微积分复习资料_微积分公式运算法则

1、微积分综合复习资料、填空题1、11 n x,设 f(x)二 1x，x 0,，则f (x)的定义域x 02、曲线y =x2ex在点(0, 1 )处的切线方程是3、设产量为Q时的成本为C =Q210,则产量Q=2时的平均成本边际成本为x +1一1 兰x 兰14、 设 f (x)，则 f(1)= f(0) = f (2 x-1,1vx 兰3,5、 曲线y=xlnx在点(1，0)处的法线方程是：.6 f(x)dx =x3 C,则 f (x)dx 二1 7、设 f(X) x 1，贝U f (x)的定义域 , f (x 1) =X 1&曲线y二一的水平渐近线为，铅直渐近线为。1 +x9、设需求函数为 Q

2、=50-5P, P =2时的边际收益为 10、 设 f (x)丄_2，x -二，贝V f (x)的定义域, f (x2 二)二1 +x11、 曲线y =x4 1在点(1,2)处的切线方程是 。12、设需求函数P =10 -Q,则销售量Q =2时的边际收益为 2二、选择题1、下列函数中的奇函数是()(a)f(x)=x2 sinx,x 0,1(b) f (x) = x2,x (-匕，：)(c) f (x) = xcosx, x (T,1)(d) f (x)二tan(1 x2), x (-：，：)2、下列级数中绝对收敛的是()旳 100$(a广丄(b)n壬nn经n0 /(c)(4)nn zi HoO

3、(d)、n 3、下列算式中不正确的是()(a)(xsinx) =sin x xcosx(b)(e2x): =e2x2d1(c)d(x二)=2xdx(d) ln(1 x)=dx1 + x4、下列函数中函数是非奇非偶的函数是()2 2(a) f (x) = xsin x,x -1,1(b) f (x) = x , x (-：, ：)(c) f (x)二 xcosx, x (-1,1)2(d) f(x) =log4(1 +x ), x亡 Y,+)15、若 (4x k)dx =0，贝U k=()0(a) -1(b) 1 (c) 0 (d) 26下列算式中不正确的是()2(a)(x In x)=2xln

4、x x(b)(sin2x)：=2cos2x2d2 2x(c)d (x二)=xdx(d) ln(1 x )2dx1 +x7、下列函数对中是偶函数的是()(a) f (x) = Vx3(c) f (x)二 x sin xf(x) H42“、x + x(b) f (x)厂 cosx1 +x(d) f(x) = x x2x ： 1”,在X=1点连续，贝U k=(x 1(a) 4(b)3(c)2(d)19、下列极限中能用罗必达法则计算得出结果的是(b)limx -1x1 sin(x -1)(d)(c) lim d(b) f(x)dx = f(x)dx sinx xtx +sin x10、下列函数中既是偶

5、函数又是有界函数的是()2 2(a) f(x) =x ,x 0,1(b) f (x) = x ,x (：，：)(c) f (x)二 xcosx, x (T,1)1(d) f(x),x C)3x-k x 乞1 ”11、 f(x)二,在x=1 处连续，则 k=()lx+kx1(a) 0(b)1(c)2(d)312、 下列算式中不正确的是()(d) costdt = cosx dx*d22(c) (sin x ) dx = sin x C dx三、判断题1、已知 f(x -1) = x1 21,则 f (x) = X 2x 2 ()2、如果极限lim f (x)存在，则函数f (x)在点a连续()3

6、、 已知边际收益函数为R(p)=2p，则总收益函数为R( p) = p2 ()4、函数f (x) =sin(2x 1)是周期函数，也是有界函数()5、如果函数f (x)在点a的导数存在，则f (x)在点a连续。反过来也成立()16广义积分一2dx是收敛的，无穷级数一2也是收敛的()+ x心 1 + n7、设L(Q) = R(Q)-C(Q)是某种产品的利润函数，则保本产量是使得利润为零的产量水平( )8 设 f (x)二 x3，则对任意的实数 a， f (a h)f (a) = 3a2 o(h)()9、 如果在区间(a,b)上函数(t)，贝U函数f(t)在(a,b)上是下凸函数，但是导函数f的单

