幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量

1、数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1. 幂法简介：当矩阵A满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。矩阵A需要满足的条件为：(1) (2) 存在n个线性无关的特征向量，设为1.1计算过程：不全为0，则有可见，当越小时，收敛越快；且当k充分大时，有，对应的特征向量即是。2 算法实现3 matlab程序代码 function t,y=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量 k=1; z=0; % z 相当于 y=x0./max(abs(x0); % 规范化初始向量 x=A*y; % 迭代格式 b=max(x)

2、; % b 相当于 if abs(z-b)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求 t=max(x); return; end while abs(z-b)>eps && k<N k=k+1; z=b; y=x./max(abs(x); x=A*y; b=max(x); end m,index=max(abs(x); % 这两步保证取出来的按模最大特征值 t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。end4 举例验证 选取一个矩阵A，代入程序，得到结果，并与eig(A)的得到结果比较，再计算 A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。结果如下：结果正

3、确，表明算法和代码正确，然后利用此程序计算15阶Hilb矩阵，与eig(A)的得到结果比较，再计算 A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。设置初始向量为x0=ones(15,1)，结果显示如下可见，结果正确。得到了15阶Hilb矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。二.反幂法1.反幂法简介及其理论在工程计算中，可以利用反幂法计算矩阵按模最小特征值及其对应特征向量。其基本理论如下，与幂法基本相同： ，可知，A和A-1的特征值互为倒数，求A按模最小特征值即求A-1的按模最大特征值,取倒数即为A的按模最小特征值所以算法基本相同，区别就是在计算2. 算法实现3 matlab程序代码functio

4、n s,y=invpower(A,x0,eps,n) % s 为按模最小特征值，y是对应特征向量 k=1; r=0; % r相当于 y=x0./max(abs(x0); % 规范化初始向量 L,U=lu(A); z=Ly; x=Uz; u=max(x); s=1/u; % 按模最小为A-1按模最大的倒数. if abs(u-r)<eps % 判断第一次迭代后是否满足终止条件 return end while abs(u-r)>eps && k<n % 终止条件. k=k+1; r=u; y=x./max(abs(x); z=Ly; x=Uz; u=max(x)

5、; end m,index=max(abs(x); % 这两步保证取出来的按模最大特征值s=1/x(index); % 是原值，而非其绝对值。end4 举例验证同幂法一样，选取一个矩阵A，代入程序，得到结果，并与eig(A)的得到结果比较，再计算 A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。可见结果正确，然后利用此程序计算15阶Hilb矩阵，eig(A)的得到结果比较，再计算 A*y-s*y，验证y是否是对应的特征向量。设置初始向量为x0=ones(15,1)，结果显示如下可见，结果真确。得到了15阶Hilb矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。3. 计算条件数矩阵A的条件数等于A的范数与A的

6、逆的范数的乘积，即cond(A)=A·A(-1)，对应矩阵的3种范数，可以定义3种条件数。 函数 cond(A,1)、cond(A)或cond(A inf)是判断矩阵病态与否的一种度量，条件数越大表明矩阵的病态程度越大.,而如果A为对称矩阵，如Hilb矩阵，的最大最小特征值，分别为A的最大最小特征值的平方。所以cond(A) 为A的最大最小特征值得比值。对于本例中的15阶Hilb矩阵来说，利用上面计算结果得其条件数(选择第二种条件数）为：3.0934e+017；这与直接利用cond(A)得到的结果：2.5083e+017 在同一数量级，再次表明了上述算得得最大最小特征值的正确性，同时

7、又表明Hilb矩阵是病态矩阵。4. Aitken商加速法1. 简介与原理同幂法和反幂法计算最大和最小特征值类似，如果计算最大特征值，则迭代格式为；计算最小特征值时，迭代格式为。2. 算法实现计算按模最大特征值算法如下：类似幂法和反幂法可以写出按模最小特征值算法，此处不再赘述。3. matlab 程序代码function r,y=aitken(A,x0,eps,n) % r按模最大特征值,y为对应特征向量 k=1; a0=0; % a 相当于 a1=1; % a1 相当于 r0=1; % 相当于2中的 y=x0./max(abs(x0); % 规范化初始向量 x=A*y; a2=max(abs(

8、x); % a2相当于 r=a0-(a1-a0)2/(a2-2*a1+a0); % 相当于 if (a2-2*a1+a0)=0 % 若上式中分母为0，则迭代失败，返回 disp "初始向量迭代失败" return; end if abs(r-r0)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求，如满足，则返回结果 return end while abs(r-r0)>eps && k<n % 终止条件 k=k+1; a0=a1; a1=a2; r0=r; y=x./max(abs(x); x=A*y; % 迭代格式 a2=max(abs(x);

9、 if (a2-2*a1+a0)=0 % 若分母为0，则迭代失败，返回 return; end r=a0-(a1-a0)2/(a2-2*a1+a0); m,index=max(abs(eig(A); % 以下代码保证取出来的按模最大特征值 aa=eig(A); % 是原值，而非其绝对值。 if aa(index)>0 |aa(index)=0 r=r; else r=-r; end end end类似可得按模最小特征值和特征向量的代码如下：与上面类似，所不同的只是迭代格式不同.function r,y=invaitken(A,x0,eps,n) k=1; a0=0; a1=1; r0=1

10、; y=x0./max(abs(x0); L,U=lu(A); % 迭代格式的不同 z=Ly; x=Uz; a2=max(abs(x); r=a0-(a1-a0)2/(a2-2*a1+a0); if (a2-2*a1+a0)=0 disp "初始向量迭代失败" return; end if abs(r-r0)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求，如满足，则返回结果 return end while abs(r-r0)>eps && k<n k=k+1; a=b; b=c; r0=r; y=x./max(abs(x); z=Ly; x=

11、Uz; a2=max(abs(x); if (a2-2*a1+a0)=0 return; end r=a0-(a1-a0)2/(a2-2*a1+a0); endm,index=min(abs(eig(A); % 以下代码保证取出来的按模最大特征值 aa=eig(A); % 是原值，而非其绝对值。 if aa(index)>0 |aa(index)=0 r=1/r; else r=-1/r; endend4. 计算Hilb矩阵特征值此处不再举例，而是直接应用于15阶Hilb矩阵，初始向量选为ones(15,1)，结果如下，并将结果与幂法和反幂法得到结果比较 这与幂法得到的特征值和特征向量一

12、致，表明算法和代码正确；同理，最小特征值结果如下： 这与反幂法得到的结果一致，表明结果正确。 五，对称矩阵的Rayleigh商加速法1. 简介与原理原理如下：2. 算法实现3. Matlab程序代码function r,y=rayleigh(A,x0,eps,n) % r 是特征值，y是特征向量 k=1; r0=0; y=x0./max(abs(x0); x=A*y; % 迭代格式计算新的x r=dot(y,x)/dot(y,y); % Reyleigh商 if abs(r-r0)<eps return end while abs(r-r0)>eps && k<n k=k+1; r0=r; y=x./max(abs(x); x=A*y; r=dot(y,x)/dot(y,y); endend类似得计算按模最小特征值的Rayleigh商加速法，如下：function r,y=invrayleigh(A,x0,eps,n) k=1;r0=0; y=x0./max(abs(x0); L,U=lu(A); % 迭代格式不同 z=Ly; x=Uz; r=dot(y,x)/dot(y,y); if abs(r-r0)<eps return end while abs(r-r0)>eps && k<n k=k+