1 平面汇交力系

山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学第二章平面力系的合成与平衡

力系多种多样，按力系中各力作用线的分布，可分为平面力系和空间力系。

凡各力的作用线都在同一平面内的力系称为平面力系；而各力的作用线不在同一平面内，则为空间力系。

在工程中有不少结构，其厚度远远小于其它两个方向的尺寸，这些结构称为平面结构。(a)(b)图示平面桁架上作用的各力，都在桁架平面内，组成平面力系。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学在实际工程中，有些结构所受的作用力虽是空间力系，但在一定条件下，可以简化为平面力系。图示水坝(包括挡土墙)，纵向很长，其受力情况延长度方向大致相同，通常就截取1m长度的结构作为研究对象。这样，经过简化后，水坝受到的自重、水压力、地基反力等就可以看作是一个平面力系。1m自重地基反力水压力在建筑工程中，很多力学问题都属于平面力系问题，或者可以简化为平面力系问题。平面力系是工程中最常见的力系，本章将讨论平面力系的合成与平衡问题。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学第一节平面汇交力系平面力系中，各力的作用线都汇交于一点，即构成平面汇交力系。WFT

CFT1FT2

FT=WC60º45ºWCFN1FN2WC起重机起吊重物时，吊钩上点C受到的力，如图所示;搁置于两斜面间的圆柱体，所受W、FN1和FN2汇交于C，如图所示。这都构成了平面汇交力系。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学平面汇交力系是建筑力学中最简单、最基本的力系。研究平面汇交力系的方法有几何法和解析法两种。一、平面汇交力系合成的几何法两个汇交力的合成，可由平行四边形法则或三角形法则来完成。BAF1F2FRDCBAF1F2FRCF1F2FRDCA对于多个汇交力的合成，只是两力合成的简单重复。具体来讲，就是连续应用三角形法则，逐个合成每个力，从而求出多个汇交力的合力。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学F1F2F3F4ABCDEF1AF2F3F4F12F123FRAFR连续使用三角形法则，将各力首尾相接，得到一条矢量折线，而合力就是从最初的起点指向最末的终点。合力即是力多边形的闭合边。这种求合力的方法称为力的多边形法则。上述的求合力的多边形法则，是通过几何作图来完成的，称为几何法。应用力的多边形法则求合力时，按照不同的合成顺序，可以得到形状不同的力多边形，但力多边形的闭合边不变，即合力不变。作图时应将各力按照选定的比例、准确的角度绘制，以确保结果的精确度。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学F1F2F3F4AAFR力的多边形法则推广到求平面中任意个力的合力时，可表示为FR=F1+F2+F3+……+Fn即，平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，其作用点是原力系各力的汇交点。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学吊环上作用共面且共点的三个拉力，如图所示。已知F1=100N，F2=150N，F3=200N。试用几何法求吊环所受的合力。例2-1F1F2F345º45ºAaFRBCDF1F2F3按比例量得:FR=295Na=82º山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学OF1F2F3F4第一节平面汇交力系二、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系可以合成为一个合力FR，即FR与原力系等效。如果力多边形中的最后一个力的终点与第一个力的起点重合，则意味着合力FR=0，即力多边形自行封闭。F1F2F3F4此时的物体处于平衡状态，该力系为平衡力系。反过来，欲使平面汇交力系平衡，必使其合力等于零。所以，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。用公式表示为FR=∑F=0山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学平面汇交力系平衡的几何条件为：力多边形自行闭合。利用这一几何条件，可以求解平面汇交力系中的两个未知量。图中，已知W=100N。当构件匀速起吊时，求两钢丝绳的拉力。例2-2WFT

