虚位移质点系在给定瞬时为约束所容许任何微小位移讲义

1、虚位移质点系在给定瞬时为约束所容许任何微小位移讲义例例4: 4: 图示桁架，各杆图示桁架，各杆长度均为长度均为l。试求。试求: FDE, FBC内力内力。10kN15kNACDEB解：解：023232152310EDCADECAFllFllCAkN66.13DEF几何法几何法: 先求先求FDE,0)23232152310(AEDDElFlFllCABllr A C10kN15kNACDEB rB rD rEEDFDEF对具有转动中心的刚体，可用力对转动中心的矩所做的虚功来代替。023152310ECCBAAICFllllAE330cos2lECCI30cos32lCI 32lICEIECAEl

2、lr33ECA3kN99. 8CBF再求再求FBC rE AI EC10kN15kNACDEB rB rCBCFCBF例例5 5：拱架结构：拱架结构, ,F1=2kN，F2=1kN，试求试求:支架支架D、C处约束力。处约束力。aBCDGFEH2a2a2aA2F1FDDFDxDDFDy解：解：0221DyDDAaFaFaFADkN5 . 1DyF1.求求FDyaBCDGFEH2a2a2aA2F1F rF rE rB A D rGFDy B rC rD0221DDxDAaFaFaFADkN5 . 1DxF2.求求FDxaBCDGFEH2a2a2aA2F1F rF rE rB rG A B DFDx

3、DCGFBAEarrraar222021CCyDAyFaFaFkN3CyF3.求求FCyAcayaBCDGFEH2a2a2aA2F1FFCy rF rE rB rG rc A B D021CyAAAFaaFaFDA例例6 6在图所示桁架中在图所示桁架中, ,已知已知AB=BC=CA=a,AD=DC= =解：解：2a,试求试求:杆杆BD的内力。的内力。,60cos30cosCBrr,45cosCDrr1.几何法几何法0cos45cos45cos60DDBDBBDrFrFrF,FFBD2.37FACB600450D rC rB rDFBD解：解：,sin21ayD11cos2ayD,sin2ayB

4、,cos2ayB12cos22cos2aaxC,sin21sin1122代入代入:, 604521 1260sin45sin210BDDyFyFyP,P.F372 2a,求求:BD杆的内力杆的内力例例6A 6A 已知已知AB=BC=CA=a,AD=DC= = 2 12.解析法：解析法：BDPACxyF2424-4 -4 广义力及以广义力表示的质点系平衡条件广义力及以广义力表示的质点系平衡条件一、广义力一、广义力jjikjiniiiqqrFrFw11jjiinikjqqrF)(11)(1jiinijqrFQ令： jjkjqQw1Qj为对应于广义虚位移为对应于广义虚位移 的力，称作为广义力的力，称

5、作为广义力 jqn1ijiizjiiyjiixjqzFqyFqxFQ (j=1,k) 解析表达式：解析表达式： kkiiiiqqrqqrqqrr2211jjikjqqr1 j=1,k) (i=1,n ； ),(21kiiqqqrr 1 1、解析法、解析法 n1ijiizjiiyjiixjqzFqyFqxFQkkqQqQqQw2211jjjqQw2 2、几何法、几何法 取一组除 ，其余广义坐标变分均为零的虚位移，则0jqjjjqwQ二、以广义力表示的质点系平衡条件二、以广义力表示的质点系平衡条件 01jjkjqQw Qj=0 (j=1,k) 具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置上保持平衡

6、的具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置上保持平衡的必要与充分条件是：所有与广义坐标对应的广义力均等于零。必要与充分条件是：所有与广义坐标对应的广义力均等于零。 以广义力表示的质点系平衡条件以广义力表示的质点系平衡条件 例例7:7:已知各杆长均为已知各杆长均为L L，重为，重为W W , ,试求维持平衡所需力试求维持平衡所需力F F 的大小的大小? ?0)(iiyiixyFxF0)cos4sin4(FLWL解：解：0不不计计摩摩擦擦W2W2W2W2Fxy12345tanWF 自由度：1,cos24321Lyyyysin21Lysin45Lx cos45Lx 5142xFyWQ或广义力平衡