7、 调性不能确定()10、 曲线y既有水平渐近线，也有垂直渐近线()1 -x11、设f (x) =(x2 -a2)g(x)，并且g(x)在点a的连续，则f (x)在点a可导()112、设 f (ex) =1 e2x, f(0) =1,则 f(x)=x e2x ()2四、计算下列各题1、y = x2 -cos(x2 x) In 二,求 矽,dy。dx22、把函数f(x) =x2e展开成x的幕级数。e2、计算 xln xdx。14、y = 2x3 x23x,求3d ydx325、函数 z .1 ex y x2 y2，求- , |.x2i7、 y = xln(1 x2) 亠,求y ,dy。1 +xx8

8、、求函数x2cos2x的幕级数展开式。x9、设 g(x) =x2 - tet,求g(x)的极值。010、y =xsin x ex cos ,求 dy, dy。3 dx111、求幕级数7 -2 (x 1)n的收敛区间。n吕n2212、设 g(x) =e2x - g(x)dx,求 g(x)dx.00五、解下列各题1、 已知曲线y = f(x)上任意一点的切线的斜率为ex+2008x2007，且曲线过点(0，1)，求这 条曲线的方程。12、求由曲线y =右，直线x=1和x轴所围成的在x_1的范围内的平面图形的面积和该平面图x形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。3、 知曲线y = f(x)上任意一点

9、的切线的斜率为4x3+s inx，且曲线过点(0，1)，求这条曲线 的方程。4、 求由直线y =x2,y二x,所围成的平面有界图形D的面积和D绕x轴旋转一周所得旋转体的 体积。5、 已知某公司生产某种产品的总利润 L (单位：元)与每天产量 Q (单位：t)的函数关系为L =250Q -5Q2,求每天生产多少才能使利润最大？最大利润是多少？在最大利润生产规模生 产量基础上再多生产一个单位，利润改变多少？6 求由直线y =0和曲线y二sinx,0,2二所围成的平面图形的面积及该图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积。参考答案:、填空题1、设1 In x,f (x)二 1I x，x 0,，则 f (

10、x)的定义域(-：,0) 一(0, ：),x 02、曲线y = x2 ex在点(0,1 )处的切线方程是y = x 1 .3、设产量为Q时的成本为C二Q210,则产量Q=2时的平均成本dCC = 7边际成本为=4dQ4、设 f(X)=P 十1X-1,X，1,，则 f(1)=2 f(0) =1 f (2) =11 :： x _ 3,5、曲线y二xln x在点(1，0)处的法线方程是：y = 1 - x .326 f (x)dx = x C,则 f (x)dx = 3x C1 1 7、设 f (x)x 1，则 f(x)的定义域-1,1)_. (1,二)，f(x 1)2 x .x-1 x&曲线y =

11、 L的水平渐近线为y = 1，铅直渐近线为X - -1。1 +x dR9、设需求函数为 Q =50-5P, P =2时的边际收益为20dP10、设讥=，则 f (x)的定义域二，：),f (x212 21 (x :)11、曲线y =x4 1在点(1,2)处的切线方程是y=4x-2。12、设需求函数P =10 -Q,则销售量Q =2时的边际收益为 坐=8.2 二、选择题1、c 2、a 3、b4、a 5、b 6、c7、b8、 b 9、b 10、d 11、b12、d三、判断题1 V； 2、x； 3V； 4 V； 5、x； 6V； 7V； 8V； 9、x； 10V； 11V； 12、x0四、计算下列各

12、题22dy1、 y =x -cos(x x) ln 二,求 ,dy。dx解：y 二(x2 -cos(x2 x) ln 二)=2x (2x 1)sin( x2 x)；2dy =2 x (2 x 1)sin( x x)dx22、把函数f(x) =x2e*展开成x的幕级数。2解：f (x) =x2e 公oOn =0(-x2)n)Wn=on!n 2n-x ,X (：，：)e3、计算 xln xdx1解:2xx In xdx = In xd ()1 1 22x . In x2e e2x e 1dx =11 2444、y =2x3 x2 3x,求瞑。dx解:5、y =(2x3 x23x) = 6x2 2x

