大学物理B第四章-振动1

1、螳螂虾 和 枪虾1螳螂虾 和 枪虾2螳螂虾螳螂虾高高：身长 30-160 cm富富：武器多、色锥细胞16种帅帅：五彩斑斓、披盔戴甲枪虾枪虾矮矮：身长 5 cm穷穷：武器单一挫挫：其貌不扬螳螂虾捕食34枪虾捕食枪虾捕食5为什么枪虾攻击瞬间温度高达为什么枪虾攻击瞬间温度高达4000度以上？度以上？枪虾攻击与核弹爆炸有联系吗？枪虾攻击与核弹爆炸有联系吗？冲击波与声速？冲击波与声速？ 振动与波动事关最先进的科学与技术振动与波动事关最先进的科学与技术简单的机理蕴含着许多未知之谜简单的机理蕴含着许多未知之谜6第四章第四章7物体在一定的位置附近作来回往复的运动。物体在一定的位置附近作来回往复的运动。机械振动

2、：机械振动：振动：振动：任何一个物理量（物体的位置、电流强度、任何一个物理量（物体的位置、电流强度、电场强度、磁场强度等）在某个确定的数值附近作电场强度、磁场强度等）在某个确定的数值附近作周期性的变化周期性的变化。波动：波动：振动状态在空间的传播。振动状态在空间的传播。1、 物体的来回往物体的来回往复运动（弹簧振子、复运动（弹簧振子、单摆等）单摆等）2、电流、电压的周、电流、电压的周期性变化期性变化8910机械振动的原因：机械振动的原因： 物体所受的物体所受的回复力回复力和物体所具有的和物体所具有的惯性惯性 可以证明任何复杂的振动都可以认为是由若干个简单而又基本振动的合成。这种简单而又基本的振

3、动形式称为简谐运动简谐运动。11124-1-1 简谐运动的基本特征 位移与时间的关系位移与时间的关系： 凡质点的运动遵从余弦（或正弦）凡质点的运动遵从余弦（或正弦） 规律时，其规律时，其运动形式为运动形式为简谐运动简谐运动。)cos(tAy13xo1. 弹簧振子：弹簧振子： 一根轻弹簧和一个刚体构一根轻弹簧和一个刚体构 成的一个振动系统。成的一个振动系统。Fx根据胡克定律：根据胡克定律：（k为为劲劲度系数）度系数）xkF（1 1） 在弹性限度内，弹性力在弹性限度内，弹性力F 和位移和位移x 成正比。成正比。（2 2） 弹性力弹性力F F和位移和位移x 恒反向，始终指向平衡位置。恒反向，始终指向

4、平衡位置。14由牛顿第一定律：由牛顿第一定律：xkdtxdmF22xmkdtxd22得:令mk0222xdtxd微分方程的解：微分方程的解： A、 为积分常数，由初始条件确定。为积分常数，由初始条件确定。tAxcos15 （1）弹簧振子的振动为弹簧振子的振动为简谐运动简谐运动 。 （2）周期：周期：角频率：角频率：（3）弹簧振子的振动频率和周期仅与振子弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性质（本身的性质（k和和m）有关，而与其它因素无）有关，而与其它因素无关。关。mkkmT2216Ol mgT22ddsintsmmgls 很小又22ddsintmlmg2 2、单摆、单摆 sin17lgt22

5、dd 单摆的振动是单摆的振动是简谐运动简谐运动 。lgglT20dd22lgttcos00（1） 为振动角位移，不是相位。为振动角位移，不是相位。 为振幅。为振幅。（2） 、T与与m无关，但无关，但T与与l成正比、与成正比、与g成反比。成反比。18tAxcos简谐运动表达式：简谐运动表达式：简谐运动：简谐运动：物体的运动遵从余弦（或正弦）规律。物体的运动遵从余弦（或正弦）规律。xkF0222xdtxdtAxcos简谐运动的三项基本特征：简谐运动的三项基本特征： 归纳19简谐运动的速度：简谐运动的速度：简谐运动的加速度：简谐运动的加速度：)cos()cos(2tatAdtdvamOTAtxax,