C45º45ºFT1FT2

FT=100N

C45º45ºFT1FT2

100

C45º45ºED1.画出受力图2.作闭合的力多边形3.量出未知量FT1=F

T2=71N100N

50

0

山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学简支梁AB在中点C受力F作用，如图所示。已知F=10kN，梁自重不计。求支座A、B的反力。例2-31.画出受力图45ºFABC(a)2m2m(b)FBFA45ºFABCO2.作闭合的力多边形FAFBFCDE45º21(c)5kN3.量出未知量FA=7.9kNFB=3.5kN山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学图示刚架中，若已知F=30kN，各部分尺寸如图所示。试求支座A、B的反力。例2-4FABC(a)3m3m4m1.画出受力图BA(e)CFAFBF2.作闭合的力多边形F(f)02010FBFA3.量出未知量FA=FB

=25kNFA的实际方向为左下。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学通过以上例题，可以归纳出几何法求解平面汇交力系平衡问题的步骤如下：(1)选取研究对象。根据题意选取与已知力和未知力有关的物体作为研究对象；(2)画出受力图。在研究对象上画出全部的主动力和约束反力，注意运用二力构件的性质和三力平衡汇交定理来确定约束反力的作用线。当无法确定约束反力的指向时，可先假设。(3)作闭合的力多边形。选择适当的比例尺，作出封闭的力多边形，先画已知力，后画未知力。按首尾相接的方法和自行闭合的要求，确定未知力的实际指向。⑷量出未知量。根据比例尺量出未知力的大小和方向。对于特殊角还可用三角公式计算得出。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学第一节平面汇交力系一、平面汇交力系合成的几何法二、平面汇交力系平衡的几何条件三、平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系的几何法直观、简捷，但其精确度难以保证，在力学应用较多的还是解析法。所谓解析法就是通过列代数表达式来求解的方法，又称数解法。解析法以力在坐标轴上的投影计算为基础。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学1.力在坐标轴上的投影三、平面汇交力系合成的解析法xyOFxFyABbaa'b'FXYa(a)投影的正负规定：当力的始端投影a到终端投影b的方向与投影轴正向一致时，投影为正值；反之为负。xyOBAabb'a'FXYa(b)通常，可直观判断出力投影的正负号。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学xyOFxFyABbaa'b'FXYa投影X、Y可用下式计算：X=±FcosαY=±Fsinα式中α为力F与坐标轴x所夹的锐角两种特殊情形：(1)当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零;(2)当力与坐标轴平行时，力在该轴上投影的绝对值等于该力的大小。力F沿直角坐标轴方向的分力Fx和Fy，分力与力的投影是不同的：力的投影只有大小和正负，是标量；而分力既有大小又有方向，是矢量，二者不可混淆。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学试计算图中各力在x轴和y轴上的投影。各力的大小均为100kN。例2-5xyO30º60º60º45ºF1F2F3F4F5F6由式(2-3)分别计算各力投影：X=±FcosαY=±FsinαX1=±F1cos30ºY1=±F1sin30º=100×0.866=86.6(kN)=100×0.5=50(kN)X2=±F2cos60ºY2=±F2sin60º=-100×0.5=-50(kN)=100×0.866=86.6(kN)X3=±F3cos60ºY3=±F3sin60º=-100×0.5=-50(kN)=-100×0.866=-86.6(kN)X4=±F4cos45ºY4=±F4sin45º=100×0.707=70.7(kN)=-100×0.707=-70.7(kN)X5

Y5

=0=-100(kN)X6

Y6

=0=-100(kN)山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学xyOFxFyABbaa'b'FXYa如果力F在坐标轴x和y上的投影X和Y已知，由图中的几何关系，也可以确定力F

的大小和方向F=tanα=式中α为力F

与x轴所夹的锐角。

F

的指向，由X和Y的正负号来确定。

X>0、Y>0，F

位于第一象限;

X<0、Y>0，F

位于第二象限;

X<0、Y<0，F

位于第三象限;

X>0、Y<0，F

位于第四象限。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学三、平面汇交力系合成的解析法2.合力投影定理F1F3F2AFRF1F2F3FRABCDabcdX1=abX2=bcX3

