多自由系统的振动题解

1、4-1 在题3-10中，设m1=m2=m，l1=l2=l，k1=k2=0，求系统的固有频率和主振型。题4-1图 解：由题3-10的结果，代入，可求出刚度矩阵K和质量矩阵M；由频率方程，得 ，为求系统主振型，先求出adjB的第一列分别将频率值代入，得系统的主振型矩阵为题4-2图4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m1，求系统的频率方程。解：设杆的转角和物块位移x为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设，画出受力图，并施加物体力偶与力，由平衡条件得到， 设，画出受力图，并施加物体力偶与力，由平衡条件得到， 得作用力方程为由频率方程，得题4-3图4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l的

2、均匀刚性杆的质量为m1及m2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m1=m2=m和k1=k2=k时系统的固有频率。解：如图取为广义坐标，分别画受力图。由动量矩定理得到，整理得到，则刚度矩阵和柔度矩阵分别得，系统的质量矩阵为由频率方程，并代入已知条件得，整理得到,求得，。用刚度影响系数法求解刚度矩阵。令，分别由两杆的受力图，列平衡方程为；同理，令得到题4-4图4-4 题4-4图所示，滑轮半径为R，绕中心的转动惯量为2mR2，不计轴承处摩擦，并忽略绕滑轮的绳子的弹性及质量，求系统的固有频率及相应的主振型。解：如图选x1，x2，x3为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设，画出受力图，并施加物体

3、，由平衡条件得到， ， 设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得到，= 0， ，设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得到，则刚度矩阵和质量矩阵分别得，由频率方程，得展开为，解出频率为，由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为题4-5图4-5 三个单摆用两个弹簧联结，如题4-5图所示。令m1=m2=m3=m及k1=k2=k。试用微小的角、和为坐标，以作用力方程方法求系统的固有频率及主振型。解：如图选为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设，画出受力图，并施加物体于，由平衡条件得到， ， 设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得到， ，设，画出受力图，并施加物体，

4、由平衡条件得到，则刚度矩阵和质量矩阵分别得，特征矩阵：由频率方程，得0，展开为，解出频率为，。由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为4-6 题4-6图所示的简支梁的抗弯刚度为EJ，本身质量不计，以微小的平动x1、x2和x3为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率及主振型。假设m1=m2=m3=m。题4-6图解：如图取广义坐标，用柔度影响系数法求柔度矩阵。首先，仅在质量处施加竖直单位力F=1，其余各质量块处不受力，则产生的静挠度是；处产生的静挠度是；处产生的静挠度是。则由材料力学知识，得到，同理可得到其它柔度矩阵的各列，最后得到柔度矩阵为得到系统的位移方程为由系统的

5、特征矩阵，得频率方程，即其中，展开频率方程为解出。由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，分别代入特征值，得到主振型为。题4-7图4-7 如题4-7图所示，用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动，假设m1=m2=m3=m4=m和k1=k2=k3=k，试用作用力方程计算系统的固有频率及主振型。解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为，由频率方程，得因此可得到频率方程解出,， ， 解出频率为，。由特征矩阵,特征矩阵的伴随矩阵的第一列，将 代入，即得 归一化 得将 代入，得 归一化 得将代入，得 归一化 得将代入，得 归一化 得得系统的主振型矩阵为各阶主振型如下图所示：题4-8图

6、4-8 题4-8图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑。假设m1=m2=m3=m，h1=h2=h3=h，EJ1=3EJ，EJ2=2EJ，EJ3=EJ。用微小的水平平动x1、x2和x3为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率和正则振型矩阵。解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为，由此可将题4-11图等效为(a)图，其中，广义坐标如图（a）示。利用柔度影响系数法求柔度矩阵。即，对图（a）中的施加单位力，其余不受力，此时第一个弹簧变形为，第二和第三个弹簧变形为零。由此可得个坐标位移为， ，同理求出其余各列。最后得到柔度矩阵为系统的质量矩阵为得到系统的位移方程为由系统的特征矩阵

