12子空间与子空间的分解

1、在通常的三维几何空间中，考虑一个通过原点的平面。不难看出，这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间，这就是说，它一方面是三维几何空间的一个部分，同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地，我们不仅要研究整个线性空间的结构，而且要研究它的线性子空间，一方面线性子空间本身有它的应用，另一方面通过研究线性子空间可以更深刻地揭示整个线性空间的结构。一、线性子空间的定义定义7设是数域上的一个线性空间，是的一非空子集。如果对于中所定义的加法和数乘运算也构成数域上的一个线性空间，则称为的一个线性子空间，简称子空间。验证是否为的子空间，实际上只需考察对于中加法和数乘运算是否封闭就行了。

2、因为线性空间定义中的规则在对线性运算是封闭的情况下必是满足的。例1任何线性空间有两个平凡子空间或假子空间；一个是它自身，另一个是，称为零元素空间（零子空间）。除此之外的子空间称为非平凡子空间或真子空间。下面举几个常见的例子。例2给定，集合分别是和上的子空间，依次称为的零空间(核)和列空间（值域），零空间的维数称为零度的零空间是齐次线性方程组的全部解向量构成的维线性空间的一个子空间。因为解空间的基就是齐次线性方程组的基础解系。所以，。的左零空间和行空间，。表示的广义逆，满足，则有且，幂等。所以例3设是的个向量，它们所有可能的线性组合所成的集合是的一个子空间，称为由生成的子空间。若记，则由子空间的

3、定义可知，如果的一个子空间包含向量，那么就一定包含它们所有的线性组合。也就是说是的一个子空间。注：容易证明(1)。(2),，特别若可表示为的线性组合，则。定理2 设是的一个维子空间，是的一个基，则这个向量必定可扩充为的基。 证明 若，则定理已成立。若，则中必存在一个向量不能由线性表出，从而线性无关。如果，则定理已成立。否则继续上述步骤。经过次，则可得到内个线性无关的向量，使为的基。二、子空间的分解子空间作为子集，有子集的交（），和（）等运算，对它们有如下定理。定理3 设是线性空间的子空间，则有(1)与的交集是的子空间，称为与的交空间。(2)与的和 是的子空间，称为与的和空间。证明 (1)由,可

4、知,因而是非空的.其次，如果,即而且,因此,因此.同样,由,知.因此是的子空间.(2)由定义,而且非空.,则有.由，因是子空间,则,所以 即是的子空间.子空间的交与和的概念可以推广到多个子空间的情形。定理4(维数定理)设和是线性空间的两个子空间，则有+=+ (1)证明 设,基为，由定理2知，它们可分别扩充为：的基，的基，则 =，=，.下面证明为线性无关组。任取数使.(2)因为所以从而有即 由是的基,线性无关,故.代入(2)式,得而是的基,于是故线性无关，dim,定理得证.从(1)式知，若，则有dim(+)dim+dim,这时其表达式中与不是唯一的。例如，有，即。这时可有两种表达式和例4设中的两

5、个子空间是求及的基和维数。解 =由于且线性无关，故的一个基为，其维数=3。由维数定理知=-=2+2-3=1根据，得到，从而为的一个基，其维数=1。三、直和子空间子空间的和的定义仅表明，其中的任一向量可表示为。但这种表示法不一定唯一。定义8设是线性空间的两个子空间，如果中每个向量的分解式是唯一的，则称为的直和，记为。定理5 设，是线性空间的两个子空间，则下面几条等价(1)是直和；(2)向量表示法唯一，即由得；(3)=；(4)证明 采用轮转方式证明这些命题。按定义，内任一向量表示法唯一，因而的表示法当然唯一。用反证法。若，则有，于是，。而，这与零向量的表示是唯一的假设矛盾。利用维数定理即得。由维数

6、定理知dim()=0,即=.对任一,如果则有于是，即。这说明因而表示法唯一。定理证毕。定理6 设是的一个子空间，则必存在的子空间，使。证明：设dim()=,且是的一个基，根据定理2 它可扩充为的基，令，显然就满足要求。子空间的交、和及直和的概念可以推广到多个子空间的情形。四、内积空间前文中，我们对线性空间的讨论主要是围绕着向量之间的加法和数量乘法进行的。与几何空间相比，向量的度量性质如长度、夹角等在实际应用中更重要。因此，我们在一般线性空间中定义内积，导出内积空间的概念。定义9 设是实数域上的实线性空间。如果对于任意的，都有一个实数与之对应，且满足(1);(2);(3);(4)当且仅当时.则称

7、为与的内积。定义了内积的实线性空间称为内积空间，又称欧几里得空间或Euclid空间（简称为欧氏空间）。例如，在中，定义内积。这时成为内积空间。在内积空间中，如果，则称与正交，记为。设欧氏空间中的基为，欧氏空间中有两个向量，下面我们来计算的内积。记 ，则有注：(1)方阵称为向量组的Gram矩阵，或度量矩阵。(2)线性无关的充要条件是。(3)对称正定。因为方阵(4)若,则表示长度的平方；时,则,表示面积的平方；呢？(5)若是规范正交基，则，内积。即向量内积等于坐标的内积，计算简单，所以内积空间的基常采用规范正交基。另外，在规范正交基下向量的坐标的计算简单不需要解线性方程组就能得到,即.设是内积空间

8、的一个子空间。显然也是一个内积空间。如果的一个向量与的每一个向量正交，则称与正交，记为。对于中的两个子空间，如果任取，都有，即，则称与是互相正交的。记为。定义10设为中的子空间，记容易证明也是线性空间，称为的正交补空间。定理7设为矩阵。记为满足条件且具有最大秩的矩阵，则证明设；反之，.推论：；.证明：只证第一式,因为把第一式中的看成即得第二式.由.和证毕.对于一个线性空间，如果存在个子空间，使得对任意，可唯一地分解为,则称为的直和，记为，若进一步假设，对任意的，有，则称为的正交直和，记为，特别，对于中子空间都成立。设则；若进一步假设则容易证明。容易证明对于内积空间的子空间有下面的性质(1);(2);(3);(4).定理8对任意矩阵，恒有。证明显然,故只