=−cd

XR=ad显然

ad=ab+bc−cd所以XR=X1+X2+X3山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学合力投影定理建立了合力投影与分力投影之间的关系，为进一步用解析法求平面汇交力系的合力奠定了基础。XR=X1+X2+X3+……+Xn=∑X这一关系可推广到任意个汇交力的情形，即由此可见，合力在任一坐标轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学(1)利用下式(2-3)分别计算各分力在x轴、y轴上的投影；三、平面汇交力系合成的解析法3.用解析法求平面汇交力系的合力X=±FcosαY=±Fsinα(2)根据合力投影定理，利用下式(2-5)计算合力FR在两轴上的投影；XR=X1+X2+X3+……+Xn=∑XYR=Y1+Y2+Y3+……+Yn=∑Y(3)最后根据已知投影求力，利用下式(2-6)求出合力FR的大小和方向。FR=tanα===xyOABFRXRYRa山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学例2-6用解析法计算例2-1。

10015020045º(1)建立坐标系

x通常水平向右为x轴，竖直向上为y轴；

y(2)计算各力投影，同时计算合力的投影：XR=∑X=X1+X2+X3=

-100+0+200×0.707=41.4NYR=∑Y=Y1+Y2+Y3=

-1500-200×0.707=-

291.4N(3)代入式(2-6)求出合力FR的大小和方向FR==tanα==

294.3N=α=82º=7.04FR82º山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学第一节平面汇交力系一、平面汇交力系合成的几何法二、平面汇交力系平衡的几何条件三、平面汇交力系合成的解析法四、平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。其解析表达式为：FR==0上式中(∑X)2

与(∑Y)2

恒为正数。若使FR=0，必须同时满足

∑X

=0

∑Y

=0

反之，若上式成立，则力系的合力必为零。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学

∑X

=0

∑Y

=0所以，平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立的投影方程，可以求解两个未知量。这一点与几何法相一致。平面汇交力系平衡方程的物理意义是：

∑X=0

表明物体在x轴方向的作用效应相互抵消;

∑Y=0

表明物体在y轴方向的作用效应相互抵消。两个方程联立，说明物体在力系平面内的任何方向都处于平衡状态。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学例2-7

求图示三角支架中，杆AC和杆BC所受的力。已知W=8.66kN。

(1)取铰C为研究对象。解

因杆AC和杆BC均为二力杆，所以两杆受力的作用线都沿杆轴方向假设两杆均受拉力，可画出铰C的受力图，同时选取坐标系，如图所示。

ABC60ºW(2)列平衡方程，并求解未知力。WFBCFACxyC60º

∑X

=0

∑Y

=0

-

FBC×cos60°–FAC=0

FBC×sin60°–8.66=0解得

FBC=10kN

FAC=–5kNFAC的计算结果为–5kN，说明其实际方向与假设相反。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学例2-8

平面刚架受水平力F作用，如图2-17a所示。已知F=40kN，不计刚架自重。求支座A、B的反力。AB4m3mFCD(1)取刚架为研究对象，画出刚架的受力图。解F354DABCFAFB(2)列平衡方程，并求解未知力。

∑X

=0

∑Y

=0xy40–FA×0.8

FB=0=0–FA×0.6解得FA=50kN

FB=30kN山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学例2-9

如图所示的起重装置，杆AB和杆BC均铰接于塔架上，重物通过定滑轮B由卷扬机D用钢索起吊。已知W=2kN，各杆与滑轮的自重不计，滑轮的大小及轴承的摩擦也不计。试求杆AB和杆BC所受的力。W30º30º60ºACDB(1)取铰B(包含滑轮)作为研究对象，画受力图。解xyFABFBCWFT30º30ºB30º(2)列平衡方程，并求解未知力。

∑X

=0

∑Y

=0–FBC×cos30°=0–2×cos30°+FAB×cos60°FBC×sin30°–2×sin30°+FAB