7、，得频率方程，即其中，展开频率方程为解出。解出固有频率为由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，分别代入特征值，得到主振型为。主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为柔度矩阵还可以这样解出：时：，：，时：，题4-9图4-9 在题4-9图所示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设m1=m2=m3=m，k1=k2=k3=k4=k5=k6=k，试求系统的固有频率及振型矩阵。解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为，由频率方程，得解出频率为，由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，将代入得系统的第一阶主振型为满足如下关系：，展开以上二式得，。取， ，可得到。即有满足如下关系：，展

8、开以上二式得，联立得。取，可得到。即得主振型矩阵为4-10 试计算题4-5的系统对初始条件和的响应。解：在习题4-5中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为题4-5图，主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为初始条件为，= 0正则坐标的响应为，由，展开得到其中，。题4-7图4-11 试计算题4-7的系统对初始条件和的响应。解：在习题4-7中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为，主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为正则坐标初始条件为= 0，= 正则坐标的响应为，其中频率为。最终得到响应,由，展开得到题4-8图4-12 试确定题4-8中三层楼建筑框架由于作用于第三

9、层楼水平方向的静载荷P忽然去除所引起的响应。解：在习题4-8中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为，当作用于第三层楼水平方向的静载荷P忽然去除时，相当于受到了初始条件的激励，即，正则坐标初始条件为= ，= 正则坐标的响应为由，展开得到其中。4-13假定一个水平向右作用的斜坡力施加与题4-5中中间摆的质量上，试确定系统的响应。解：在习题4-10中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为题4-5图，由题意，施加的作用力为将作用力变换到正则坐标：由方程（2-28）得到对于斜坡力的卷积积分，第i个正则坐标的响应：用正则坐标表示的位移矢量由，展开得到其中，。4-14 试确定题4-7的系统对作用于质量

10、m1和质量m4上的阶跃力F1=F4=F的响应。题4-7图解：在习题4-11中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为，由题意，施加的作用力为将作用力变换到正则坐标：用正则坐标表示的位移矢量由，展开得到其中。题4-8图4-15 在题4-8的三层楼建筑中，假定地面的水平运动加速度，试求各层楼板相对于地面的稳态水平强迫振动。解：在习题4-12中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为，由题意，施加的作用力为将作用力变换到正则坐标：用正则坐标表示的位移矢量由，展开得到其中,（i =1,2,3）;,。题4-16图4-16 质量为m1的滑块用两个刚度分别为k1及k2的弹簧连接在基础上，滑块上有质量为m1、

11、摆长为l的单摆，假设m1=m2=m及k1=k2=k，基础作水平方向的简谐振动，其中，试求(1) 单摆的最大摆角；（2）系统的共振频率。解：如图所示选择广义坐标。利用质量影响系数法求质量矩阵，设，画惯性力及，由平衡条件得到，。设，画惯性力及，由平衡条件得到，。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设，画出受力图，并施加物块力，列平衡方程，得到，设，画出受力图，并施加物块力，列平衡方程，得到，得作用力方程为令为稳态响应，代入上式得，展开为将代入可得到。稳态运动时有，则有由频率方程，得展开为，解出频率为，即为共振频率。题4-17图4-17 题4-17图示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设在质量4m上

12、作用有铅垂力，试求各个质量的强迫振动振幅；系统的共振频率。解：如图选择广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵为，系统的质量矩阵为，由频率方程，得解得，由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为正则坐标表示的微分方程由题意，施加的作用力为将作用力变换到正则坐标：用正则坐标表示的位移矢量其中，（i = 1,2,3）。由，展开得到可用直接方法求解：列出运动方程设其稳态响应为：所以原方程化为： 即：所以：令则：题4-18图4-18 在题4-18图的有阻尼系统中，左端的质量块受阶跃力P的作用，初始条件为零，求系统响应。解：（1）写出无阻尼受迫振动方程（2）求固有频率和正则振型由频率方程，得解得，。 由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为（3）正则坐标表示的微分方程（4）引入振型阻尼比建立阻尼矩阵，求主阻