宝典固体物理第五章 晶体中的电子状态5.45.55.6td

1、二. 能带和布里渊区2. 低能级对应的能带窄；高能级对应能带较宽。 能带带宽主要取决于电子波函数的交叠程度。考虑晶格周期场的作用，晶体中的内层电子状态用布洛赫函数描述，电子能量呈能带状分布。3. 一个能带在波矢空间占据一个布里渊区体积。布里渊区内：能量准连续分布布里渊区边界：能量发生突变4. 每个能带（布里渊区）能容纳2N个电子三种近似方法：mkE2221. 自由电子近似自由电子近似：（：（适用于金属晶体）适用于金属晶体）波函数：波函数：rk iAe能量：能量：准连续准连续2. 准自由电子近似：（适用于晶体中原子的外层电子）波函数： rk ikeru布洛赫函数能量：准连续的能量在布里渊区边界突

2、变，分裂为能带。3. 紧束缚近似紧束缚近似：（适用于晶体中原子的内层电子）：（适用于晶体中原子的内层电子）波函数：波函数： rk ikeru布洛赫函数布洛赫函数能量：一个能级列变为一个能量：一个能级列变为一个能带。能带。单电子近似（准自由近似和紧束缚近似），又称为能带论5.5晶体中电子的准经典运动晶体中电子的准经典运动 在量子力学中晶体中布洛赫电子的运动由波包来描述。所谓波包由空间分布在r0附近的r范围内，波矢取值在k0附近的k范围内的布洛赫电子态组成,rk必须满足不确定关系。一般k必须小于第一布里渊区的线度，这样r必须远大于晶体原胞的线度，只能在这个线度内，布洛赫电子可以看作经典粒子。1()

3、dEv kdk 晶体中电子的状态是一个布洛赫波，所以电子的速度可以用布洛赫波波包的群速度来描述。平均速度与其能量和状态有密切的关系。nknkvvdx 一维： 三维：三维：1( )( )kv kE k 1( )(, , )iiEv kix y zk 其中其中xkxkxv Exkxk能量是波矢能量是波矢k的偶函数的偶函数)()(kEkE在能量的极值，即能带的底部和顶部，E(k)为极值，电子的速度为0。 是波矢是波矢k的奇函数的奇函数()( )vkv k kv变化变化kv变化变化产生加速度产生加速度d2E /dk20点对应速度的最大值点dtvFEdkkk0 kkkvFdtdk Ev那那么么，而而：对

4、一维晶体施加外电场对一维晶体施加外电场电子受到电场力电子受到电场力:eFd pFd t 牛顿定律：牛顿定律：运动状态变化的基本公式根据功能原理：Fdtkd(1)(2)引入引入准动量准动量kp(3)三维：三维：kp注意：晶体中电子的准动量不同于电子的真实动量。 dtdkF)k(E1vk222222dkEdFdtkddkEddkdEdtddtdv 222*dkEdm引入引入有效质量有效质量：dtdvmF*讨论：1.有效质量取决于能带结构的曲率曲率愈小，有效质量愈大；曲率愈大，有效质量愈小。 Exkxk有效质量小有效质量小有效质量大有效质量大根据牛顿运动定律进行类比：根据牛顿运动定律进行类比：dtd

5、vmF 222即dkEdFdtdv：2. 有效质量有正、有负能带底部能带底部，0*, 022mdkEd能带顶部能带顶部，0*, 022mdkEd*mxkxk晶体场的作用被概括到有效质量内部，所以有效质量有正、有负。在布里渊区边界处，电子交给晶格的动量多于它从在布里渊区边界处，电子交给晶格的动量多于它从外场中获得的能量，即由于晶格周期场的阻力，电外场中获得的能量，即由于晶格周期场的阻力，电子的速度减小，加速度与外力反向，子的速度减小，加速度与外力反向，0m 222*dkEdm3. 引入有效质量后，晶体场中的电子类似自由电子能带底部附近：21221*()0md Emdk 其中其中能带顶部附近：21