13、 3|l|川2y =(6x2 2x 3) =12x 2|l 川)4y =12|l 川)51把函数f (x) 一展开成(x -1)的幕级数。2 x解:f(九一1 乞x 1 ：1,= 0ZX ：2川1|5八(x-i)nMH5n=06、函数z=1 ex y x2y2，求送，二.dy cy解、-2 2x2y|川3-y-2:Z -ex y -2xHl5-2y7、y =xln(1 x2) x -1二,求 dy ,dy。dx解:2x2化1山川51 x22x2”dy =(ln(1 x ) 2 1)dx|l|l()61 +xy = n(1 x2)8、求函数x2 cos2x的幕级数展开式。解:2(_1)2n(_1

14、)2n 2x cos2x=x Z x =X x5nd (2 n)!n卫(2n)!-：:x ： ： II川 6x9、设 g(x) = x?pdl 求g(x)的极值。0解：g(x)二 x(2 一 ex) = 0,得0, X2 = In 23x (-口0), g (x) ： 0, g(x)是递减 函数， x (0,ln 2), g (x) 0, g( x)是 递 增 函 数x (In 2, ：), g (x)0, g(x)是递减函数。 所以，x=0是函数的极小值点，极小值为g(0) =0; x=ln2是函数的极大值。9ln 2.9.极大值为g(ln 2) = In2 2- 0 ie dt= In2

15、2 -低七一d)ln20=ln22-2In 23|l川)610、-兀、dyy =xsin x - ex cos ,求 ,dy。3 dx解:” 1 - ” y =sinx xcosx2ex |I(I|I5x1 -dy =(sinx xcosx2exl|l6x11、求幕级数v -1r(x 1)n的收敛区间n丝n解：令x 1，考察级数tn的收敛区间n T n=limn.(n 1)212负缶11川川3t =T,t处级数分别是收敛的级数(_1)n 二 1、屮2川 n 壬 n n T naao .因此，级数v 4rtn的收敛区间为-1,1，原级数v .(x 1)n的收敛区间为-2,0川川62222 2解：

16、对等式 g(x)二 e2x - g(x)dx 两边积分得 g(x)dx 二 e2xdx- g(x)dxdx ,0000 02 e4 1 2 即 g(x)dx 二丁-2 g(x)dx川川40 2 024“-e 1g(x)dx 二0 6五、解下列各题1、已知曲线y= f(x)上任意一点的切线的斜率为ex+2OO8x2007，且曲线过点(0, 1),求这 条曲线的方程。解：f (x)二 ex 2OO8x200711 (川 1二 f (x) = (ex 2OO8x2007)dx 二 ex x2008 C|”31=f (0) =1 C= C =0|l 川 |4-f(x) =ex - x2008512、

17、求由曲线，直线x=1和x轴所围成的在x_1的范围内的平面图形的面积和该平面图x形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。pQod 11解：面积a= f冷dx =)=1山113勺 X2x 1体积A二n 一 3 -XTL 3-H3X-X3、 已知曲线y = f (x)上任意一点的切线的斜率为4x +si nx，且曲线过点(0，1)，求这条曲 线的方程。f (x) =4x3 sin x川 l| |1解二 f(x) = J(4x3+sinx)dxH川|2=x4 -cosx C川 1|)41 二 f (0)= C =2, f(x) =x4 -cosx 2川|16*4、 求由直线y =x2,y二x,所围成的平面有界图形D的面积和D绕x轴旋转一周所得旋转体的 体积。解、体积 V 二 1 二(x2 -x4)dx50155、 已知某公司生产某种产品的总利润L (单位：元)与每天产量 Q (单位：t)的函数关系为 L =250Q -5Q2,求每天生产多少才能使利润最大？最大利润是多少？在最大利润生产规模生产量基础上再多生产一个单位，利润改变多少？解：L =250 _10Q =0二 Q =25,L = _10 ：0|川|3因此，产量规模为每