，FBC+ABE=60°，FBC+KBC=60°，KBF=FBE=60°，KBFEBF，KF=

31、EF，KC+CF=EF，即AE+CF=EF图3不成立，AE、CF、EF的关系是AECF=EF例3 如图1，是边长分别为6和4的两个等边三角形纸片ABC和CD1E1叠放在一起（1）操作：固定ABC，将CD1E1绕点C顺时针旋转得到CDE，连接AD、BE，如图2探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？并请说明理由；（2）操作：固定ABC，若将CD1E1绕点C顺时针旋转30°得到CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于点F，在线段CF上沿着CF方向平移，（点F与点P重合即停止平移）平移后的CDE设为PQR，如图3探究：在图3中，除三角形ABC和CDE外，还有哪个三角形是等腰

32、三角形？写出你的结论（不必说明理由）；（3）探究：如图3，在（2）的条件下，设CQ=x，用x代数式表示出GH的长 分析（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC，CD=CE，ACB=ECD=60°，然后求出ACD=BCE，再利用“边角边”证明ACD和BCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）求出ACF=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出CHQ=30°，从而得到ACF=CHQ，判断出CHQ是等腰三角形；（3）求出CGP=90°，然后利用ACF的余弦表示出CG，再根据等腰三角形的性质表示出CH，然后根据GH=CGCH整理即

33、可得解解：（1）BE=CD理由如下：ABC与CDE是等边三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=60°ACBACE=ECDACE，即BCE=ACD在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），BE=AD；（2）旋转角为30°，BCF=30°，ACF=60°30°=30°，CHQ=RQPACF=60°30°=30°，ACF=CHQ，CHQ是等腰三角形；（3）CGP=180°ACFRPQ=180°30°60°=90°，CG=CPcos30°=（

34、x+4），CHQ是等腰三角形，CH=2CQcos30°=2x=x，GH=CGCH=（x+4）x=2x例4 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，ABC=ADC=90°，MAN=BAD（1）如图1，将MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图2，将MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M

35、、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明分析（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换延长MB到G，使BG=DN，连接AG目的就是要证明三角形AGM和三角形ANM全等将MN转换成MG，那么这样MN=BM+DN了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键三角形AMG和AMN中，只有一条公共边AM，可以通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AND中，已知了一组直角，BG=DN，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AN，1=2，那么1+3=2+3=MAN=BAD由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件（SAS），就能得出MN=GM了（2）按

36、照（1）的思路，可以通过全等三角形来实现相等线段的转换在BM上截取BG，使BG=DN，连接AG根据（1）的证法，可得出DN=BG，GM=MN，那么MN=GM=BMBG=BEDN（3）按照（1）的思路，可以通过全等三角形来实现相等线段的转换在DN上截取DF，使DF=BM，连接AG根据（1）的证法，可得出DAF=BAM，AF=AM，那么MN=NF=DNDF=BNBM解（1）证明：延长MB到G，使BG=DN，连接AGABG=ABC=ADC=90°，AB=AD，ABGADNAG=AN，BG=DN，1=41+2=4+2=MAN=BADGAM=MAN又AM=AM，AMGAMNMG=MNMG=BM

37、+BGMN=BM+DN（2）MN=BMDN证明：在BM上截取BG，使BG=DN，连接AGABC=ADC=90°，AD=AB，ADNABG，AN=AG，NAD=GAB，MAN=MAD+MAG=DAB，MAG=BAD，MAN=MAG，MANMAG，MN=MG，MN=BMDN（3）MN=DNBM例5 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（5，0），菱形OABC的顶点B，C在第一象限，tanAOC=，将菱形绕点A按顺时针方向旋转角（0°<<AOC）得到菱形FADE（点O的对应点为点F），EF与OC交于点G，连结AG。（1）求点B的坐标；（2）当OG=4时

38、，求AG的长；（3）求证：GA平分OGE；（4）连结BD并延长交轴于点P，当点P的坐标为（12，0）时，求点G的坐标。来源:Z_x分析（1）如图1，过点B作BHx轴于点H，构建直角ABH，所以利用菱形的四条边相等的性质和解该直角三角形得到AH、BH的长度，则易求点B的坐标；（2）如图1，过点A作AMOC于点M，构建直角OAM和直角AMG，通过解直角OAM求得直角边AM的长度，然后结合图形和勾股定理来求AG的长度；（3）如图1，过点A作AMOC于点M，构建全等三角形：AOMAFN（ASA），利用该全等三角形的对应边相等得到AM=AN，最后结合角平分线的性质证得结论；（4）如图2，过点G作GQx轴于点Q，构建相似三角形：GOABAP，根据该相似三角形的对应边成比例得到求得GQ的长度结合已知条件tanAOC=，来求边OQ的长度，即可得到点G的坐标【解答】解：（1）如图1，过点B作BHx轴于点H，四边形OABC为菱形，OCAB，BAH=COAtanAOC=，tanBAH=又在直角BAH中，AB=5，BH=AB=4，AH=AB=3，OH=OA+AH=5+3=