对称性在二重积分中的应用

1、对称性在二重积分中的应用对称性在二重积分中的应用高等数学高等数学（同济大学第五版）（同济大学第五版）主讲：张晓斌主讲：张晓斌中国民航大学理学院中国民航大学理学院中国民航大学理学院 张晓斌一、一、 常用的有关二重积分的对称性定理常用的有关二重积分的对称性定理二、定理的应用（典型例题分析）二、定理的应用（典型例题分析）三、小结三、小结主要内容中国民航大学理学院 张晓斌一、一、 常用的有关二重积分的对称性定理常用的有关二重积分的对称性定理(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x y定义定义 1 1：若二元函数 的定义域 关于轴对称，且满足 （或 ），则称 关于 为奇（偶

2、）函数。( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x y( , )( , )f x yf y x定义定义 2 2：若二元函数 的定义域 关于轴对称，且满足 （或 ），则称 关于 为奇（偶）函数。中国民航大学理学院 张晓斌( , )f x y( , )f x y( , )f x y( , )f x y( , )f x y( , )f x yxxyyDyDx定义定义 3 3：若二元函数 的定义域 关于直线 对称，且满足 ，则称 关于 和 对称。D yx( , )d dDf x yx y定理定理 1 1若有界闭区域 关于 轴对称， 在区域 上连续， 则当 关于 为奇函数时当

3、 关于 为偶函数时 012( , )d dDf x yx y1( , )|0Dx yD xD1DxyO中国民航大学理学院 张晓斌( , )f x y( , )f x yDyxxD( , )f x y( , )d dDf x yx y 定理定理 1若有界闭区域 关于 轴对称， 在区域 上连续， 则当 关于 为奇函数时当 关于 为偶函数时 012( , )d dDf x yx y1( , )|0Dx yD yD1DxyO中国民航大学理学院 张晓斌Dx( , )f x yy( , )f x yy( , )f x yD( , )d dDf x yx y推论推论 1.11.1若 有界闭区域 关于 轴 和

4、 轴都对称， 在区域 上连续，且关于 和 均为偶函数，则1( , )|0,0Dx yD xy14( , )d dDf x yx yD1DxyO中国民航大学理学院 张晓斌DxyxyD( , )f x y定理定理 2 2若有界闭区域 与区域 关于直线 对称， 在区域 上连续，则1( , )d d( , )d dDDfx yfyxyxxyD1DxyO中国民航大学理学院 张晓斌1DD yx( , )f x yD yx推论推论 2.12.1若 有界闭区域 关于直线 对称， 在区域 上连续，则( , )d d( , )d dDDfx yf yyxyxxDxyO中国民航大学理学院 张晓斌D yx( , )f

5、 x yD yx例1. 如图，由于积分区域 关于 轴， 轴都对称，且 和 中的被积函数分别关于 是奇函数，根据定理1和定理1得计算 其中3()d d ,DIxyx y( , ) | 1.Dx yxyDx12000.IIIDxyO3312()d dd dd d,DDDIxyx yx x yyx yIIy1I, xy解：中国民航大学理学院 张晓斌1111二、定理的应用二、定理的应用2ID2D3D4D例2. （总习题九 1(2)）. 则.dd)sincos( yxyxyxDyxyxADddsincos2)(1yxyxBDdd2)(1yxyxyxCDdd)sincos(4)(10)(D1D提示: 如图

6、 ， A,),(ayxaxayxD ,0),(1ayxaxyxD xyaaaO设有平面闭区域中国民航大学理学院 张晓斌1234.DDDDD例3. 有一个平面薄片, 在 平面上占有区域 其面密度为 ，求该薄片的质量M。 由于积分区域 关于 轴， 轴都对称，且 被积函 数关于 都是偶函数，根据推论1.1得| | | |ed d .xyDMx y( , ) | 1,Dx yxyDxDxyOy, xy| | | |ed dxyDMx y1D中国民航大学理学院 张晓斌111114ed dx yDx y11004 dedxx yxy4.| | | |exy解：根据二重积分的物理意义， xoy1yx 例4.

7、 设 在 连续，且证明,d)()(d110yyfxfxIx证明证明: 补区域 使其与区域oyx1xy 1Ixyfxfyd)()(010d y1010d)(d)(yyfxxf,2A.22AI 证毕D1Dxy1DDxy ( ) ( )d dDf x f yx y1( ) ( )d dDf y f xx y1,I12III1( ) ( )d dDDf x f yx y1100d( ) ( )dxf x f yy.22AI 注意到被积函数关于 和 对称,考虑利用定理2，关于直线 对称。( )f x0,110( )d,f xxA例5.中国民航大学理学院 张晓斌设 为取值恒大于0的连续函数，区域 ， 与 是两个非零常数，则二重积分( )f x 222: ( , )|(0)Dx yxyRR( )( )d d _.( )( )Daf xbf yxyf xf y DyxoRR ab解：由于区域 关于直线 对称，根据推论2.1可得yx( )( )( )( )Daf xbf ydxdyf xf y 从而( )( )( )( )Daf xbf ydxdyf xf y ( )( ),( )( )Daf ybf xdxdyf yf x 1( )( )( )( )2( )( )( )( )Daf xbf yaf ybf xdxdyf xf yf yf x 2Dabdxdy 2.2ab