7、条件：n1ijiizjiiyjiixjqzFqyFqxFQ0cos4sin4FLWLtanWF 选为广义坐标例例8 8：匀质杆长均为：匀质杆长均为l，试，试求图示双摆平衡时的力求图示双摆平衡时的力F和力偶和力偶M。解：解：0cos)sin()sin2(111111FllPlPMWQ0cos)sin2(22222FllPWQ11111111cos)sin()sin2(FllPlPMW22222cos)sin2(FllPW1. 令令 q1= 1 0, q2= 2 =02. 令令 q2= 2 0, q1= 1 =0 1ArBrM 1 2FPPABM 2PPFAB 2Br2tan21PF )sin3t

8、an(cos21121PlM自由度：2， 取广义坐标：1，211cos2lyC212cos2cosllyC21sinsinllxB0cossin2222FllPQ2tan21PF )sin3tan(cos21121PlMMPPF 1 2yxAB1C2Cn1ijiizjiiyjiixjqzFqyFqxFQ11112111MxFyPyPQBCC0cossin23111MFllPQ21222212MxFyPyPQBCC得解析法：解析法：11cos2lyC111sin2lyC212cos2cosllyC22112sin2sinllyC21sinsinllxB2211coscosllxB0121MxFy

9、PyPBCC0)cossin2()cossin23(222111FllPMFllP0, 0:21因2tan21PF )sin3tan(cos21121PlM虚位移原理：虚位移原理：MPPF 1 2yxAB1C2C2424- -5 5 势力场中质点系的平衡条件及平衡稳定性势力场中质点系的平衡条件及平衡稳定性 一一 、势力场中质点系的平衡条件势力场中质点系的平衡条件nijiizjiiyjiixjqzFqyFqxFQ1)(,xVFiix ,yVFiiy iizzVF ,)(jjiijiijiiqVqzzVqyyVqxxV0jjqVQ势力场中质点系的平衡条件为：0jqV即例例9 9 图示平面缓冲机构图

10、示平面缓冲机构, ,各杆的重量和摩擦不记各杆的重量和摩擦不记, ,弹簧原长为弹簧原长为l, ,刚性系数为刚性系数为k. .求求: :平衡的位置平衡的位置解：解：,)sin2(21)cos2(2lkhlPV,V0 , 0sincos4sin22klPl, 0, 0sin1,2cosklP,2arccos2klP, 0当,arccosklP2当 lllllP0ACBk yx初始平衡位置。初始平衡位置。平衡位置。平衡位置。二、势力场中质点系平衡稳定性二、势力场中质点系平衡稳定性 稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡随遇平衡随遇平衡一个自由度时，一个自由度时，稳定平衡条件稳定平衡条件：0qV022qV

11、PPP例例8 8：图示平面缓冲机构：图示平面缓冲机构, ,各杆的重量和摩擦不计，弹簧原长为各杆的重量和摩擦不计，弹簧原长为l，刚性系数为刚性系数为k。试。试求求:平衡时平衡时P与与 之间关系。之间关系。解：解：2)sin2(21)cos2(lkhlPV0V0sincos4sin22klPllllll0ACBk yxPPlkcos2lkP2arccos重力势能以x轴、弹性势能以弹簧原长为为零势能2h为重物C的高度例例9 9：图示平面缓冲机构：图示平面缓冲机构, ,各杆的重量和摩擦不计，弹簧原长为各杆的重量和摩擦不计，弹簧原长为l，刚性系数为刚性系数为k。试求。试求: :稳定平衡的位置。稳定平衡的位置。解：解：2)sin2(21)cos2(lkhlPV0V0sincos422klPl 0 , 0sin 11 ,2cos 2klPklP2arccos2222222sin4cos4cos2klklPlV 稳定平衡则当 2 0420 12Pkl.klPl, 042,2arccos 2222klkPkPklP当稳定平衡.