2015全国卷1文数精校完整解析版

1、1A12015·全国卷 已知集合Ax|x3n2，nN，B6，8，10，12，14，则集合AB中元素的个数为()A5B4C3D21D解析集合A2，5，8，11，14，17，所以AB8，14，所以AB中有2个元素2F1、F22015·全国卷 已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4) B(7，4)C(1，4) D(1，4)2A解析(3，1)，(4，3)(3，1)(7，4)3L42015·全国卷 已知复数z满足(z1)i1i，则z()A2iB2iC2iD2i3C解析设复数zabi(a，bR)，代入(z1)i1i得(a1bi)i1i，即b(a

2、1)i1i.根据复数相等可得得a2，b1，所以复数z2i.4K22015·全国卷 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.B.C.D.4C解析从1，2，3，4，5中任取3个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种取法，其中只有(3，4，5)是一组勾股数，所以构成勾股数的概率为.5H5、H72015·全国卷 已知椭圆E的中心为坐

3、标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A3B6C9D125B解析抛物线C：y28x的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x2，即椭圆的半焦距ce，所以a4，于是b212，则椭圆的方程为1.A，B是C的准线x2与E的两个交点，把x2代入椭圆方程得y±3，所以|AB|6.6G122015·全国卷 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图1­1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆

4、的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()图1­1A14斛B22斛C36斛D66斛6B解析米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，设圆锥底面半径为r，则×2r8，得r，所以米堆的体积为×r2×5(立方尺)，÷22(斛)7D22015·全国卷 已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和若S84S4，则a10()A.B.C10D127B解析由S84S4，得8a1×14，解得a1，所以a10(101)×1.8C42015·全国卷 函

5、数f(x)cos(x)的部分图像如图1­2所示，则f(x)的单调递减区间为()图1­2A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ8D解析由图知1，所以T2，即2，所以±.因为函数f(x)的图像过点，所以当时，2k，kZ，解得2k，kZ；当时，2k，kZ，解得2k，kZ.所以f(x)cos，由2k<x<2k解得2k<x<2k，kZ，故选D.9L12015·全国卷 执行图1­3所示的程序框图，如果输入的t0.01，则输出的n()图1­3A5B6C7D89C解析经推理分析可知，若程序能满足循环，则每循环一次，S的值减少

6、一半，循环6次后S的值变为，循环7次后S的值变为，此时不再满足循环的条件，所以结束循环，于是输出的n7.10B6、B72015·全国卷 已知函数f(x)且f(a)3，则f(6a)()ABCD10A解析因为2x12>2恒成立，所以可知a>1，于是由f(a)log2(a1)3得a7，所以f(6a)f(1)2112.11G22015·全国卷 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图1­4所示若该几何体的表面积为1620，则r()图1­4A1B2C4D811B解析由三视图可知，此组合体的前半部分

7、是一个底面半径为r，高为2r的半圆柱(水平放置)，后半部分是一个半径为r的半球，其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆面重合，所以此几何体的表面积为2r·2rr2r2r·2r2r24r25r21620，解得r2.12B6、B72015·全国卷 设函数yf(x)的图像与y2xa的图像关于直线yx对称，且f(2)f(4)1，则a()A1B1C2D412C解析在函数yf(x)的图像上任设一点P(x，y)，其关于直线yx的对称点为P(x，y)，则有解得由于点P(x，y)在函数y2xa的图像上，于是有x2ya，得yalog2(x)，即yf(x)alog2(x)，所以f(2)f(

8、4)alog22alog242a31，所以a2.132015·全国卷 在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_13D36解析由a12，an12an可知数列an为等比数列，公比为2，所以Sn126，得n6.14B122015·全国卷 已知函数f(x)ax3x1的图像在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则a_141解析因为f(x)3ax21，所以函数在点(1，f(1)，即点(1，2a)处的切线的斜率kf(1)3a1.又切线过点(2，7)，则经过点(1，2a)，(2，7)的直线的斜率k，所以3a1，解得a1.15E52015·全