6、vAAavOA2204-1-2 4-1-2 描述简谐运动的物理量描述简谐运动的物理量 tAxcosA ：振幅振幅 ，（最大位移，（最大位移，x =A ） 变量变量 x离离平衡位置的最平衡位置的最大位移量的绝大位移量的绝对值。对值。21 周期周期 T：完成一次全振动所经历的时间完成一次全振动所经历的时间。 ：角频率角频率 ， （圆频率）（圆频率）2频率频率 ：单位时间内完成全振动的次数单位时间内完成全振动的次数。T2TtAtAcoscosTttcoscos2,2TT余弦函数的周期为余弦函数的周期为21T222弹簧振子的频率弹簧振子的频率: 弹簧振子的周期弹簧振子的周期: 结论：结论：弹簧振子的振

7、动频率和周期仅与振子本身的性弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性质（质（k 和和 m）有关，而与其它因素无关。）有关，而与其它因素无关。 由振动系统本身的固有属性所决定的频率和周由振动系统本身的固有属性所决定的频率和周期称为期称为固有频率固有频率和和固有周期固有周期。 mk21kmT2223 ：振动的振动的“初相位初相位 ”。（ t + ) ：振动的振动的“相位相位 ”。决定了谐振动的运动状态决定了谐振动的运动状态(位置和速度位置和速度) t = 0时的相位时的相位00vAxt物体在正向最大处物体在正向最大处物体在平衡位置处物体在平衡位置处023vAxt物体在负向最大处物体在负向最大处物体

8、在平衡位置处物体在平衡位置处max02vvxt)(sintAvtAxcosmax0vv xt24 称为称为速度幅速度幅。 速度相位比位移相位超前速度相位比位移相位超前 /2/2。Avm)cos()cos(2tatAdtdvam 称为称为加速度幅加速度幅。 加速度与位移反相位。加速度与位移反相位。Aam225比较：比较：tAacos2tAxcos结论结论：作简谐运动的质点，其加速度与位移恒作简谐运动的质点，其加速度与位移恒成正比，而方向相反成正比，而方向相反。 注：上式称为注：上式称为“简谐运动的运动学特征方程简谐运动的运动学特征方程 ”。xa2即xdtxd22226质量为质量为m的比重计，放在

9、密度为的比重计，放在密度为 的液体中。已的液体中。已知比重计圆管的直径为知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，。试证明，比重计推动后，在竖直方向的振动为简谐运动。并计算周期。在竖直方向的振动为简谐运动。并计算周期。解：解：取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点平衡时：平衡时：0 Fmg浮力：浮力： VgF其中其中V 为比重计的排水体积为比重计的排水体积0mgF272222dtxdmgxdVmgxmgddtxd42222222dtxdmxdgVgmg0 xxmgd2gmdT4228mkkkk2121212211xkxkF21xxxxkkkx2112k1k22922ddtxmF 2221

10、2122ddtxmxkkkkxkxkkkx2112mkkkk)(21210dd212122xmkkkktxmkkkk212121F3021xxx2121kkkkk xk1k2 xF21FFF21kFkFkF21111kkk2121kkmkkmkmkkkk21212131下列各运动是否为简谐运动下列各运动是否为简谐运动? 振动周期怎样计算振动周期怎样计算?f=f1+f2K=K1+K2f=f1+f2K=K1+K2N个弹簧（k）串联，总劲度系数为k/N; N个弹簧（k）并联，总劲度系数为Nk。324-1-3 4-1-3 简谐运动的旋转矢量表示法简谐运动的旋转矢量表示法 旋转矢量旋转矢量A在在 x 轴

11、上的投影点轴上的投影点 M 的运动规律：的运动规律：结论：结论： 投影点投影点M的运的运动为简谐运动。动为简谐运动。tAo)cos(tAx33yxotAPM 旋转矢量旋转矢量A旋转一周，旋转一周，M点完成一次全振动。点完成一次全振动。 旋转矢量的模旋转矢量的模A：振幅振幅 旋转矢量旋转矢量A的角速度的角速度 ：角频率角频率 t = 0 时，时， A与与x 轴轴的夹角的夹角 ：初相位初相位。 旋转矢量旋转矢量A与与 x 轴轴的的夹角夹角( t+ )： 相位相位2T周期：周期：必须是逆时必须是逆时针方向旋转针方向旋转34利用旋转矢量法作利用旋转矢量法作 x-t 曲线曲线xx(cm)t(s)t=0O

