任意角的正弦、余弦、正切(共5页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上任意角的三角函数课 型：新授课课 时：1课时教材分析本节课是三角函数这一章里非常重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。我们要借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，为后面的学习做好准备。在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。教学目标1、知识与技能： 掌握任意角的三角函数的定义；已知角终边上一点，会求角的各三角函数值

2、；记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。2、过程与方法： 理解并掌握任意角的三角函数的定义；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。3、情感态度与价值观：使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。教学重难点重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一难点：任意角正弦、余弦、正切的定义教学过程一、复习引入思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它

3、们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？结论：在RtABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦，余弦，正切依次为： 。锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则 ; .思考2：对于确定的角，这三个比值是否会随

4、点在的终边上的位置的改变而改变呢？为什么?根据相似三角形的知识，对于确定的角，三个比值不以点P在的终边上的位置的改变而改变大小.我们可以将点P取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：; ; .单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.上述P点就是的终边与单位圆的交点, 锐角的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.二、新课讲授1.任意角的三角函数的定义结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(

5、1)叫做的正弦,记做,即 ；(2)叫做的余弦,记做,即；(3)叫做的正切,记做,即.思考3:在上述三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有什么特点,函数值是什么?说明:(1)当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义,除此情况外，对于确定的值，上述三各值都是唯一确定的实数.(2)当是锐角时，此定义与初中定义相同；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.2.利用定义求角的三角函数值

6、例1.求的正弦,余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作, 的终边与单位圆的交点坐标为，所以思考：如果将变为呢？例2已知角的终边过点，求角的正弦,余弦和正切值.思考1：如何根据例题1解答思考2：一般的，设角终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点的距离为r,则，你能自己给出证明吗？思考3：如果将题目中的坐标改为（-3a，-4a）,题目又应该怎么做？3三角函数的定义域和函数值符号探究：请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦，余弦和正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表函 数定义 域例3, 求证：当下列不等式组成立时，角为第三象限角，反之也对 证明：如果成立，

7、那么角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与轴的非负半轴重合;如果，所以角的终边可能位于第一或第三象限所以，角的终边只能位于第三象限，时第三象限角反过来，请同学们自己证明 变式训练判断下列各式的符号 1. 2. ； 求函数的定义域4.诱导公式一由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式 利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0到的三角函数值例4.确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3） （4）变式训练：求下列各式的值 （1） ；（2） 三、课堂小结任意角的三角函数的定义；三角函数的定义域及三角函数值的符号；诱导公式（一）四、作业 P106习题5.3 A组 1、2