6、221*()0Md Emdk 其中其中晶体场作用被概括到有效质量内部。4. 在外力作用下，晶体中的电子犹如一个质量为m* 的经典质点*222MtmkEE*222mbmkEE一、能带理论虽然所有固体都包含大量的电子，但有的具有很好的导电性，有的却是绝缘体。这一基本事实曾长期得不到完满的理论解释。在能带理论基础上，首次对为什么有导体、绝缘体、半导体提出了一个理论上的说明，这是能带论发展初期的一个重大成就。也正是以此为起点，逐步发展了有关导体、绝缘体和半导体的现代理论。5.6导体、绝缘体和半导体由能带论，波矢由能带论，波矢 取某些值时，能量曲线上有突变，取某些值时，能量曲线上有突变，形成带隙。对于实

7、际晶体形成带隙。对于实际晶体(三维三维)发生能带重叠。发生能带重叠。k重带重带允许带允许带允许带允许带允许带允许带禁带禁带允许带允许带一种情形是能量间断处的间隙很小，形成准连续的能带, 或发生能带交叠，导体中大多属于这种类型。另一种情形是能量间断处的间隙很大，形成有带隙的能带；绝缘体、半导体和部分导体属于这种类型。二、满带不导电在一个完全为电子充满的能带中，每个电子贡献在一个完全为电子充满的能带中，每个电子贡献电流密度电流密度 ，但，但 状态与状态与 状态的电子状态的电子电流密度电流密度 和和 互相抵消互相抵消)(kevkk)(kev)( kev净电流为净电流为0，不导电，不导电 1.未加外电

8、场2.施加外电场k轴上各点均以完全相同的速度移动，在布里渊区轴上各点均以完全相同的速度移动，在布里渊区边界边界 和和 处处, 从从 点移出的电子同时从点移出的电子同时从 移进移进来，保持整个能带处于来，保持整个能带处于均匀填满均匀填满的状况，亦无净的状况，亦无净电流电流 。（。（k和和-k仍然对称分布仍然对称分布）AAAAk)(kEAAaa0)(kv0aak满带不导电满带不导电 3.、不满带导电在一个不满带中，电子在布里渊区中对称分布，在一个不满带中，电子在布里渊区中对称分布， 状态与状态与 状态电子的电流密度互相抵消。状态电子的电流密度互相抵消。kk净电流为净电流为0，不导电，不导电 未加外

9、电场施加外电场k轴上各点均以完全相同的速度移动，电子在布里渊区中不再分布对称，电流密度不能完全抵消。净电流不为净电流不为0，参与导电，参与导电 不满带导电不满带导电不满带导电不满带导电 F导体能带示意图实际晶体中，电子从低到高填充能带，形成一系列的满带。最外层价电子填充的能带，称为价带。导体：价带是不满带。非导体：价带也是满带。满带满带导带导带满带满带价带价带非导体能带示意图绝缘体与半导体的区别在于价带和导带之间禁带宽度的大小。绝缘体能带示意图价带价带导带导带禁带禁带价带价带导带导带禁带禁带半导体能带示意图作业：1，什么是能级状态密度，试求解体积为V的晶体的能级状态密度函数g（E）;2,什么是

10、费米能级？3，什么是blocth定理？简单说明对blocth函数（波）的理解。4，定义能带和能隙？简单说明能隙是如何产生的。5，证明每个能带包含的电子状态数为2N。6，定义布里渊区并说明每个布里渊区的大小7，以二维作图为例，画出简单立方的二维布里渊区分布以二维作图为例，画出简单立方的二维布里渊区分布（画到第三区）（画到第三区）8，说明并解释体心立方晶体和面心立方晶体的第一布里渊区的结构特点。9，图示说明什么是能带交叠？10，推导有效质量的表达式，说明引进有效质量概念的意义或作用。11，应用准经典运动的概念解释满带和不满带在电场作用下的导电性为。复习 (二）经典物理学的困难 （1）黑体辐射问题

