习题六 特征值与特征向量

1、习题六 特征值与特征向量1. 求下列矩阵的特征值和特征向量 2. 设求A的特征值及特征子空间。3. 设线性变换在基下的矩阵是 求的特征值与特征向量。4. 设A、B都是n阶方阵，且，证明AB与BA相似。若，结论如何？5. 已知矩阵的特征值，求x与A的特征向量。6. 证明：（1）若A是n阶幂等矩阵（即A2=A）,则A的特征值是1或0； （2）若A是n阶对合矩阵（即A2=I），则A的特征值是1或-1； （3）反对称实矩阵的特征值为0或纯虚数； （4）n阶幂零矩阵（Ak=0，k为正整数）只有0为特征值。7. 设A的对应于特征值的特征向量为X，证明：（1） X是Am的对应于特征值的特征向量；（2） 对于

2、多项式，X是f(A)的对应于特征值的特征向量。8. 若A是可逆的，A、A*、A-1三个矩阵的特征值与特征向量之间的关系如何？9. 设是n阶方阵A的特征值，证明：（1） 是A2+A+I的特征值；（2） 若A可逆，是A*的一个特征值。10. 设是矩阵A的两个不同的特征值，分别是A的属于的特征向量，试证：不是A的特征向量。11. 设 （1） 求A的特征多项式；（2） 若A相似于对角阵，求x、y应满足何种条件；（3） 若A正交相似于实对角阵，x、y又如何？12. 设3阶方阵A的特征值为0，1，-1，对应的特征向量为X1=(1,0,0)T, X2=(1,1,0)T, X3=(0,1,1)T,求A及A2n

3、。13. 已知A与B相似，其中求：（1）A的特征值；（2）det(A)；（3）tr(A)；（4）R(A)。14. 下列哪些矩阵与对角阵相似？写出对角阵及相似变换矩阵。不能对角化的，请说明理由。 15. 设3阶矩阵A的特征值为1，-1，2，设B=A3-5A2，求：（1） 矩阵B的特征值及与B相似的对角阵；（2） A-1+A*的特征值；（3） det(B)及det(A-1+A*)。16. 设n阶方阵A的每一行元素之和都等于数，证明是A的一个特征值，且X=(1,1,1)T是A对应于的一个特征向量。17. 已知A与对角阵diag(-1,2)相似，求det(In+A)。18. 设，证明。19. 设A为下

4、三角阵，证明：（1） 若，则A可相似对角化；（2） 若对某i与j，且至少有一元素，则A不可相似对角化。20. 若n阶方阵A有R(A)=1。且，证明A可对角化。21. 设 求Am。22. 设3阶矩阵A有二重特征值，问向量能否都是A的属于特征值的特征向量？为什么？23. 设3阶矩阵A有三个特征值1，2，3，且为的特征向量(i=1,2,3)，即，记。（1） 试将用线性表出；（2） 求。24. A是3阶矩阵，若I3-A、I3+A、3I3-A都不可逆，问A能否相似对角化？25. 设A是n阶实对称幂等矩阵（A2=A）（1） 证明存在正交矩阵P，使得P-1AP=diag(1,1,1,0,0,0)（2） 若R

5、(A)=r，求det(A-2In)。26. 设A是实对称阵，证明：存在实对称阵B，使A=B3。27. 设是n阶实对称矩阵的特征值，依次是对应的标准正交特征向量，证明28. 若方阵A满足：对称阵、正交阵、对合阵这三个性质中的任意两个，则必具有第三个性质。29. 证明：欧式空间的一组标准正交基变为另一组标准正交基的变换矩阵是正交矩阵。30. 设求正交阵P，使P-1BP成为对角阵。31. 设有正交阵P，使求常数k与矩阵P。32. 设是实对称阵，其特征值为1，1，-2，且(1,1,-1)T是-2所对应的特征向量，求A。33. 设（1） 证明Bm=kB，其中m为正整数，k为常数，并求k；（2） 求可逆阵P，使P-1BP为对角阵，并写出对角阵。34. 设，证明的全部特征值均为零。35. 设，试求A可对角化的充分必要条件。36. 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工。设第n年一月份