9、国卷 若x，y满足约束条件则z3xy的最大值为_154解析作出约束条件表示的可行域如图所示，当目标函数线平移至经过可行域的顶点A(1，1)时，目标函数z取得最大值，故zmax3×114.16H62015·全国卷 已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6) ，当APF周长最小时，该三角形的面积为_1612解析由已知得a1，c3，则F(3，0)，|AF|15.设F1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义有|PF|PF1|2，所以|PA|PF|PA|PF1|2|AF1|217，即点P是线段AF1与双曲线的交点时，|PA|PF|PA|PF1|2最小，即APF周长

10、最小，此时，sinOAF，cosPAF12sin2OAF，即有sinPAF.由余弦定理得|PF|2|PA|2|AF|22|PA|AF|cosPAF，即(17|PA|)2|PA|21522|PA|×15×，解得|PA|10，于是SAPF|PA|·|AF|·sinPAF×10×15×12.17C5、C82015·全国卷 已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sinAsinC.(1)若ab，求cosB; (2)若B90°，且a，求ABC的面积17解：(1)由题设及正弦定理可得b22ac.又

11、ab，所以可得b2c，a2c.由余弦定理可得cosB.(2)由(1)知b22ac.因为B90°，所以由勾股定理得a2c2b2.故a2c22ac，得ca，所以ABC的面积为1.18G52015·全国卷 如图1­5，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120°，AEEC, 三棱锥E­ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积图1­518解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AE

12、C平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120°，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥E­ACD的体积VE­ACD×AC·GD·BEx3，故xAEECED，所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E­ACD的侧面积为32.19I42015·全国卷 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响对

13、近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1，2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值图1­6xyw(wiw)·(yiy)5631469其中wi，wi.(1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为zx.根据(2)的结果回答下列问题：(i)年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii)年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，

14、(un，vn)，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为，vu.19解：(1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(2)令w，先建立y关于w的线性回归方程由于d68，ydw56368×6.8100.6，所以y关于w的线性回归方程为100.668w，因此y关于x的回归方程为100.668.(3)(i)由(2)知，当x49时，年销售量y的预报值100.668576.6，年利润z的预报值×0.24966.32.(ii)根据(2)的结果知，年利润z的预报值(100.668)20.12，所以当6.8，即x46.24时，取得最大值故年宣传费为46

15、.24千元时，年利润的预报值最大20H1、H3、H42015·全国卷 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)·12，其中O为坐标原点，求|MN|.20解：(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1.因为l与C交于两点，所以<1，解得<k<，所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70，所以x1x2，x1x2，·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解

16、得k1，所以直线l的方程为yx1.故圆心C在直线l上，所以|MN|2.21B9，B11，B122015·全国卷 设函数f(x)e2xalnx.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f(x)2aaln.21解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2x(x>0)当a0时，f(x)>0，f(x)没有零点当a>0时，因为e2x单调递增，单调递增，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(a)>0，当b满足0<b<且b<时，f(b)<0，故当a>0时，f(x)存在唯一零点(2)证明：由(1)可设f

17、(x)在(0，)上的唯一零点为x0.当x(0，x0)时，f(x)<0；当x(x0，)时，f(x)>0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln2aaln.故当a>0时，f(x)2aaln.22N12015·全国卷 选修4­1：几何证明选讲如图1­7，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；(2)若OACE，求ACB的大小图1­722解：(1)证明：连接AE，由已知得

18、，AEBC，ACAB.在RtAEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE.连接OE，则OBEOEB.又ACBABC90°，所以DECOEB90°，故OED90°，即DE是O的切线(2)设CE1，AEx，由已知得AB2，BE.由射影定理可得，AE2CE·BE，所以x2，即x4x2120，可得x，所以ACB60°.23N32015·全国卷 选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积23解：(1)因为xcos，ysin，所以C1的极坐标方程为cos2，C2的极坐标方程为22cos4sin40.(2)将代入22cos4sin40，得2340，解得12，2，故12，即|MN|.由于圆C2的半径为1，所以C2MN的面积为.24N42015·全国卷 选修4­5：不等式选讲已知函数f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)当a1时，求不等式f(x)