11、（2）光电效应 （3）Compton散射问题 (10 (104 4 cm) cm)能量密度能量密度0 05 51010（1）Plank辐射定律：在解释辐射场与腔壁物质相互作用的实验规律中，必须假定腔内电磁场和腔壁物质之间所交换的能量是断续的、一份一份的，h,2 h,3 h。即必须假定，对所有频率相应的能量都是量子化的。1900年出现的Planck公式标志着量子力学的诞生。（2）光电效应问题1897Hertz-1916Millikan （2）光电效应问题1897Hertz-1916Millikan 总结出的光电实验规律无法为经典物理所解释：1.临界频率v02.电子的能量只是与光的频率有关，与光强

12、无关，光强只决定电子数目的多少。3. 光电子发射时间在109s内，与光强无关。按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度而与频率无关。Einstein用光量子的概念成功地解释了光电效应的规律。 p = E/C AhV 221nk22hknnhnChnCEphE , , : 其中其中光子的动量（3）Compton散射问题1923-光的粒子性的进一步证实1、 散射光中，除了原来X光的波长外，增加了一个新的波长为的X光，且 ；2、波长增量:= 随散射角增大而增大。这一现象称为 Compton 效应。但是如果把 X-射线被电子散射的过程看成是光子与电子的碰撞过程，则该效应很容易得到理解。自从自从190

13、51905年年EinsteinEinstein 通过通过E= hE= h公式提出光量子理公式提出光量子理论，经过论，经过1818年之久，年之久，de Brogliede Broglie克服积习的约束，克服积习的约束，逆过来理解这组关系，将上面这组关系从针对逆过来理解这组关系，将上面这组关系从针对 的情况推广到的情况推广到 的情况，提出原先是微粒的情况，提出原先是微粒的微观粒子也具有波动性：的微观粒子也具有波动性：m 0m 0（1）、 De Broglie 关系 pkE kpE 粒子性参数粒子性参数波动特性参数波动特性参数),(),(kpE De Broglie 关系物质世界的普遍规律自从自从1

14、9051905年年EinsteinEinstein 通过通过E= hE= h公式提出光量子理公式提出光量子理论，经过论，经过1818年之久，年之久，de Brogliede Broglie克服积习的约束，克服积习的约束，逆过来理解这组关系，将上面这组关系从针对逆过来理解这组关系，将上面这组关系从针对 的情况推广到的情况推广到 的情况，提出原先是微粒的情况，提出原先是微粒的微观粒子也具有波动性：的微观粒子也具有波动性：m 0m 0（1）、 De Broglie 关系粒子波粒二相性的解释：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统

15、计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。|(r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小，确切的说，|(r)|2 x y z 表示在 r 点处体积元x y z中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例。据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数 (r)有时也称为几率幅。这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释（统计解释），它是量子力学的基本原理。3、波函数的性质、波函数的性质（1）几率和几率密度）几率和几率密度根据波函数的几率解释，波函数

16、有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：在t 时刻，r 点，d=dxdydz 体积内，找到由波函数(r,t)描写的粒子的几率是：dW(r,t)=C|(r,t)|2d，其中，C是比例系数。C | (r , t)|2 d= 1 （2）平方可积（3）归一化波函数（4）平面波归一化平面波可归一化为平面波可归一化为 函数函数)(xxpp 1、态叠加原理微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函

17、数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。一般情况下，如果1和2 是体系的可能状态，那么它们的线性叠加= C11 + C22 也是该体系的一个可能状态。其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。力学量算符既然(x) 是归一化波函数，相应动量表象波函数为c(px) 一 一 对应，相互等价的描述粒子的同一状态，那么动量的平均值也应可以在坐标表象用(x)表示出来。但是(x)不含px变量，为了能由(x)来确定动量平均值，动量 px必须改造成只含自变量 x 的形式，这种形式称为动量 px的算符形式，记为：xp dxdipx xx m2pT2 微观粒子量子状态用波函数完全描述(量子力学的假定1)1926年Schrodinger 提出了波动方程),( ),()(),(trHtrrV2trti22 该方程称为Schrodinger方程，也常称为波动方程。波函数随时间演变遵从S方程（假定2）。波函数标准条件波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。Eti（一）定态Schrodinger方程/)(iEtetf Etiertr )(),( )()(222rErV 定态 Schrodinger 方程（一） 一维无限深势阱 （二