12、OTA12Tt6Tt2Tt3536)cos(2222tAx)cos(1111tAx)()()()(12121122ttt 12121212121212，反相若同步或同相，若）落后（，（若）超前（，（若12A237（1）曲线反映的是质）曲线反映的是质点的振动情况。一个点的振动情况。一个质点的运动方向（速质点的运动方向（速度方向）如图。峰值度方向）如图。峰值v = 0，其余点看后。，其余点看后。（2）图上反映出周期）图上反映出周期T、振幅、振幅A、初位相、初位相、位相。位相。38（3）时间与位移的关系：）时间与位移的关系：tAxcos如质点从平衡点如质点从平衡点到峰值点所需时间到峰值点所需时间t；

13、位相差与时间的关系：位相差与时间的关系：t以上的讨论在单位圆上较为方便。以上的讨论在单位圆上较为方便。x39（4）质点的受力方向及加速度的方向）质点的受力方向及加速度的方向f = - kx 质点受力质点受力f方向与位移方向相反；加速度方向与位移方向相反；加速度a的方向与的方向与f 相同。相同。（5）质点的动能及势能的最大点和最小点位置。）质点的动能及势能的最大点和最小点位置。动能的最大点在平衡位置，最小点在峰值；势能的最动能的最大点在平衡位置，最小点在峰值；势能的最大点在峰值位置，最小点在平衡位置。大点在峰值位置，最小点在平衡位置。x40解题方法解题方法由初始条件求振动方程（确定A和）设 t

14、= 0时，振动位移：x = x0 振动速度：v = v0)(costAxcosAxo)(sintAvsinAvo)(costAx41cosAxosinAvo2222222)cos(sinAAvxoo 不唯一不唯一2020vxAooxvtg42确定确定 两种两种分分析方法：析方法：0, 000vx在第四象限0, 000vx在第一象限0, 000vx0, 000vx在第三象限cosAxosinAvo0Ao0Av0 0v0 048一质点沿一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为轴作简谐运动，振幅为12cm，周期为，周期为2s。当当t = 0时时, 位移为位移为6 cm，且向，且向x 轴正方向运动。求轴正方向

15、运动。求1、振、振动方程。动方程。2、t = 0.5 s时，质点的位置、速度和加速度。时，质点的位置、速度和加速度。3、如果在某时刻质点位于、如果在某时刻质点位于x = -6 cm，且向，且向 x 轴负方向轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：设简谐运动表达式为设简谐运动表达式为已知：已知：A =12 cm , T = 2 s ，12sT初始条件：初始条件：t = 0 时， x0 = 0.06 m , v0 0)(costAxtxcos12. 0（1）490.06 =0.12 cos 3cos210sin0Av0sin3振动方程： yx

16、33)3cos(12. 0tx5015 . 05 . 05 . 0189. 0)3sin(12. 0smtdtdxvttt25 . 025 . 05 . 0103. 0)3cos(12. 0smtdtdvattt设在某一时刻 t1， x = - 0.06 m)3(cos12. 006. 01t代入振动方程：21)3(cos1t（2）（3）51343231或tstt132311x3234stt611233226565653223tt用用旋旋转转矢矢量量解解x322/332sttt6516111252例例6. 两质点作同方向、同频率的简谐运动，振幅相等。两质点作同方向、同频率的简谐运动，振幅相等。

