投资的收益和风险问题线性规划分析

1、 投资的收益和风险问题线性规划分析1问题的提出市场上有 n 种资产（如股票、债券、）Si（i1，n）供投资者选择，某公司有数额为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资. 公司财务分析人员对这 n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买 Si 的平均收益率为 ri，并预测出购买 Si 的风险损失率为 qi. 考虑到投资越分散、总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 Si 中最大的一个风险来度量. 购买 Si 要付交易费，费率为 pi，并且当购买额不超过给定值 ui 时，交易费按购买 ui 计算（不买当然无须付费）. 另外，假定同期银行存款利率是 r0，

2、且既无交易费又无风险. （r05）已知 n4 时的相关数据如下： n的相关数据Siri()qi()pi()ui(元)S1282.51.0103S2211.52.0198S3235.54.552S4252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小. 2模型的建立模型 1.总体风险用所投资Si中的最大一个风险来衡量，假设投资的风险水平是 k，即要求总体风险Q(x)限制在风险 k 以内：Q(x) k则模型可转化为：模型2. 假设投资的盈利水平是 h，即要求净收益总额 R（x）不少于 h：R（x）h，则模型可

3、转化为：模型 3.要使收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型。人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重. 因此，假定投资者对风险收益的相对偏好参数为 （0），则模型可转化为：3. 模型的化简与求解 由于交易费 ci(xi)是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性规划问题，难于求解. 但注意到总投资额 M 相当大，一旦投资资产 Si，其投资额 xi 一般都会超过 ui，于是交易费 ci(xi)可简化为线性函数从而，资金约束简化为净收益总额简化为在实际进行计算时，可设 M=1，此时可视作投资 Si 的比例. 以下的模型求解都是在上述两个简化条件下

4、进行讨论的.1）模型 1 的求解模型1的约束条件Q(x) k即 ，所以此约束条件可转化为这时模型 1可化简为如下的线性规划问题：具体到 n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中表3-1给定的数据，模型为：Max 0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4s.t. 0.025x1k，0.015x2k，0.055x3k，0.026x4k，x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1，xi0（i0，1，4）利用MATLAB7.0求解模型1，以 k=0.005 为例：输出结果是0.177638, x0 0.158192, x1 0.2,x2 0.3

5、33333, x3 0.0909091,x4 0.192308这说明投资方案为（0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308）时，可以获得总体风险不超过 0.005 的最大收益是 0.177638M.当 k 取不同的值（00.03），风险与收益的关系见下图： 模型1风险与收益的关系图输出结果列表如下： 模型 1 的结果风险 k净收益 Rx0x1x2x3x400.051.00000.0020.1010550.6632770.080.1333330.03636360.07692310.0040.152110.3265540.160.2666670.0727273

6、0.1538460.0060.20190800.240.40.1090910.2212210.0080.21124300.320.5333330.12708100.0100.2190200.40.584314000.0120.22556900.480.505098000.0140.23211800.560.425882000.0160.23866700.640.346667000.0180.24521600.720.267451000.0200.25176500.80.188235000.0220.25831400.880.10902000.0240.26486300.960.02980390

7、00.0260.26732700.9900990000.0280.26732700.9900990000.0300.26732700.990099000从表 3.2中的计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的 S2，然后是 S1 和 S4，总收益较低；对高风险水平，总收益较高，投资方向是选择净收益率（ripi）较大的 S1 和 S2这些与人们的经验是一致的，这里给出了定量的结果2）模型 2 的求解模型 2 本来是极小极大规划：s.t. 但是，可以引进变量 xn+1= ，将它改写为如下的线性规划：s.t. , , 具体到 n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中表3.

8、1给定的数据，模型为：Min x5s.t. 0.025x1x5，0.015x2x5，0.055x3x5，0.026x4x5，0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4h，x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1，xi0（i0，1，5）利用MATLAB7.0求解模型2，当 h 取不同的值（0.040.26），我们计算最小风险和最优决策，结果如表3所示，风险和收益的关系见图2所示图2模型2中风险与收益的关系图表3 模型 2 的结果净收益水平 h风险 Qx0x1x2x3x40.060.0003917330.9340470.01566930.0

9、2611550.007122410.01506660.080.00117520.8021420.04700790.07834650.02136720.04519990.100.001958660.6702360.07834650.1305780.03561210.07533320.120.002742130.5383310.1096850.1828090.04985690.1054660.140.003525590.4064260.1410240.235040.06410170.13560.160.004309060.274520.1723620.2872710.07834650.165733

10、0.180.005092530.1426150.2037010.3395020.09259140.1958660.200.005875990.01070920.235040.3917330.1068360.2260.220.010299400.4119760.572455000.240.016407200.6562870.330539000.260.02251500.9005990.088622800从表3.3中我们可以推出和模型 1 类似的结果.3）模型3 的求解类似模型2 的求解，我们同样引进变量 xn+1= ，将它改写为如下的线性规划：min -（1 ） s.t. 具体到 n=4 的情形

11、，按投资的收益和风险问题表3.1给定的数据，模型为：min x5（1）（0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4）s.t. 0.025x1x5，0.015x2x5，0.055x3x5，0.026x4x5，x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1，xi0（i0，1，5）利用MATLAB7.0求解模型3，当 取不同的值（0.70.98），我们计算最小风险和最优决策，风险和收益的关系见图3输出结果列表如下：表 4 模型 3 的结果偏好系数 风险 Qx0x1x2x3x40.700.024752500.9900990000.740.024752500.9900990000.780.0092250900.3690040.615006000.820.0078492900.3139720.5232860.14271400.860.005939600.2375840.3959730.1079930.2284460.900.005939600.2375840.3959730.1079930.2284460.940.005939600.2375840.3959730.1079930.228