17、当质点当质点1在在 x1= A/2 处，处，且向左运动时，另一个质点且向左运动时，另一个质点2在在 x 2= -A/2 处，且向右运动。求这两个质点的相位差。处，且向右运动。求这两个质点的相位差。)(cos11tAx)(cos21tAA31t0)(sin11tAv31tA-AoA/2/2- -A/2/253322t)cos(22tAA0)(sin22tAv322t)()(21tt)32(3A-AoA/2/2- -A/2/254321arccos13 )21arccos(2554-1-4 4-1-4 简谐运动的能量简谐运动的能量)(sin21212222tAmmvEk)(cos2121222tk

18、AkxEpkm2振子动能：振子动能：振子势能：振子势能：xxov56谐振系统的总机械能：pkEEE)(costAxtAmEk222sin21tkAEp22cos21km22222212121mmvAmkAE57（1） 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。变化，但任一时刻总机械能保持不变。（2）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。（适合于任何谐振系统）成正比。（适合于任何谐振系统）结论结论： 位移最大，势能最大，但动能最小。在振动位移最大，势能最大，但动能最小。在振动曲线的

19、峰值。曲线的峰值。 位移为位移为0，势能为，势能为0，但动能最大。在振动曲，但动能最大。在振动曲线的平衡位置线的平衡位置。58kEEpExOpEAA2p21kxE 弹性势能弹性势能pkEEE59平均值的计算平均值的计算（1） 振动位移的平均值：振动位移的平均值：tAxcosdttATxT0cos10sin10TtTAdttgTgT0)(1（2）谐振动势能的平均值：）谐振动势能的平均值：EkAttkATttkATETTp2141d22cos1211dcos21120222060（3）谐振动动能的平均值：）谐振动动能的平均值：EkAttkATttAmTETTk2141d22cos1211dsin2

20、112022220 平均意义上说，简谐运动系统的能量中一平均意义上说，简谐运动系统的能量中一半是动能，另一半是势能。半是动能，另一半是势能。结论：结论： 归纳：归纳：（1）给定振动系统，）给定振动系统，m、（、（T）、）、k一定。一定。（2）给定初始条件，）给定初始条件，A、 一定。一定。（3）总能量在给定系统后与）总能量在给定系统后与 成正比。成正比。2A61221kAEEEkpEAkkxEAxp4122121222时：当当简谐运动的位移为振幅的一半时，其动能和当简谐运动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能物体在什么位置时其动能和

21、势能各占总能量的一半？和势能各占总能量的一半？解：解：EEEEpk43220212121kAkxAAx707. 021062mXFO例例8：如图有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数如图有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数k=24N/m，重物，重物的质量的质量m= 6 kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力F=10 N向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了动了0.05m，此时撤去力，此时撤去力F。当重物运动到左方最远位置时开始。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。计时，求物体的运动方

22、程。)(204. 02405. 01022212121222mkFSAkAkSmvFS解：解：AyttAy0)cos(12624smk)()2cos(204. 0SIty63EEEAkEEEEpk43412212lgmkmglk2glT22例例9 一物块悬挂在弹簧下方作简谐运动，当这物块的一物块悬挂在弹簧下方作简谐运动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量位移等于振幅的一半时，其动能是总能量 。（设平衡位置处的势能为零）当这物块在平衡位置时，（设平衡位置处的势能为零）当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长弹簧的长度比原长长 ，这一振动系统的周期，这一振动系统的周期为为 。l64 例

23、例10. 一劲度系数为一劲度系数为 k 的轻弹簧，在水平面作振幅的轻弹簧，在水平面作振幅为为 A 的谐振动时，有一粘土（质量为的谐振动时，有一粘土（质量为 m ，从高度，从高度 h 自由下落），正好落在弹簧所系的质量为自由下落），正好落在弹簧所系的质量为 M 的物体的物体上，求（上，求（1）振动周期有何变化？（）振动周期有何变化？（2）振幅有何变）振幅有何变化？设（化？设（a）粘土是在物体通过平衡位置时落在其上）粘土是在物体通过平衡位置时落在其上的；（的；（b）粘土是当物体在最大位移处落在其上的。）粘土是当物体在最大位移处落在其上的。kMmh解：解：（1）下落前）下落前kMT22下落后下落后TkmMT2265（2）（）（a）在平衡位置落下）在平衡位置落下下落前：下落前：A，v22